Elementary Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Edmund Landau

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:1999-8-30

价格:GBP 36.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821820049

丛书系列:AMS Chelsea Publishing

图书标签:

• number theory
• elementary number theory
• mathematics
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《几何的魅力：欧几里得与非欧几何的探索》 内容简介 本书旨在带领读者深入探索几何学这一古老而迷人的学科，从欧几里得建立的严谨公理体系出发，逐步走向对传统几何观念的挑战与超越，最终领略非欧几何所展现出的广阔世界。全书结构清晰，逻辑严密，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾可读性，使对几何学有初步了解的读者也能领会其中的精妙之处。 第一部分：欧氏几何的辉煌与基石 本部分将聚焦于古希腊数学的巅峰之作——欧几里得《几何原本》。我们将不再仅仅停留在对公式和定理的记忆，而是深入探究其思想的根源与逻辑的构建。 第一章：公理、公设与演绎推理 我们将从“点、线、面”这些基本概念的定义开始，详细剖析欧几里得体系赖以建立的五个公设（Postulates）和五个公同概念（Common Notions）。重点讨论“过两点有且只有一条直线”等看似不证自明的陈述，如何在逻辑上构筑起整个几何大厦。通过对《原本》前几卷的梳理，读者将理解何为严格的演绎推理，以及数学公理化方法的历史意义。本章会辅以大量的历史背景介绍，说明在那个时代，这种纯粹的逻辑构建是何等伟大的创举。 第二章：平面几何的精妙构造 本章将深入探讨平面几何中的关键定理，如勾股定理的多种证明方法，以及圆的性质。我们将对比古希腊人使用圆规和直尺进行几何作图的限制，并讨论为什么有些看似简单的作图问题（如三等分角、化圆为方）在仅使用限定工具的情况下是无解的。我们将展示如何利用代数工具辅助理解几何关系，但强调几何证明的独立价值。重点分析相似性理论，它如何将局部关系扩展到整体的比例和谐。 第三章：立体几何与空间想象力 在欧氏几何体系中，对三维空间的描述同样依赖于清晰的公理基础。本章转向立体几何，探讨多面体的欧拉公式（$V-E+F=2$）的深刻内涵，它揭示了拓扑学上的基本不变量。我们将详细研究正多面体（柏拉图立体）的构造与性质，并讨论截面法在解析复杂几何体（如圆锥、柱体）表面积和体积计算中的应用。本章旨在培养读者在抽象空间中进行精确想象的能力。 第二部分：对第五公设的千年沉思 几何学的发展史上，一个看似微不足道的问题——欧几里得第五公设，引发了一场持续两千多年的论战，并最终催生了全新的数学领域。 第四章：平行线公设的困境 我们将详细回顾历史上数学家们试图证明第五公设的努力。这包括对该公设的各种等价表述的讨论，例如关于两条直线相交的论断、三角形内角和为 $180^circ$ 的表述等。通过分析这些历史尝试，读者将认识到，一个看似“明显”的公设，其内在逻辑的地位可能远非表面看起来那么确定。本章将引用巴利亚尼、罗伯切夫斯基等先驱者的工作片段。 第五章：罗巴切夫斯基的“奇异”几何 本章标志着新时代的开启。我们将介绍罗巴切夫斯基（Lobachevsky）如何大胆地否定第五公设，并构建起一个“反直觉”却又完全自洽的几何系统——双曲几何。在双曲空间中，过直线外一点可以有无数条平行线。我们将通过双曲三角学中对角和小于 $180^circ$ 的现象，展示这一新体系的内部一致性。本章将使用更直观的模型（如庞加莱圆盘模型）来帮助读者“看见”这种弯曲的空间。 第六章：黎曼几何的先声——椭圆几何 与双曲几何相对立的是黎曼（Riemann）在十九世纪提出的椭圆几何（或称球面几何）。本章将探讨，如果修改第五公设为“过直线外一点不存在平行线”，会产生什么样的几何世界。在球面几何中，最短路径不再是直线（而是大圆），并且三角形内角和恒大于 $180^circ$。我们将通过地球仪上的实例，展示这种几何结构在实际中的应用，并为后续更广义的微分几何打下基础。 第三部分：几何学的统一与现代视野 在非欧几何被确立为与欧氏几何同等有效的数学体系后，几何学的研究重心发生了根本性的转移。 第七章：非欧几何的一致性与模型论 如何确信这些新几何体系不会在某一步骤中自我矛盾？本章将深入探讨非欧几何的相对主义本质。通过克莱因（Klein）的“模型论”观点，即任何一个几何体系都可以被视为另一个更宏大体系中特定对象的研究，我们理解了不同几何体系之间的关系。我们不再寻求绝对的“真理”，而是研究在特定公理集合下所能推导出的所有有效结论。 第八章：从平面到流形：几何学的现代转向 最后，我们将目光投向现代几何学的核心——微分几何与拓扑学。第五公设的放弃，实质上是解放了我们对“平直”的想象。我们将简要介绍高斯对曲面的研究，以及黎曼思想如何扩展到任意维度的流形，将几何学从研究欧氏空间中的形状，转变为研究空间本身的内在属性和度量结构。这为爱因斯坦的广义相对论中时空几何的弯曲提供了数学基础。 总结与展望 《几何的魅力》不仅仅是一本关于几何定理的书，它更是一部关于人类理性如何突破自身经验限制，从对确定性的坚守走向对可能性探索的史诗。通过对欧氏几何的深入理解，以及对非欧几何的勇敢拥抱，读者将更深刻地体会到数学的创造性和内在逻辑的力量。

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