Nonlinear Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Oxford University Press

作者:Dominic Jordan

出品人:

页数:540

译者:

出版时间:2007-10-11

价格:GBP 36.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780199208258

丛书系列:

图书标签:

非线性常微分方程
常微分方程
微分方程
数学
应用数学
数值分析
动力系统
工程数学
偏微分方程
数学建模

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具体描述

This is a thoroughly updated and expanded 4th edition of the classic text Nonlinear Ordinary Differential Equations by Dominic Jordan and Peter Smith. Including numerous worked examples and diagrams, further exercises have been incorporated into the text and answers are provided at the back of the book. Topics include phase plane analysis, nonlinear damping, small parameter expansions and singular perturbations, stability, Liapunov methods, Poincare sequences, homoclinic bifurcation and Liapunov exponents. Over 500 end-of-chapter problems are also included and as an additional resource fully-worked solutions to these are provided in the accompanying text Nonlinear Ordinary Differential Equations: Problems and Solutions, (OUP, 2007). Both texts cover a wide variety of applications whilst keeping mathematical prequisites to a minimum making these an ideal resource for students and lecturers in engineering, mathematics and the sciences.

动力系统的几何与拓扑：从解析到定性分析的桥梁（约1500字，旨在详细介绍与“非线性常微分方程”主题相关，但内容不完全重叠的数学物理领域）本书致力于探索动力系统理论的几何化与拓扑化方法，重点聚焦于那些无法通过标准解析技巧完全求解的系统的定性行为。我们摒弃了传统微分方程教材中对可积性或特殊解析解的过度依赖，转而深入研究系统在相空间中的流（Flow）所揭示的内在结构、稳定性和长期演化特性。全书结构围绕“几何直觉”与“严格数学工具”的结合展开，旨在为研究人员和高阶学生提供一套强大的、面向实际应用的分析框架。第一部分：基础的几何嵌入与相空间重构本部分首先建立起分析复杂动力系统的基础语言。我们从有限维流形上动力系统的概念出发，强调将微分方程视为切丛上的向量场。这不仅是概念上的提升，更是实际分析的基石。第一章：微分流形与向量场的基础我们详细阐述了光滑流形（Manifolds）的构造，如何定义流形上的切空间，以及向量场在这些空间上的作用。重点讨论了局部光滑性与全局结构之间的关系。不同于代数或解析方法的视角，这里我们关注的是系统轨迹如何在曲面上展开，以及解的存在性和唯一性在局部拓扑结构下的保持性。第二章：流、吸引子与局部稳定性本章深入研究了动力系统的“流”（Flow）的性质。我们将注意力集中在不动点（Fixed Points）和周期轨道（Periodic Orbits）的局部稳定性分析上。我们采用庞加莱截面（Poincaré Sections）的概念，将高维系统的演化过程映射到低维截面上的迭代映射。这是一种强大的几何降维技术，用于揭示系统的周期性和混沌行为的萌芽。讨论了线化分析（Linearization）的局限性，并引出了更具几何意义的李雅普诺夫稳定性理论的定性解释。第二部分：拓扑不变量与结构稳定性本部分是全书的核心，侧重于那些不随系统参数的微小变化而改变的拓扑特征，即系统的结构稳定性（Structural Stability）。这是区分可积系统与复杂系统的关键。第三章：同宿/异宿轨道与分岔的几何根源我们详细探讨了同宿（Homoclinic）和异宿（Heteroclinic）轨道的概念——这些轨道连接着鞍点或周期解，代表了系统内部能量或信息的“管道”。在参数空间中，同宿轨道的分岔（Homoclinic Bifurcation）通常是复杂行为（如极限环或混沌）出现的临界点。我们使用柯尔曼-哈密尔顿几何（Coleman-Hamiltonian Geometry）的视角，结合马尼科尔德（Manifolds）的概念，来刻画鞍点周围的稳定流形（Stable Manifold）和不稳定流形（Unstable Manifold）的交织结构。第四章：极限环与庞加莱-霍普夫分类本章专注于极限环（Limit Cycles）的存在性、唯一性和稳定性。我们将引入庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）定理的几何直觉，尽管该定理更多地应用于向量场在球面上的分布，但其背后的思想——关于向量场拓扑性质的全局约束——对于理解孤立极限环的生成至关重要。我们着重于Liénard方程等经典模型，用几何工具阐释极限环的产生与消失的拓扑机制，而非仅仅依赖于代数判据。第三部分：遍历理论与混沌的几何表征本部分将视野从局部分析拓展到系统的长期、全局行为，引入概率和测度论的几何视角来描述混沌（Chaos）。第五章：拓扑熵与传递性我们介绍了衡量系统复杂性的关键拓扑不变量——拓扑熵（Topological Entropy）。高拓扑熵直接暗示着系统在相空间中生成无限多不重复轨道的潜力。同时，我们讨论了拓扑传递性（Topological Transitivity），即系统是否能“访问”其相空间内的任意区域，这是混沌行为的一个必要但非充分条件。第六章：洛伦兹系统与奇异吸引子的几何形态本章通过深入分析洛伦兹系统（Lorenz System）这一经典案例，展示了如何使用几何工具来描述奇异吸引子（Strange Attractors）。我们不求其解析解，而是聚焦于其分形维度（Fractal Dimension）和切片结构。特别是对洛伦兹吸引子中的“折叠与拉伸”（Stretching and Folding）机制进行几何分解，解释了这种机制如何导致轨迹的无限敏感依赖性。第七章：同胚与拓扑共轭在最后，我们讨论了判断两个动力系统是否“本质相同”的严格标准：拓扑共轭（Topological Conjugacy）。一个动力系统与另一个系统共轭，意味着存在一个保持时间流逝和拓扑结构的映射将它们联系起来。这一概念在比较不同物理模型（例如，一个连续系统与其对应的离散映射）时具有至关重要的意义。我们探讨了马斯洛夫-托波诺戈夫（Maslov-Toponogov）算子的几何意义，它为高维系统提供了判断拓扑等价性的强力工具。 --- 全书的叙事主线是：当解析手段失效时，我们转向相空间的几何结构；当结构不稳定时，我们寻找那些由拓扑不变量保证的全局特性。本书为读者提供了一种超越传统积分技巧的思维模式，将微分方程的研究提升到了一个更具几何直觉和拓扑严格性的层次。