具体描述
深入解析：工程数学的基石与前沿——《高级工程数学》内容概要 本书《高级工程数学》旨在为工程、物理科学及相关领域的学生和专业人士提供一套全面、严谨且深入的数学工具箱。它超越了基础微积分和线性代数的范畴，直击现代工程实践中不可或缺的高级数学分支，确保读者不仅掌握计算技巧，更能理解其背后的理论结构及其在实际问题中的应用。 本书的结构设计遵循从经典到现代、从理论到应用的递进逻辑，共分为五个核心部分，每个部分都涵盖了对工程问题解决至关重要的关键领域。 --- 第一部分：函数空间与算子理论——分析的深度延伸 本部分着重于将传统的单变量和多变量函数分析扩展到更抽象、更强大的函数空间框架中。这是理解偏微分方程、变分法乃至量子力学等高级主题的理论基础。 1. 测度论与勒贝格积分： 我们将从黎曼积分的局限性出发，系统介绍 $sigma$-代数、测度、可测函数以及勒贝格积分的构建。重点在于理解其优越性，尤其是在处理极限交换（如积分与微分的交换）以及函数序列收敛性时的严谨性。详细讨论了 $L^p$ 空间的定义、完备性（构成巴拿赫空间）以及其在傅里叶分析中的基础作用。 2. 函数空间与范数： 详细阐述了赋予范数和内积的向量空间的概念，区分了赋范线性空间、内积空间和希尔伯特空间。着重讲解了闭包、完备性、正交性以及投影定理，这些是泛函分析解决优化问题的核心工具。 3. 算子理论基础： 引入线性算子的概念，并对其进行分类（有界、无界、线性、连续）。探讨了算子在函数空间上的作用，为后续的微分算子和积分算子分析奠定基础。讨论了谱理论的初步概念，即理解算子的“特征值”在无限维空间中的推广形式。 --- 第二部分：傅里叶分析与积分变换——信号处理与系统响应的核心 本部分聚焦于将复杂的时域或空间域信号和函数分解为更易于分析的频率域表示。这是处理波动、热传导、振动以及通信系统的基石。 1. 傅里叶级数与傅里叶变换： 详尽分析了周期函数和非周期函数的傅里叶展开。侧重于狄利克雷收敛定理以及函数的周期延拓和傅里叶积分的收敛性讨论。深入探讨了快速傅里叶变换（FFT）的算法原理和在数字信号处理中的实际意义。 2. 傅里叶变换的性质与应用： 详细推导和应用了傅里叶变换的共轭、时移、频移、卷积定理。重点演示了如何利用卷积定理简化微分方程的求解，特别是在线性时不变（LTI）系统的脉冲响应分析中。 3. 拉普拉斯变换： 系统讲解了单边和双边拉普拉斯变换的定义、收敛域（ROC）以及其重要的逆变换方法（包括部分分式分解法和复平面积分法）。拉普拉斯变换作为求解常系数线性微分方程的强有力工具，将在瞬态分析和控制系统中得到充分展示。 4. Z 变换： 作为离散时间系统的对应工具，Z 变换的引入用于分析采样信号和数字滤波器。讨论了收敛域在离散系统稳定性判断中的关键作用。 --- 第三部分：偏微分方程的分析方法——物理定律的数学表达 本部分是工程数学中应用最广泛的领域之一，旨在提供求解描述自然界基本过程的偏微分方程（PDEs）的解析方法。 1. 二阶线性PDEs的分类与标准形式： 详细解释了双曲型（如波动方程）、抛物型（如热传导方程）和椭圆型（如拉普拉斯方程）PDEs的物理意义和数学特征。 2. 分离变量法（傅里叶方法）： 这种经典方法将在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下得到详尽的阐述。通过求解常微分方程本征值问题（Sturm-Liouville问题），构建傅里叶级数解，并严格论证了级数解的收敛性和唯一性。 3. 泊松核与格林函数法： 针对非齐次方程，重点介绍格林函数的构建过程。深入分析了在无限域和带边界条件下，如何利用格林函数构造积分方程形式的解，这对于电磁学和流体力学中的边界值问题至关重要。 4. 特征线法： 专门用于求解一阶和双曲型（如对流方程）PDEs。通过绘制特征线来追踪信息传播路径，直观地揭示了奇性或波的形成过程。 --- 第四部分：复变函数理论——工程问题的几何化处理 复变函数论不仅是数学上的优美理论，更是解决涉及势流、电磁场和稳定性分析的有力武器。 1. 复数与解析函数： 复数的几何表示、莫比乌斯变换。严格定义了解析函数的条件（柯西-黎曼方程），并探讨了解析函数的几何性质，如共形映射。 2. 柯西积分定理与公式： 本部分的核心。通过对积分路径的选取和留数定理的运用，将复杂的线积分问题转化为简单的代数运算。留数定理的应用将详尽覆盖在工程中常见的奇点积分求解。 3. 泰勒级数与洛朗级数： 区分解析点和奇点，并利用洛朗级数对孤立奇点进行分类（可去、极点、本性奇点）。 4. 共形映射在边界值问题中的应用： 展示如何利用共形映射（如施瓦茨-克里斯托费尔变换）将复杂几何区域的拉普拉斯方程问题，映射到简单区域（如半平面或圆盘）上求解，从而简化边界条件的处理。 --- 第五部分：数值分析与计算方法——工程求解的实践保障 鉴于许多复杂的工程问题无法获得解析解，本部分提供了稳定、高效的数值近似方法，是连接理论与计算机实现的桥梁。 1. 误差分析与稳定性： 首先强调浮点运算的误差来源（截断误差和舍入误差），引入条件数概念，评估数值解的可靠性。 2. 非线性方程与迭代法： 详细分析牛顿法、割线法和不动点迭代法的收敛速度和区域。 3. 线性系统的数值解： 不仅限于高斯消元法，更深入探讨了矩阵分解法（LU、Cholesky分解）和迭代求解器（如雅可比法、高斯-赛德尔法，以及更高级的共轭梯度法）在大型稀疏系统中的应用。 4. 数值积分与微分： 介绍牛顿-科茨公式族（如梯形法则、辛普森法则）和高斯求积法。对于微分，则过渡到有限差分方法的构建，为有限差分法（FDM）求解PDEs做铺垫。 5. 常微分方程的数值解： 侧重于单步法（欧拉法、龙格-库塔法）和多步法的稳定性和收敛性分析。特别关注刚性方程（Stiff Equations）的处理策略。 --- 总结： 《高级工程数学》的核心目标在于培养读者将抽象数学概念转化为解决实际工程难题的直觉和能力。本书的深度和广度确保了读者在面对如空气动力学、结构动力学、控制理论或复杂电磁场仿真等前沿课题时，能拥有坚实的数学后盾。通过对理论基础的严谨阐述和对经典与现代解法的全面覆盖，本书不仅是课程教材，更是工程研究人员案头的必备参考手册。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 qciss.net All Rights Reserved. 小哈图书下载中心 版权所有