Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Polianin, A. D./ Zaitsev, Valentin F.

出品人:

页数:787

译者:

出版时间:

价格:1297.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9781584882978

丛书系列:

图书标签:

• 常微分方程
• 常微分方程解
• 精确解
• 数学
• 应用数学
• 微分方程
• 工程数学
• 科学计算
• 数学手册
• 偏微分方程

好的，这是一份关于一本名为《Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations》的图书的不包含该书内容的详细图书简介。 --- 图书名称： 《现代微分方程数值分析与应用：理论、算法与实践指南》 图书简介： 导言：从理论到实践的桥梁 在现代科学与工程的广阔领域中，微分方程无疑是描述和模拟自然界与人造系统中动态行为的核心数学工具。然而，对于绝大多数实际问题而言，获得解析解（即“精确解”）是遥不可及的奢望。本书《现代微分方程数值分析与应用：理论、算法与实践指南》正是在这一背景下应运而生，旨在为研究人员、工程师、高级学生以及数据科学家提供一个全面、深入且极具实践指导性的框架，用以掌握求解常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的数值方法。 本书的核心理念在于，对于无法解析求解的复杂系统，稳健、高效且可靠的数值方法是实现科学洞察和工程决策的唯一途径。我们不侧重于寻找那些理论上已知的特解，而是聚焦于如何系统地、可控地逼近真实世界的复杂解。 第一部分：常微分方程的数值求解基础 (ODEs) 本部分奠定了求解常微分方程数值方法的理论基石，并深入探讨了经典与现代的求解器设计。 第一章：问题设定与误差分析基础 我们首先严谨地定义了初值问题（IVP）和两点边值问题（BVP）的数学结构。重点在于引入局部截断误差 (LTE)、全局误差、收敛性和稳定性这四大核心概念。详细阐述了欧拉方法（前向和后向）的几何意义及其局限性，并引入了如何使用泰勒级数来理解高阶方法的构建逻辑。讨论了绝对稳定性和相对稳定性区域的概念，这是选择合适数值积分器的关键。 第二章：Runge-Kutta 方法的深度剖析 本章系统地梳理了经典的显式和隐式Runge-Kutta (RK) 方法族。我们不仅仅罗列公式，而是深入分析了它们的构造原理，例如如何通过Butcher Tableau来表示和设计这些方法。详细分析了RK4作为工业标准方法的优势与不足，并重点介绍了适应步长的现代方法，如Fehlberg对偶步长法（用于误差估计）和Dormand-Prince（DOPRI）方法。对于刚性方程组（Stiff Systems），本书强调了隐式方法的必要性，并引入了隐式欧拉法和后向稳定公式 (BDF)，解析了它们在处理特征值尺度相差巨大的系统中的优越性。 第三章：处理大尺度与高精度需求 针对需要长时间积分或极高精度的应用，本章探讨了多步法，包括Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）方法。详细讨论了如何平衡多步法的效率与局部误差控制，以及如何处理方法启动阶段的初始化问题。此外，还引入了谱方法作为一种高精度工具，特别是在处理光滑解的PDE边界条件时，其快速收敛性的优势被充分展示。 第二部分：偏微分方程的数值离散化技术 (PDEs) 本部分转向对空间导数的离散化，这是处理流体力学、热传导、电磁学等问题的核心挑战。 第四章：有限差分法 (FDM) 的全面构建 FDM是处理简单几何形状PDEs的基石。本章详细讲解了如何将二阶导数（如拉普拉斯算子）进行离散化，并讨论了中心差分、前向差分和后向差分的精度与稳定性权衡。对于抛物型方程（如热传导方程），我们深入分析了显式FTCS格式的条件稳定性限制，并详细推导了Crank-Nicolson格式的无条件稳定性证明，阐述了该混合格式在精度和稳定性上的平衡优势。对于双曲型方程（如对流方程），重点分析了迎风格式处理对流项带来的数值耗散和色散现象。 第五章：有限体积法 (FVM) 与守恒律 FVM因其内在的守恒性（无论是质量、动量还是能量），成为计算流体力学（CFD）的首选方法。本章从积分形式的控制方程出发，构建了FVM的基本框架。详细讨论了如何选择通量函数（Flux Function），特别是在处理非线性对流项时，引入了黎曼求解器（如Roe格式、HLL格式）的概念，用以精确捕捉激波和不连续解。本章强调了网格质量对解的鲁棒性的影响。 第六章：有限元方法 (FEM) 的变分基础 FEM以其处理复杂几何形状的卓越能力，在结构力学和电磁学中占据主导地位。本章从弱形式（变分形式）出发，详细解释了Galerkin方法的核心思想。讨论了形函数（Shape Functions）的选择（如线性、二次插值），以及如何在单元层面构建刚度矩阵和质量矩阵。对装配过程进行了细致的描述，并分析了FEM在处理边界条件时的优雅性。 第三部分：大型系统的求解与现代计算策略 数值求解最终将归结为求解大规模线性代数方程组。本部分关注如何高效地解决这些系统。 第七章：线性系统的求解器：直接法与迭代法 对于中小规模问题，本章首先探讨了直接解法，如LU分解和Cholesky分解，并分析了稀疏矩阵的存储优化。重点转向大规模问题的核心——迭代法。详细介绍了Krylov子空间方法，包括GMRES（用于非对称系统）和共轭梯度法 (CG)（用于对称正定系统）。至关重要的是，本章深入探讨了预条件子 (Preconditioners) 的设计与应用，解释了为什么没有有效的预条件子，大多数现代PDE求解器将寸步难行。 第八章：时间离散化与多物理场耦合 在处理时间依赖性问题时，如何有效地将时间积分（如BDF或RK）与空间离散（如FDM或FEM）结合起来是关键。本章讨论了隐式-隐式（I-I）、显式-隐式（E-I）等耦合策略的选择。最后，本书探讨了算子分裂法和亚求解器（Sub-cycling）技术在处理多尺度（例如，流体与固体传热的耦合）问题中的应用，强调了稳定性和计算效率之间的平衡。 结论：展望未来的计算范式 本书不仅是一本工具书，更是一部方法论指南。它强调数值方法的设计必须基于对底层物理过程的深刻理解，并要求对所采用算法的稳定性和收敛性有清晰的认识。通过掌握本书内容，读者将能够独立地选择、实现、验证并优化求解任何给定微分方程问题的数值方案，从而真正驾驭现代工程与科学研究中的复杂动态系统。 ---

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