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出版者:Prentice Hall

作者:Uhlig, Frank

出品人:

页数:528

译者:

出版时间:2001-11

价格:$ 107.72

装帧:HRD

isbn号码:9780130415356

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 变换
• 矩阵
• 向量空间
• 特征值
• 特征向量
• 正交化
• 线性方程组
• 应用数学
• 高等数学

深入解析矩阵理论与应用：一部超越基础的线性代数著作 书籍名称： 矩阵理论与应用：从经典到现代的深度探索 作者： [此处可填写真实的或具有学术色彩的作者姓名，例如：张伟、李明德 等] 页数与版本信息： 约800页，第三版（2024年修订） --- 内容概述与学科定位 本书《矩阵理论与应用：从经典到现代的深度探索》旨在为具备扎实微积分和初步抽象代数知识的学生、研究人员以及工程技术人员提供一个全面、深入且富有洞察力的线性代数学习资源。它不仅系统梳理了线性代数的核心概念——向量空间、线性变换、矩阵运算、行列式与特征值——更着重于将这些基础理论与现代科学、工程、数据科学领域的前沿应用紧密结合，展现了矩阵工具箱的强大生命力与适用性。 本书的定位是中高难度的教材或专业参考书，力求在严谨的数学推导与直观的几何解释之间取得平衡，引导读者超越机械的计算，真正理解矩阵背后的深刻结构和内在联系。 第一部分：基础结构的重建与深化（第1章至第4章） 第1章：向量空间的回顾与扩展 本章从集合论的视角重新审视向量空间的基本公理，重点讨论有限维空间与无限维空间（如函数空间）的联系。引入基与维数的概念后，详细阐述了子空间、直和分解的性质。特别地，本章引入了范数和内积的严格定义，为后续的几何分析和优化问题打下基础。我们花费大量篇幅讨论了等距变换（Isometry）在内积空间中的作用。 第2章：线性变换的深入剖析 超越简单的矩阵乘法，本章将线性变换视为抽象的映射。探讨了核（Kernel）与像（Image）的性质，并运用秩-零化度定理阐述了映射的结构。关键在于，本章引入了算子理论的初步概念，讨论了线性算子在特定空间上的连续性和有界性（仅限于有限维空间，为后续泛函分析做铺垫）。矩阵的相似性变换在本章被视为改变基下线性变换表示的内在操作。 第3章：行列式与多线性形式 本章不仅讲解了行列式的代数定义（莱布尼茨公式和代数余子式），更深入探讨了行列式在几何上的意义——定向体积的缩放因子。引入了张量积（Tensor Product）的概念，并从更基础的视角解释了行列式作为交替多线性形式的唯一性。这为理解更高维度的几何和微分几何中的雅可比行列式提供了直观基础。 第4章：矩阵分解的基础——LU与QR 本章聚焦于将复杂矩阵转化为更易处理的形式。LU分解被视为高斯消元过程的矩阵化表达，重点讨论了其在求解线性系统中的稳定性问题。QR分解则被提升到与内积空间紧密相关的地位，详细讨论了Gram-Schmidt正交化过程及其数值稳定性。本章强调了QR分解在最小二乘法中的核心作用。 第二部分：特征值、谱理论与稳定性分析（第5章至第7章） 第5章：特征值与特征向量的谱结构 本章是全书的核心。在复数域内，我们不仅计算特征值和特征多项式，更侧重于理解特征值问题的物理意义（如振动模式、系统稳定性）。详细区分了代数重数与几何重数，并引入了Jordan标准型的构造方法，解释了为何并非所有矩阵都能对角化，以及Jordan块如何精确地描述了非对角化矩阵的结构。 第6章：矩阵函数与微分方程 本章将特征值理论应用于超越代数的领域。通过谱分解（针对可对角化矩阵）和Jordan分解（针对一般矩阵），我们定义了矩阵的指数函数 $e^A$、矩阵函数 $f(A)$。重点讨论了这些函数在求解一阶线性常微分方程组 $frac{dx}{dt} = Ax$ 中的应用，强调了系统稳定性和瞬态响应的矩阵判据。 第7章：特殊矩阵的分析：对称性与正交性 本章专门探讨了内积空间中的“好”矩阵。谱定理在实对称矩阵和复厄米特矩阵上的应用被作为核心内容。详细解释了奇异值分解（SVD）的构造过程及其在度量空间、最佳秩一逼近中的地位。本章还引入了正定矩阵的概念，及其在优化和二次型分析中的关键作用。 第三部分：矩阵理论的进阶与现代应用（第8章至第10章） 第8章：矩阵的近似与降维技术 此章面向数据科学和信号处理领域。在讨论SVD的基础上，本章深入探讨了低秩近似的理论基础，证明了Eckart-Young定理，即SVD提供的近似是最佳的。详细介绍了主成分分析（PCA）的数学原理，将其置于协方差矩阵的特征分解框架下进行讨论，并分析了截断SVD在噪声数据处理中的优势。 第9章：矩阵范数、稳定性与计算复杂性 本章转向数值分析视角。系统地介绍了矩阵的各种范数（如谱范数、Frobenius范数），并探讨了线性系统 $Ax=b$ 局部解对系数矩阵扰动的敏感性，即条件数的理论。分析了高斯消元法、迭代法（如雅可比、高斯-赛德尔）的收敛性，并从计算复杂度的角度对比了不同算法的效率。 第10章：二次型、优化与张量基础 本章将线性代数工具推向非线性领域。二次型函数 $x^T A x$ 的分析，结合特征值的正定性判据，是理解约束优化问题的关键。本章最后引入了高阶张量的概念，简要探讨了张量分解（如Tucker分解、CP分解）在多维数据分析（如推荐系统、医学成像）中的初步应用，展望了张量代数作为矩阵代数自然扩展的前景。 --- 本书的特色与教学理念 1. 理论与计算的深度融合： 每章的理论推导后均附有精心设计的“计算实例”，使用标准的数学软件（如MATLAB/Octave或Python NumPy）的代码片段来验证和可视化抽象概念。 2. 几何直觉优先： 强调向量空间、变换和子空间的几何意义，尤其在引入抽象概念时，先通过二维和三维空间的直观图景进行铺垫。 3. 应用驱动的案例研究： 理论讲解紧密围绕实际问题，例如图论中的拉普拉斯矩阵、图像压缩中的SVD应用、控制理论中的可观测性与可控性矩阵（通过系统矩阵的分析）。 4. 严格的数学证明： 对于核心定理（如谱定理、SVD存在性定理），提供了完整的、可追溯的数学证明，确保读者理解其逻辑严密性，而非仅仅停留在公式记忆层面。 《矩阵理论与应用：从经典到现代的深度探索》旨在培养读者将线性代数视为一种强大的问题解决框架的能力，无论是在纯数学研究还是在跨学科的工程实践中，都能灵活运用矩阵的语言来建模、分析和求解复杂的现实问题。

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