Handbook of Linear Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Chapman and Hall/CRC

作者:Hogben, Leslie (EDT)/ Brualdi, Richard (EDT)/ Greenbaum, Anne (EDT)/ Mathias, Roy (EDT)

出品人:

页数:1400

译者:

出版时间:2006-11-2

价格:USD 154.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9781584885108

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 数学
• 高等数学
• 矩阵
• 向量
• 数值计算
• 工程数学
• 科学计算
• 数学手册
• 教材

矩阵理论与应用：现代数学的基石 本书导览： 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的线性代数知识体系，涵盖从基础概念到前沿应用的广泛领域。我们深入剖析了向量空间、线性变换、矩阵代数的核心理论，并将其拓展至特征值理论、内积空间以及矩阵分解的现代视角。本书不仅致力于数学的严谨性，更强调理论在实际问题中的应用能力，力求在抽象思维与工程实践之间搭建起一座坚实的桥梁。 第一部分：基础构建与代数结构 本部分奠定整个线性代数学习的基石。我们首先从向量空间（Vector Spaces）的概念入手，清晰界定其公理体系，并详尽讨论 $mathbb{R}^n$ 及其子空间。重点关注线性组合、线性相关性、基（Basis）和维数（Dimension）这些决定空间结构的关键要素。 随后，我们转入线性变换（Linear Transformations）的探讨。变换被视为连接不同向量空间的“桥梁”，其核心在于保持加法和标量乘法的结构。我们详细阐述了线性变换的核（Kernel，或零空间）和像（Range，或列空间），以及它们与变换的性质之间的深刻联系（秩-零化度定理）。 紧接着，是矩阵代数（Matrix Algebra）的精深剖析。矩阵不仅是坐标的表示工具，更是线性变换的载体。我们系统性地介绍了矩阵的加法、乘法、转置，以及初等矩阵（Elementary Matrices）在行空间、列空间和零空间操作中的作用。矩阵的逆（Inverse）的计算及其唯一性是本节的难点之一，我们采用行约简法（Row Reduction）来确定矩阵的秩和可逆性。 第二部分：求解与结构分析 线性代数的核心应用之一在于求解方程组。本部分聚焦于线性方程组（Systems of Linear Equations）的求解技术。我们将介绍高斯消元法（Gaussian Elimination）和行阶梯形（Row Echelon Form）的权威地位，并探讨其在判断解的存在性与唯一性中的决定性作用。 理论的深化引向行列式（Determinants）的讨论。行列式不仅是判断矩阵是否可逆的便捷工具，更在几何上代表了线性变换对面积或体积的尺度效应。我们从莱布尼茨公式（Leibniz Formula）出发，逐步过渡到拉普拉斯展开（Laplace Expansion），并论证行列式的乘法性质。 第三部分：特征值与相似性理论 本部分是线性代数的精髓所在，它揭示了线性变换在特定方向上仅发生缩放而不改变方向的内在属性。特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的求解被详细分解，我们通过求解特征多项式（Characteristic Polynomial）来确定这些关键数值。 我们深入探讨了相似性（Similarity）的概念，即两个矩阵是否可以通过基的变换相互转化。随后，我们引入了对角化（Diagonalization）理论。一个矩阵是否可对角化，直接关系到其幂次计算和微分方程求解的便捷性。我们详细分析了充要条件，并区分了代数重数（Algebraic Multiplicity）与几何重数（Geometric Multiplicity）的关系。 对于不可对角化的情况，我们引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form, JCF）。JCF 提供了一个在复数域上对任何方阵进行“最简”表述的途径，它对于理解矩阵在一般情况下的结构至关重要。 第四部分：内积空间与正交性 本部分将线性代数的框架从一般的向量空间提升到具有度量结构的内积空间（Inner Product Spaces）。我们定义了内积（如欧几里得点积或其他内积），并由此导出长度和角度的概念。 正交性（Orthogonality）是本部分的核心主题。我们介绍施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthonormalization），它能将任意一组基转化为一组标准正交基。 正交性的理论高峰在于正交投影（Orthogonal Projection）。这在最小二乘法（Least Squares）中发挥核心作用，用于寻找线性方程组无解时“最佳近似解”的问题。 更进一步，我们讨论了对称矩阵（Symmetric Matrices）的特殊性质，尤其是谱定理（Spectral Theorem），它保证了实对称矩阵可以被正交对角化，这在物理学和数据分析中具有不可替代的地位。 第五部分：矩阵分解的强大工具 矩阵分解是现代计算数学和数据科学的基石。本部分系统地介绍了几种最常用且最具洞察力的分解方法： 1. LU 分解 (LU Decomposition)： 揭示了高斯消元过程中隐含的三角矩阵结构，极大地简化了求解多个具有相同系数矩阵的方程组的过程。 2. QR 分解 (QR Decomposition)： 基于正交基的概念，它在数值稳定性方面表现优异，是计算特征值和最小二乘问题的首选工具。我们详细展示了 Householder 变换和 Givens 旋转在实现 QR 分解中的应用。 3. 奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD)： SVD 被誉为矩阵分析中最强大的工具。它适用于任何矩阵（非方阵亦可），揭示了矩阵的内在几何结构——即输入空间到输出空间的映射，可以分解为旋转、缩放（奇异值）和再次旋转。本书将SVD置于更广阔的背景下讨论，包括其在主成分分析（PCA）和低秩近似中的实际意义。 总结与展望： 本书最终目标是培养读者严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。线性代数的理论并非孤立存在，它渗透于所有量化科学领域。通过对本教材的学习，读者将能够自信地驾驭多变量微积分、概率论、优化理论以及各类工程科学中的核心挑战。本书的叙述力求清晰流畅，每一个定理的证明都经过仔细斟酌，确保读者不仅“知道”如何做，更深刻理解其“为何如此”。

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