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出版者:Prentice Hall

作者:Martin-Gay, Elayn

出品人:

页数:992

译者:

出版时间:

价格:1367.00元

装帧:Pap

isbn号码:9780131868304

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 学习
• 方程
• 函数
• 多项式
• 因式分解

《几何基础：从欧几里得到非欧空间》 内容简介 本书旨在为读者构建一个全面、深入且富有启发性的几何学知识体系，内容涵盖了从古希腊奠基性的欧几里得几何学，到近现代诸多重要的非欧几何学派及其在现代科学中的应用。本书的编写视角着重于几何概念的内在逻辑、证明方法的严谨性，以及空间形态的本质演变。 第一部分：欧几里得几何学的核心与精粹 本部分将以历史的脉络梳理欧几里得几何学的建立过程，重点解析其五大公设（特别是第五公设的争议性）和基本公理体系。 第一章：公理化方法的起源与结构 我们将深入探讨《几何原本》的结构，分析公理、公设、定义和公理在整个体系中的功能和层级关系。着重讨论公理系统如何支撑起整个几何世界的逻辑大厦。内容包括点、线、面、角的基本定义，以及它们之间关系的初始论断。 第二章：平面几何的严密构建 本章详述平面几何的全部核心内容，从三角形的全等、相似定理的严格证明，到圆的性质、圆周角定理、割线定理等。特别关注欧氏几何中“平行性”的唯一性是如何通过第五公设得以确立的。本章的证明将严格遵循逻辑推导，避免依赖直观的视觉感知。 第三章：立体几何与空间的直观把握 从平面过渡到三维空间，本章介绍多面体、圆柱体、圆锥体和球体的基本概念。深入探讨欧氏空间中的角度关系、投影、截面，以及体积和表面积的计算方法。重点在于理解三维空间中物体之间的相对位置关系和欧氏距离的定义。 第四章：解析几何的诞生：代数与几何的联姻 本章将介绍笛卡尔坐标系的引入，及其对传统几何学的革命性影响。内容包括直线、圆、圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的代数方程表示。深入探讨距离公式、中点公式、向量在二维和三维空间中的初步应用，展示如何用代数工具解决复杂的几何问题。 第二部分：对欧氏几何的突破——非欧几何的兴起 此部分是本书的理论核心，旨在揭示欧几里得第五公设并非必然真理，从而探索更为广阔的空间概念。 第五章：平行公设的悖论与尝试修正 详细回顾历史上数学家（如普莱费尔、高斯）对第五公设独立性的不懈探索。分析试图在不依赖第五公设的情况下证明其他公理的失败尝试，为引入替代公设做铺垫。 第六章：罗巴切夫斯基几何（双曲几何）的构建 本章详尽阐述以“双曲平行公设”（通过一点有无数条不过直线平行的直线）为基础构建的几何系统。重点解析双曲几何中三角形内角和恒小于180度的特性。引入庞加莱圆盘模型和克莱因双曲模型，直观展示一个曲率恒为负的空间是如何运作的。分析双曲空间中的三角学和距离度量。 第七章：黎曼几何（椭圆几何）的初步认识 介绍以“椭圆平行公设”（通过一点没有不过直线平行的直线）为基础的几何系统。分析球面几何作为黎曼几何的特例，理解其内角和恒大于180度的特性。探讨在这样一个“正曲率”空间中，直线（测地线）的性质以及它们如何相互交叉。 第八章：几何学的统一视角：度量空间与微分几何的萌芽 本章将视野提升到更抽象的层面，探讨如何用更普适的数学工具来描述不同类型的几何空间。介绍测地线的概念作为“直线”的推广。简要介绍张量和微分形式在描述弯曲空间中的作用，为读者理解广义相对论中时空几何的描述打下概念基础。 第三部分：几何学的应用与现代诠释 本部分关注几何学如何作为解决实际问题的工具，以及它在现代科学中的地位。 第九章：射影几何学：不变性与透视 探讨射影几何的核心——“不变性”的概念。研究投影变换如何保持某些几何性质（如交比）不变。内容包括射影平面、对偶原理，以及射影几何在计算机图形学和透视绘图中的实际应用。 第十卷：拓扑学的开端：形状的本质与连续性 拓扑学关注的是空间在连续形变下的性质。本章介绍拓扑学的基本概念，如开集、闭集、连续映射、同胚。讨论欧拉示性数、连通性、紧致性等拓扑不变量。通过著名的柯尼斯堡七桥问题和莫比乌斯带的分析，展示拓扑学如何从根本上改变我们对“形状”的理解。 第十一卷：空间、时间与物理学 本章探讨几何学在现代物理学中的关键作用。分析狭义相对论中的闵可夫斯基时空几何，理解洛伦兹变换的几何意义。最后，简要介绍爱因斯坦广义相对论中，物质如何弯曲时空（黎曼几何的应用），以及引力如何被理解为时空几何的性质。 总结与展望 本书的最终目标是使读者认识到几何学并非一套静止不变的规则，而是一个动态演进的学科，它从对欧氏平面的精确描述出发，拓展到对更高维度、不同曲率乃至抽象流形的探索。通过对这些不同几何系统的对比学习，读者将建立起对空间本质的深刻洞察力，并掌握一套严谨的、可用于解决复杂问题的数学思维工具。本书适合对数学逻辑有兴趣的理工科学生、物理学爱好者，以及希望全面了解几何学发展史的数学专业人士。

