Measure Theory and Probability pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Malcolm Adams

出品人:

页数:220

译者:

出版时间:1996-01-26

价格:USD 49.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817638849

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• Mathematics
• Measure Theory
• Probability
• Real Analysis
• Mathematical Analysis
• Stochastic Processes
• Statistical Inference
• Advanced Mathematics
• Graduate Level
• Probability Theory
• Measure Space

现代代数基础：群、环与域的结构 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代代数基础，重点探讨群论、环论和域论的核心概念、结构及其在数学其他分支中的应用。本书面向具有微积分和线性代数基础的数学专业学生、研究人员以及对抽象代数有浓厚兴趣的读者。我们力求在保持数学严谨性的同时，通过大量的实例和几何直观来阐明抽象概念。 第一部分：群论基础 第一章：代数结构与二元运算 本章首先回顾了集合、函数和映射的基本概念，为引入代数结构做铺垫。随后，我们详细定义了二元运算，并探讨了封闭性、结合律、交换律等基本性质。重点讨论了单位元（恒等元）和逆元的概念。通过分析一些具体的代数系统，如整数集、有理数集、矩阵集合上的加法和乘法，读者将对抽象代数语言的必要性建立初步认识。 第二章：群的定义与基本性质 群是抽象代数的核心基石。本章严格定义了群（Group）的四个公理：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。我们将经典例子，如整数集$mathbb{Z}$（在加法下）、非零有理数集$mathbb{Q}^$（在乘法下）以及$n$阶可逆矩阵集合，作为初始案例进行分析。随后，我们深入研究群的内部结构，包括子群的定义、左陪集与右陪集、拉格朗日定理及其在计算群阶中的重要性。 第三章：同态、同构与正规子群 本章将代数结构之间的关系提升到形式化的层面。我们定义了群同态和群同构，它们描述了不同群之间结构保持的映射关系。同构的意义在于揭示了看似不同的群在本质上是等价的。接着，引入了正规子群（Normal Subgroup）的概念，这是构造商群的关键。正规子群的特征被深入探讨，特别是其与陪集之间的内在联系。 第四章：商群与第一同构定理 商群（Quotient Group）的构造是群论中最具创造性的步骤之一。本章详细阐述了如何利用正规子群来构造一个群的因子群。随后，我们将介绍群论的“基本定理”——第一同构定理（First Isomorphism Theorem）。该定理深刻揭示了同态、核（Kernel）与像（Image）之间的关系，为理解抽象结构之间的映射提供了强大的工具。 第五章：群的作用与Sylow定理 本章转向更高级的群结构分析，即群在集合上的作用（Group Action）。通过对作用的定义、轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的研究，我们引入了“轨道-稳定子定理”，该定理在计算群的阶和结构时极为有效。随后，我们将集中精力于有限群的结构——Sylow定理。这三条定理（Sylow第一、第二、第三定理）提供了关于有限群中特定阶的子群存在的充要条件，是有限群分类理论的基石。 第六章：特殊群的结构 本章涵盖了几类具有重要意义的群： 有限交换群（Abelian Groups）： 讨论了有限交换群的构造定理，即任何有限交换群都可以分解为其初等因子群的直和。 置换群（Permutation Groups）： 详细分析了对称群$S_n$和交错群$A_n$的性质，包括循环分解、对偶性和奇偶性。 直积与半直积： 介绍了群的组合结构，如内部直积和半直积，它们帮助我们理解如何从更小的群构建更大的群。 第二部分：环论与域论 第七章：环的定义与基本概念 从群论过渡到环论，我们引入了两个运算的代数结构——环（Ring）。本章定义了环的公理，包括加法构成交换群，乘法满足结合律，以及分配律的联接作用。我们将研究具有单位元的环、交换环、积分域（Integral Domain）等特殊类型。经典的例子包括整数集$mathbb{Z}$、多项式环$F[x]$以及矩阵环$M_n(F)$。 第八章：子环、理想与商环 类似于群中的子群，环中有子环（Subring）。更关键的概念是理想（Ideal），它在环的乘法结构中扮演着类似正规子群的角色。本章定义了左、右理想及双边理想。通过理想，我们可以构造商环（Quotient Ring），这是环论中对等价类构造的推广。 第九章：环同态与同构定理 本章将同态与同构的概念扩展到环结构，定义了环同态及其核与像。环的第一同构定理在理想的背景下得到了精确的表述，展示了理想在结构分解中的核心地位。此外，还将简要介绍素理想（Prime Ideal）和极大理想（Maximal Ideal）的概念及其与域构造的关系。 第十章：整环与域 本章聚焦于没有零因子（Zero Divisors）的交换环——整环（Integral Domain）。随后，我们定义了域（Field）——一个非零元素在乘法下构成群的交换环。域是进行代数运算，特别是多项式除法和域扩张的基础。本章将展示如何从任意整环构造其分数域（Field of Fractions）。 第十一章：主理想整环、唯一因子分解整环与多项式环 本章探讨了环的分解性质： 主理想整环（PID）： 每个理想都是由单个元素生成的整环，如$mathbb{Z}$和$F[x]$。 唯一因子分解整环（UFD）： 环中的每个非零非单位元素都可以唯一地分解为其不可约元素（类似素数）的乘积，如$mathbb{Z}$和$F[x]$（对于域$F$）。 欧几里得整环（ED）： 具有欧几里得算法的环，例如$mathbb{Z}$和$F[x]$，并证明了$ ext{ED} implies ext{PID} implies ext{UFD}$的包含关系。 第十二章：域扩张与伽罗瓦理论简介 本章将代数从单一的环结构推进到域之间的关系。我们定义了域扩张$E/F$，以及其次数$[E:F]$。本章将介绍代数数和超越数，以及如何构造有限域（Galois Fields）。最后，本书将以伽罗瓦理论的初步思想作结，说明域扩张的自同构群（Galois Group）如何揭示多项式方程可解性的深层代数原因。 全书通过严谨的证明、丰富的例子和结构化的章节安排，确保读者不仅掌握代数结构的形式定义，更能理解它们之间深层次的内在联系与应用潜力。

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MIT open course教材，本想说Fourier Analysis也蛮有趣，但还是算了abstract math有点够了。

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