Harmonic analysis， partial differential equations， and related topics. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Gavosto, Estela A. (EDT)/ Korten, Marianne K. (EDT)/ Moore, Charles N. (EDT)/ Torres, Rodolfo H. (ED

出品人:

页数:179

译者:

出版时间:

价格:1067.00元

装帧:Pap

isbn号码:9780821840931

丛书系列:

图书标签:

• 调和分析
• 偏微分方程
• 傅里叶分析
• 泛函分析
• 数学分析
• 数值分析
• 概率论
• 应用数学
• 数学物理
• 常微分方程

泛函分析、拓扑学与黎曼几何导论 本书旨在为读者提供一个坚实的数学基础，深入探讨泛函分析、拓扑学和黎曼几何这三大相互关联的数学分支。它不仅涵盖了这些领域的核心概念和基本定理，更侧重于展示它们之间的内在联系以及在现代数学和物理学中的应用。 第一部分：泛函分析基础 本部分首先从经典的巴拿赫空间（Banach Spaces）和希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的构造与性质入手。我们将详细介绍赋范向量空间、完备性（Completeness）的重要性，并深入探讨有界线性算子（Bounded Linear Operators）的空间结构。巴拿赫-斯坦豪斯定理（Banach-Steinhaus Theorem，即均匀有界性原理）和开映射定理（Open Mapping Theorem）作为泛函分析的基石，将得到详尽的证明和讨论。 核心章节将聚焦于对偶空间（Dual Spaces）。我们区分了强对偶和弱对偶，并引入了Hahn-Banach定理，这是构造特定线性泛函的关键工具。紧接着，我们将引入黎茨表示定理（Riesz Representation Theorem），阐明了希尔伯特空间中连续线性泛函的本质。 在紧凑性理论方面，本书会详细讲解弱收敛（Weak Convergence）的概念，并利用Banach-Alaoglu定理来处理非有限维空间中的紧凑性问题。对于紧算子（Compact Operators），我们将探讨它们的谱理论（Spectral Theory），特别是谱的结构如何反映了算子本身的性质，例如其特征值和特征向量。 此外，本部分会涉及更高级的主题，包括索博列夫空间（Sobolev Spaces）的初步介绍，这些空间在处理偏微分方程的弱解时至关重要。通过大量的实例和习题，读者将能够熟练运用这些分析工具。 第二部分：拓扑学与流形 拓扑学部分从集合论的基本概念出发，迅速过渡到点集拓扑（Point-Set Topology）。我们将定义拓扑空间，探讨开集、闭集、邻域系统和连续函数。紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）作为拓扑空间最关键的内在不变量，将被赋予细致的讨论，并展示它们如何推广了实数轴上的基本性质。 分离公理（Separation Axioms）的层次结构，从T1到正则性、T2（豪斯多夫性质），将被清晰地梳理。本书特别强调了积空间（Product Spaces）和商空间（Quotient Spaces）的构造，这些是构建复杂拓扑空间的常用方法。 随后，我们将引入同伦（Homotopy）的概念，并开始探讨代数拓扑的门槛——基本群（Fundamental Group）。通过计算圆周 $S^1$ 和其他简单空间的低维基本群，读者将体会到代数方法在区分拓扑空间上的强大威力。 过渡到微分拓扑，本书引入了可微流形（Differentiable Manifolds）的概念。我们将定义光滑结构、切空间（Tangent Spaces）和向量场。微分形式（Differential Forms）的代数结构，包括楔积（Wedge Product）和外导数（Exterior Derivative），将被详细阐述。德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的理论框架将被搭建起来，展示微分形式如何揭示流形的拓扑结构，这是连接分析与拓扑的桥梁。 第三部分：黎曼几何初探 本部分的重点是将微分几何的概念提升到黎曼几何的高度。我们从度量张量（Metric Tensor）开始，定义了黎曼流形（Riemannian Manifolds）。度量的引入使得我们可以在流形上谈论长度、角度和曲率。 关键概念是联络（Connection）和平行移动（Parallel Transport）。我们将严格定义黎曼联络（Riemannian Connection），并证明其唯一性，即Levi-Civita联络。这使得我们能够构造协变导数（Covariant Derivative）。 曲率是黎曼几何的核心。本书将详细推导黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor），并探讨其重要的代数性质，例如第一和第二比安基恒等式（First and Second Bianchi Identities）。通过Ricci张量和斯卡拉曲率（Scalar Curvature），读者将看到曲率如何量化流形在局部上的弯曲程度。 流形上的测地线（Geodesics）——即“直线”的推广——将被定义为曲率对长度的极小化路径。我们将利用变分原理推导出测地线方程，并讨论完备的黎曼流形（Complete Riemannian Manifolds）的性质，例如Hopf-Rinow定理。 最后，本书将简要介绍爱因斯坦场方程的数学背景，展示黎曼几何在广义相对论中的核心地位，并展望辛几何（Symplectic Geometry）等相关前沿领域。 目标读者与方法论 本书的目标读者是具有扎实的实分析和线性代数基础的研究生和高年级本科生。我们坚持从直觉动机出发，辅以严格的证明，力求在概念的清晰度和数学的严谨性之间取得平衡。每一章节都包含大量的例题和深入的习题，旨在培养读者运用高级分析工具解决几何和拓扑问题的能力。本书强调不同学科之间的相互启发，期望读者能够构建一个统一的、多视角的现代数学图景。

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