Permutation Groups (London Mathematical Society Student Texts) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Peter J. Cameron

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:1999-03-28

价格:USD 50.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521653787

丛书系列:London Mathematical Society Student Texts

图书标签:

数学
群论
排列群
抽象代数
高等代数
伦敦数学学会学生教材
代数学
数学教材
数学研究
数学

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具体描述

Permutation groups are one of the oldest topics in algebra. However, their study has recently been revolutionised by new developments, particularly the classification of finite simple groups, but also relations with logic and combinatorics, and importantly, computer algebra systems have been introduced that can deal with large permutation groups. This book gives a summary of these developments, including an introduction to relevant computer algebra systems, sketch proofs of major theorems, and many examples of applying the classification of finite simple groups. It is aimed at beginning graduate students and experts in other areas, and grew from a short course at the EIDMA institute in Eindhoven.

《置换群论导论：结构、应用与现代视角》本书旨在为读者提供一个全面而深入的置换群理论框架。它不仅涵盖了置换群的基础概念和经典定理，还特别强调了群作用、矩阵表示、以及群与组合结构之间的深刻联系。本书的结构设计旨在满足从本科高年级到初级研究生对代数、组合学和离散数学有一定基础的读者的需求。第一部分：基础与核心概念本书伊始，我们将严谨地定义置换（permutations）及其群（permutation groups）。读者将学习如何使用循环表示法和双线表示法来描述和操作置换。我们深入探讨了置换群的结构，包括群的生成元、子群的性质，以及共轭类（conjugacy classes）的计算方法。特别关注了对称群 $S_n$ 和交错群 $A_n$ 的基本特性，这是理解更复杂群结构的基础。对称群与交错群的深入剖析：我们将详细分析 $S_n$ 的阶、中心、换位子子群。对于 $A_n$，本书将构建一系列定理来证明其在 $n ge 5$ 时的单群性（simplicity），这是一个群论中的里程碑式结果。群作用（Group Actions）：群作用的概念是连接群论与几何、组合学的桥梁。我们将定义左作用和右作用，并着重分析轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）。利用这些工具，我们将推导出著名的轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem），并用其解决一系列计数问题，例如计算具有特定对称性的对象的数量。 Sylow 定理的应用： Sylow 定理是有限群论的基石。本书将清晰地阐述第一、第二和第三 Sylow 定理的陈述与证明。随后，我们将展示如何利用这些定理来确定给定阶的群的结构，以及何时一个群必然包含正规子群，这对于识别可解群（solvable groups）至关重要。我们将使用 Sylow 定理来例证非阿贝尔群的构造，例如二面体群和四元数群。第二部分：置换群的分类与表示在掌握了基础概念后，本书转向了置换群的内部结构分析和表示理论的初步介绍。可递性与本原性：我们引入了“可递群”（transitive groups）和“本原群”（primitive groups）的概念。本原性是衡量一个群的对称性“强度”的关键指标。我们将探讨 Jordan 定理在识别本原群方面的重要性，并讨论如何通过分析群在集合上的作用来判定其本原性。 Cauchy-Frobenius 引理与 Burnside 引理：计数理论在置换群中占据核心地位。我们将详细推导和应用 Burnside 引理（有时称为 Cauchy-Frobenius 引理），用它来计算在给定置换群作用下的不动点集的大小，这在物理学中的晶体学和化学中的分子对称性分析中有直接应用。群的矩阵表示（Representations）：本部分是连接代数和线性代数的关键。我们将介绍群表示的基本定义、等价表示、可约表示和不可约表示。我们将重点关注置换群的置换表示（permutation representation）及其诱导的标准表示（standard representation）。通过分析这些表示的特征标（characters），读者将学会如何利用特征标理论来区分不可约表示，并判断一个子群是否为正规子群，这为研究更高维度的群结构提供了代数工具。第三部分：结构与高级主题本书的最后一部分将探讨更深入的结构理论和置换群在其他数学领域的体现。群的分解与扩张：我们将讨论如何通过直积（direct products）和半直积（semidirect products）来构造复杂的群。半直积的概念对于理解非交换群的构造至关重要，例如如何从两个较小的群构造出二面体群 $D_{2n}$。此外，我们将简要介绍群扩张（group extensions）的概念，即如何通过一个群 $N$ 和一个商群 $Q$ 来构造一个包含 $N$ 且 $N$ 是正规子群的群 $G$。置换群与生成集：许多群论问题归结于找到一组生成元。本书将探讨如何用较少的生成元来表示特定的置换群，特别是如何使用“三反射定理”（Three Reflections Theorem）的变体来处理某些有限反射群（reflection groups）的例子。应用导向：虽然本书侧重于理论基础，但我们将在贯穿始终的例子中，展示置换群在以下领域的实际应用：组合设计理论：如何使用群作用来构造平衡不完全区组设计（BIBDs）或分析拉丁方阵的性质。图论：自反群（automorphism groups）在分析图的对称性中的作用。学习目标与读者对象通过学习本书，读者将能够： 1. 熟练掌握有限群的结构理论，特别是 Sylow 定理的强大应用。 2. 理解群作用的机制，并能利用轨道-稳定子定理解决计数问题。 3. 掌握基本的表示理论工具，能够计算和分析置换群的特征标。 4. 对置换群的本原性、单群性等高级结构有深入的理解。本书的难度适中，适合作为代数课程的教材或参考书，特别是对于那些希望在代数、离散数学或理论物理领域进行更深研究的自学者和研究生。全书包含大量的习题，旨在巩固理论并激发读者对置换群这一迷人领域的探索欲望。