Fundamentals of Approximation Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Morgan & Claypool

作者:Mhaskar, H

出品人:

页数:562

译者:

出版时间:

价格:757.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9781842654286

丛书系列:

图书标签:

• Approximation Theory
• Numerical Analysis
• Mathematical Analysis
• Real Analysis
• Functional Analysis
• Spline Interpolation
• Least Squares
• Orthogonal Polynomials
• Algorithms
• Mathematics

深入浅出：泛函分析与优化方法 图书概述 《深入浅出：泛函分析与优化方法》是一部面向高等院校数学、应用数学、物理学、工程学等相关专业的高年级本科生和研究生深度阅读的专著。本书旨在系统、严谨地阐述泛函分析的基石概念，并将其核心理论无缝衔接到现代优化理论的实际应用中。全书结构紧凑，逻辑清晰，侧重于理论的内在联系和实际问题的建模能力培养，避免了纯理论书籍常见的晦涩难懂和脱离实际的弊病。本书的独特之处在于，它不仅仅是关于抽象空间的讨论，更是一部关于“如何利用无穷维空间工具解决实际约束优化问题”的实用指南。 第一部分：泛函分析的基础构架 本部分为全书的理论基石，详细介绍了构建泛函分析大厦所需的拓扑和度量空间概念，并逐步引入了核心的线性拓扑空间——赋范线性空间、巴拿赫空间以及希尔伯特空间。 第一章：度量空间与拓扑基础回顾 本章首先回顾了必要的实分析和集合论知识，随后深入探讨了度量空间的完整性概念（完备性），并引入了紧致性（列紧性）的度量空间特征。重点分析了Baire范畴定理及其在函数空间中的重要应用，例如证明连续函数集在特定范数下不是稠密的。 第二章：赋范线性空间与范数拓扑 本章的核心在于建立线性结构与拓扑结构的桥梁。详细讨论了线性泛函的性质，特别是连续线性泛函的定义和判别准则。引入了等距嵌入的概念，为后续引入内积空间做铺垫。 第三章：巴拿赫空间：完备性的力量 巴拿赫空间作为最基础且应用广泛的完备赋范线性空间，占据了本部分的关键篇幅。详细阐述了开闭映射定理和Hahn-Banach延拓定理的证明及其在有界性证明中的应用。特别关注了共轭空间（对偶空间）的概念，并分析了有限维空间与无穷维空间在对偶空间结构上的本质区别。 第四章：希尔伯特空间：内积的几何直觉 本章引入了内积的概念，将代数运算提升到了具有几何意义的内积空间。重点讨论了正交性、正交投影定理，这是后续最小二乘法和傅里叶分析的理论基础。详细推导了Riesz表示定理，该定理是连接希尔伯特空间及其对偶空间的最重要工具。 第二部分：算子理论与线性映射的分析 在掌握了基础空间结构后，第二部分转向研究作用于这些空间上的映射——线性算子，为优化问题中的迭代方法提供理论支持。 第五章：有界线性算子 本章定义了有界线性算子，并分析了连续性与有界性的等价性。深入研究了算子范数，并引入了算子空间的概念。本章的重点在于理解算子的“大小”如何影响其性质，为稳定性分析打下基础。 第六章：紧算子与谱理论的初步接触 本章引入了紧算子（Compact Operators）的概念，它们在某种程度上模仿了有限维线性代数中的矩阵行为。详细阐述了紧算子的谱性质，特别是Fredholm选择定理的非严格讨论。通过分析黎兹-肖尔引理，展示了紧算子在逼近复杂算子时的重要性。 第七章：自伴算子与谱定理（针对自伴算子） 本章是理论的深化，专注于希尔伯特空间上自伴算子的研究。全面讲解了自伴算子的谱定理，包括谱测度及其在函数演算中的应用。详细讨论了自伴算子在量子力学（作为可观测量的数学表征）中的基础地位。 第三部分：变分法与优化理论的泛函分析视角 第三部分是全书的实践核心，它将前两部分的理论工具应用于解决实际的变分问题和约束优化问题。 第八章：变分法基础与欧拉-拉格朗日方程 本章从泛函（定义在函数空间上的函数）的概念出发，引出变分法的基本思想。系统推导了经典变分问题中的欧拉-拉格朗日方程，并引入了泛函的可微性概念——Fréchet导数和Gâteaux导数，这些是泛函分析工具进入优化领域的关键桥梁。 第九章：变分问题的适定性分析 本章侧重于证明变分问题的解的存在性、唯一性和稳定性。引入了极小值原理，并结合Sobolev空间（未深入讲解其拓扑结构，但侧重其应用）的性质，讨论了满足特定边界条件的极值点的性质。重点分析了弱解与强解之间的关系。 第十章：凸分析与约束优化 本章将泛函分析的工具提升到凸分析的层面，为现代非线性优化奠定基础。详细讨论了凸集、凸函数的基本性质，如分离定理和支撑超平面定理。随后，引入了鞍点理论和Lagrange乘子法在无穷维空间中的推广——Kuhn-Tucker条件。 第十一章：梯度方法与迭代求解 本章关注如何使用泛函分析的理论来设计有效的数值求解算法。重点分析了最速下降法、牛顿法及其共轭梯度法的收敛性分析。收敛性证明严格依赖于巴拿赫空间中的不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）和次微分（Subgradients）的概念，展示了理论如何指导算法的选择和收敛速度的估计。 本书特点总结 本书的叙事逻辑是从“点”（度量空间）到“线”（线性泛函）再到“面”（算子和函数空间），最后回到“实际问题”（优化）。它要求读者具备扎实的线性代数和实分析基础，并通过详尽的例子和从理论到应用的推导，使读者能够熟练运用无穷维工具解决涉及微分方程、控制论和最优化设计中的核心问题。本书的难度适中偏高，是进入高级应用数学研究的理想垫脚石。

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