Calculus AB and BC pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:King, Kerry

出品人:

页数:480

译者:

出版时间:2001-5

价格:123.00元

装帧:Pap

isbn号码:9780764586835

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
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• BC
• AP微积分
• 高等数学
• 函数
• 极限
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• 数学学习
• 考试准备

拓扑学基础与应用 本书导读：从抽象到具象的数学之旅 本书旨在为读者提供一个全面且深入的拓扑学入门指南，涵盖了从基本概念的建立到高级理论的应用。拓扑学，作为几何学的一个重要分支，研究的是空间在连续变形下保持不变的性质。它脱离了欧几里得几何中对距离、角度和形状的精确测量，转而关注空间的“连通性”、“紧致性”和“可分离性”等内在属性。对于任何希望深入理解现代数学，尤其是在分析、几何和理论物理领域有志于发展的读者而言，掌握拓扑学是至关重要的一步。 第一部分：拓扑空间的建立与基础结构 第一章：度量空间的复习与推广 本章从读者相对熟悉的度量空间（Metric Spaces）概念出发，回顾了开集、闭集、收敛性、完备性等基本概念。我们将度量空间的框架逐步推广，引出拓扑空间（Topological Spaces）的核心思想——不再依赖于具体的距离函数，而是通过“开集族”来定义空间的结构。重点阐述了拓扑空间定义的三个基本公理：空集和全集的开性，以及开集的任意并和有限交的开性。 第二章：基础拓扑结构及其构造方法 深入探讨如何从给定的集合上构造一个合法的拓扑结构。我们详细介绍了三种主要的构造方法： 1. 特定拓扑 (Particular Topologies)： 如密着拓扑（Indiscrete/Trivial Topology）和分离拓扑（Discrete Topology），展示了它们在极端情况下的性质。 2. 子空间拓扑 (Subspace Topology)： 研究一个拓扑空间子集如何继承其母空间的结构，这是处理几何形状“局部”性质的基础。 3. 商拓扑 (Quotient Topology)： 介绍如何通过等价关系将空间“粘合”或“投射”到新的空间上，例如圆的构造，这对于理解流形至关重要。 4. 积拓扑 (Product Topology)： 讨论多个拓扑空间笛卡尔积上的自然拓扑结构，特别是在研究高维空间或函数空间时。 第三章：连续性、同胚与拓扑性质的保持 拓扑学的核心在于研究在连续映射下保持不变的性质。本章定义了拓扑空间之间的连续映射，并引入了“拓扑同胚”（Homeomorphism）的概念，即双射且逆映射也连续的映射，标志着两个空间在拓扑学上是等价的。通过大量的例子，读者将学会如何运用拓扑同胚来证明两个空间在结构上是相同的，即使它们的视觉表现可能截然不同（例如，甜甜圈与咖啡杯的拓扑等价性）。 第二部分：分离性和紧致性——空间的“良好行为” 第四章：分离公理 (Separation Axioms) 分离公理描述了一个拓扑空间中点和闭集之间可以被“分离”的程度。我们系统地介绍了从 $T_0$ 到 $T_4$ (Hausdorff) 的各个分离公理。特别是豪斯多夫空间（Hausdorff Space，或 $T_2$ 空间），是大多数分析学和几何学研究的默认背景。本章将证明：任何度量空间都是豪斯多夫空间，并探讨在 $T_i$ 空间中，闭集和收敛序列的性质如何得到增强。 第五章：紧致性 (Compactness) 紧致性是拓扑学中最强大且最重要的性质之一，它本质上是有限性的推广。我们首先从开覆盖的有限子覆盖定义紧致性，并展示其在实直线 $mathbb{R}$ 上的重要体现——Heine-Borel 定理。随后，我们将探讨紧致性的重要代数性质：紧致集的闭子集仍是紧致的；紧致空间的连续像仍是紧致的。紧致性在优化问题和一致收敛性证明中具有不可替代的作用。 第六章：连通性 (Connectedness) 连通性描述了一个空间是否可以被分割成两个不相交的非空开集的并集。本章区分了连通空间、路径连通空间（Path-Connectedness）以及它们之间的关系。我们将证明区间是连通的，并讨论路径连通性如何保证了更强的结构性质。连通性的概念是理解曲线和曲面结构的基本工具。 第三部分：构造、构造、再构造——拓扑工具箱 第七章：完备性与 Baire 纲定理 在度量空间中，完备性保证了柯西序列的收敛性。在本章中，我们将研究拓扑空间框架下的完备性概念，特别是针对完备度量空间。重点讲解 Baire 纲定理（Baire Category Theorem），该定理是泛函分析和测度论中证明许多“不存在性”或“几乎处处成立”命题的强大工具。 第八章：函数空间简介 拓扑学在研究函数集合时显示出巨大的威力。我们将简要介绍函数空间，即所有满足特定拓扑性质的函数构成的集合。我们将对比点态收敛（Pointwise Convergence）和一致收敛（Uniform Convergence）在拓扑结构下的表现，并使用紧致性概念来理解紧集上的连续函数空间是如何“紧凑地”被构造的。 第九章：基础群与代数拓扑的初探 (Introduction to Homotopy) 本章作为进阶内容的引子，将介绍代数拓扑学的核心思想：用代数不变量来区分拓扑空间。我们引入“同伦”（Homotopy）的概念，即路径之间的形变。通过定义基础群（Fundamental Group），我们将能够区分圆周与圆盘，从而在代数上彻底证明它们在拓扑上是不等价的。这是从纯粹的拓扑结构过渡到更具区分力的代数几何工具的关键一步。 总结与展望 本书的结构设计旨在引导读者逐步建立起对拓扑空间这一抽象框架的直观理解，并通过严格的定义和定理证明，掌握分析和几何中的核心工具。掌握这些概念，将为后续学习微分几何、代数拓扑学以及广义相对论等前沿领域打下坚实的基础。

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