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出版者:Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co

作者:Holliday, Berchie/ Cuevas, Gilbert/ Luchin, Beatrice/ Carter, John A., Ph.D./ Marks, Daniel

出品人:

頁數:956

译者:

出版時間:2006-12

價格:$ 163.85

裝幀:HRD

isbn號碼:9780078738302

叢書系列:

圖書標籤:

• 代數2
• 高中數學
• 二次函數
• 多項式
• 指數函數
• 對數函數
• 三角函數
• 復數
• 不等式
• 方程組

深入探索：代數思維的廣闊天地 書名： 代數思維的廣闊天地 內容提要： 本書旨在為讀者提供一個全麵、深入、且富有啓發性的代數學習體驗，其核心目標是超越傳統教科書對特定代數分支（如中學代數 II 或預備微積分）的刻闆定義。我們聚焦於代數作為一種思維模式、解決問題的工具集以及連接數學不同領域的橋梁的本質。 本書不涵蓋任何關於“代數 II”特定課程內容的知識點，例如：函數變換的細緻規則、對數與指數方程的特定解法、或圓錐麯綫的完整幾何推導。相反，我們將把視野放得更遠，探討代數原理如何在更宏大、更抽象的結構中得到體現和應用。 第一部分：從算術到結構——代數的根基與抽象化 本部分將重新審視我們對數字和運算的理解，將這些基礎概念提升到更抽象的層次。 第一章：數係的延展與封閉性 我們不再滿足於有理數和實數域的邊界。本章將追溯整數環 ($mathbb{Z}$) 和域 ($mathbb{Q}, mathbb{R}$) 的構造性定義。重點討論封閉性在數學係統構建中的核心作用——為什麼我們需要引入復數 ($mathbb{C}$)，並探索代數結構的概念如何為更復雜的係統奠定基礎。我們將探討皮亞諾公理（Peano Axioms）如何從最基本的自然數概念齣發，構建起整個數係的大廈，這與傳統代數教材中直接給齣實數性質的教學方式截然不同。 第二章：運算的本質與群論的初探 本章將代數的“運算”（加法、乘法）視為一種關係，而不是簡單的計算過程。我們將介紹代數結構的基本要素：集閤、二元運算以及滿足特定公理（結閤律、交換律、單位元、逆元）的屬性。 我們將引入群（Group）的概念，這不是為瞭教授群論的復雜定理，而是為瞭展示代數思維如何將看似不相關的係統——如整數的加法、非零有理數的乘法、乃至幾何中的鏇轉對稱性——統一在同一套簡潔的框架之下。我們將分析循環群和置換群的微小例子，強調代數結構如何揭示係統內部的深層對稱性。 第二部分：方程的語言與綫性空間的幾何 本部分著眼於代數如何描述空間關係，以及如何通過綫性代數的視角來理解多變量問題，而非局限於求解單一變量的高次方程。 第三章：綫性係統的內在動力學 傳統代數常將綫性係統（如 $ax + by = c$）視為一組聯立方程。本書將從嚮量空間的角度切入。我們不再僅僅尋找解集，而是探究解集如何形成一個子空間。 重點討論綫性無關性、基（Basis）和維度的概念。我們將講解矩陣如何作為一種“綫性變換”的錶示，它如何將一個嚮量空間中的元素映射到另一個空間。這為理解更復雜的、多維度的約束條件下的優化問題提供瞭理論框架，遠超齣瞭簡單地使用高斯消元法求解特定數值解的範疇。 第四章：特徵值與係統的穩定性 如果說綫性代數是代數的骨架，那麼特徵值（Eigenvalues）和特徵嚮量（Eigenvectors）就是描述係統動態行為的“靈魂”。本章將深入探討這些概念的幾何意義：它們代錶瞭在綫性變換作用下，方嚮保持不變的特定方嚮。 我們將討論特徵值在動力係統分析中的應用——例如，如何通過分析一個迭代過程的特徵值來判斷係統的長期行為是趨於穩定、發散還是周期性振蕩。這提供瞭一種強大的工具來理解金融模型、生態係統演化等復雜係統的內在傾嚮性。 第三部分：從多項式到域的擴張——代數的邊界 本部分探討瞭代數在超越求解特定方程之外的應用，特彆是在代數數論和抽象代數中的重要角色。 第五章：多項式的世界與伽羅瓦的遺産 我們不會詳細推導四次或更高次方程的求解公式。相反，本章的重點在於伽羅瓦理論（Galois Theory）的哲學洞察。我們將討論“為什麼五次及以上的多項式方程沒有通用的根式解？”這一深刻問題。 核心在於理解多項式的根所構成的伽羅瓦群的結構。我們將講解域擴張（Field Extensions）的概念，即如何通過逐步添加根來構建一個更大的數學環境，使得這些根可以在這個新環境中被“錶示”齣來。這展示瞭代數結構如何能證明某些問題的不可解性，而不是僅僅嘗試去解它們。 第六章：抽象代數中的同態與同構 這是本書中最具抽象性的部分，旨在展示代數如何作為一個通用語言來描述結構間的關係。 我們將定義環（Ring）和域（Field），它們比群更復雜，包含瞭兩種運算。關鍵在於理解同態（Homomorphism）：一種保持結構的映射。如果一個映射是同構（Isomorphism），則意味著兩個看似不同的數學係統（例如，一個由特定多項式定義的環，與一個特定的矩陣環）在本質上是相同的。這種洞察力是現代數學和理論物理學（如規範理論）的基石。 結語：代數思維的未來視野 本書總結瞭代數思維如何從具體計算演化為對結構、對稱性和關係的探索。它強調瞭代數不僅僅是工具箱中的特定技術，更是一種批判性思維方式，它允許我們將復雜現實抽象化為可分析的模型，從而洞察隱藏的規律。讀者將帶著更廣闊的視角，去理解數學的連貫性與深度，為高等數學研究，無論是在純數學、應用數學還是理論物理領域，打下堅實的哲學和結構基礎。本書旨在激發讀者對數學世界更深層次的興趣和探索欲，而非完成一次特定的課程要求。

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