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这本书给我的体验是“结构化学习”的典范。它不是简单地罗列主题，而是围绕几个核心代数支柱（如多项式、有理表达式、根式和二次方程）进行深度挖掘和交织构建。我发现它有一个非常巧妙的设计——“预习小测验”。在每一章开始前，都会有几个简短的问题，这些问题并不是测试你是否会解题，而是测试你对本章所需前置知识的掌握程度。这个设计迫使读者在深入学习新内容前，必须回顾并确保自己没有知识盲区，极大地提升了学习效率。更让我印象深刻的是，它对“误差分析”的重视。在讲解近似解或数值方法时，它会提示读者注意计算过程中可能引入的误差，并探讨误差的来源，这对于培养批判性思维非常有益。这本书的语言风格非常稳健，既不故作高深，也不过于口语化，始终保持着学术的严谨性和教学的亲和力。它教会我的不只是代数技能，更是一种系统地、全面地掌握一门学科的方法论。

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这本《中级代数》的引入方式简直令人耳目一新，完全颠覆了我对传统数学教材的刻板印象。它不像那些枯燥的教科书那样，上来就抛出一大堆冰冷的公式和定义，而是巧妙地将复杂的概念编织成一系列循序渐进的逻辑故事。作者似乎深谙读者的心理，知道我们最容易在哪个环节感到困惑，因此在处理诸如二次方程求解、多项式运算这些核心内容时，总能提供多角度的解释——有时候是几何图形的直观演示，有时候是现实生活中的应用情境模拟。我特别欣赏它在讲解“为什么”而非仅仅“怎么做”上下的功夫。比如，在介绍函数概念时，它没有急于展示复杂的函数图像，而是先从日常生活中不同变量之间的依赖关系入手，比如时间与距离、投入与产出，让概念“活”了起来。书中的习题设计也极具匠心，它们不是那种机械重复的计算题，而是真正考验理解和应用能力的挑战。做完一套题，我感觉自己不只是学会了运算技巧，更是对代数思维有了一种全新的、更深刻的体认。唯一的小小遗憾是，部分涉及更抽象的集合论基础的部分，对于初次接触的读者来说，可能需要稍微放慢速度，但整体而言，它为我打下了极其坚实的基础。

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坦白说，我过去对代数学习一直抱持着一种“能应付考试就好”的心态，直到我翻开了这本书。这本书的结构布局实在是太精妙了，它有一种不动声色的引导力，能把你从看似松散的知识点中，串联起一条清晰的脉络。它不像有些教材那样将知识点堆砌在一起，而是通过大量的对比和反思环节，强化了概念的边界和适用范围。我尤其喜欢它在讲解不等式时所采取的策略，它没有简单地停留在“大于号”和“小于号”的机械操作上，而是深入探讨了在不同约束条件下，解集的几何意义和实际限制。这种对“意义”的深挖，极大地激发了我对数学的探究欲。书中的排版和视觉设计也值得称赞，简洁而不失活力，重点突出，即使用眼过度，阅读体验也不会大打折扣。那些例题的解析详尽得近乎唠叨，但这对于需要巩固基础的读者来说，恰恰是最好的“拐杖”。通过这本书，我发现代数不再是冷冰冰的符号游戏，而是一种描述世界、解决问题的强大工具。它让我从一个被动接受知识的学生，逐渐转变为一个主动构建知识体系的学习者。

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我必须承认，起初我对市面上充斥的各类代数教材感到有些麻木，直到我无意中接触到这本《中级代数》。这本书最显著的特点是其对“逻辑推理链”的极致追求。它不满足于让你记住公式，而是要求你理解公式推导背后的每一步逻辑跳跃。书中对于如何从基本公理出发，逐步构建起更复杂的代数结构，描述得细致入微，几乎没有逻辑上的跳跃，这对于培养严谨的数学思维至关重要。尤其是在处理方程组的消元法和代入法时，作者不仅演示了操作步骤，还深入解释了为什么这种操作可以保持等价性，这在其他教材中是极少被强调的。此外，这本书的配图质量非常高，那些用于阐释变量关系和解集的图示，清晰、精确，是文字解释之外的有力补充。我发现，当我实在理解不了某个抽象的代数操作时，回头看看书中的图例，一切豁然开朗。这本书更像是一位耐心的导师，而不是冷冰冰的知识搬运工，它让你感受到数学思维的严密与优美。

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这本书的难度设置简直是教科书级别的范本——恰到好处的“跳一跳才能够得着”。它不会让初学者望而却步，也不会让已经有一定基础的人感到索然无味。我注意到作者在介绍新概念时，总会先回顾前一个章节的关键知识点，用一种“承上启下”的方式来过渡，这避免了知识点的“断裂感”。例如，在处理根式运算时，它会特意回顾指数定律，并在新知识点中巧妙地将两者结合，加深读者的记忆和理解。相比我之前看过的那些版本，这本书在处理复杂分式和因式分解时的系统性要强得多，它提供了一套清晰的“诊断流程图”，让你面对任何复杂的代数表达式时，都能按部就班地进行分解和简化，减少了盲目试错的几率。此外，书末附带的“概念回顾与自测”环节，设计得非常贴心，它们不是简单的答案核对，而是要求你用自己的语言复述关键概念，这对于内化知识非常有帮助。读完这本书，我的感觉是，我不再害怕那些长长的代数表达式了，我找到了驾驭它们的方法和信心。

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