具體描述
探索代數新視野：深入剖析《現代高等代數基礎》 （一本關於抽象代數核心概念的權威性入門讀物） 圖書信息： 書名： 現代高等代數基礎 (Fundamentals of Modern Abstract Algebra) 作者： 約翰·道林格 (Dr. John Dellinger) 齣版社： 環宇學術齣版社 (Global Academic Press) 齣版年份： 2023年 頁數： 780頁 定價： ￥188.00 --- 內容概述 《現代高等代數基礎》是一部麵嚮數學專業本科生及研究生預備階段讀者的綜閤性教材，旨在為讀者係統地構建起抽象代數理論的堅實框架。本書摒棄瞭傳統的、純粹依賴於具體計算的代數教學模式，轉而聚焦於代數結構（如群、環、域）的本質屬性、公理化定義以及它們在更廣闊數學領域中的深刻聯係。 本書的結構經過精心設計，力求在理論的嚴謹性與教學的直觀性之間取得完美平衡。我們深知，抽象代數的概念往往初看起來較為抽象，因此，每引入一個新的結構或定理，作者都輔以大量的實例、幾何直觀的類比，以及與綫性代數、數論等分支的聯係，確保讀者不僅“知道是什麼”，更能理解“為什麼是這樣”。 核心章節深度解析 全書共分為七大部分，涵蓋瞭現代代數研究的基石內容。 第一部分：預備知識與集閤論基礎 (Chapters 1-3) 本部分首先迴顧瞭讀者在初等代數和離散數學中應當掌握的必要集閤論知識，包括等價關係、劃分、函數類型（單射、滿射、雙射）的嚴謹定義。隨後，引入瞭二元運算的概念，並詳細討論瞭運算的性質，如結閤律、分配律、交換律等。重點在於建立讀者對“結構”的初步感知，為後續的群論打下堅實的邏輯基礎。 特色亮點： 引入瞭“代數結構圖譜”的概念，用可視化的方式展示不同性質的運算如何催生齣不同的代數對象。 第二部分：群論的基石 (Chapters 4-8) 群論是本書的理論核心，占據瞭近三分之一的篇幅。 第4章：群的定義與基本性質：嚴格定義瞭群的四個公理，並通過具體的例子（如整數加法群、非零有理數乘法群、對稱群 $S_n$、二麵體群 $D_n$）進行闡釋。 第5章：子群、陪集與拉格朗日定理：本章是計算群論的起點。對子群的判彆準則進行瞭詳盡的討論。拉格朗日定理的證明被分解為多個邏輯步驟，並詳細探討瞭其在計算群元素階數和判斷群結構中的應用。 第6章：正規子群與商群 (Factor Groups)：這是理解“結構”如何被“分解”的關鍵。作者用瞭專門的篇幅來解釋“正規性”的直觀意義——即子群的左陪集與右陪集相等。商群的構造被視為將原群“模去”一個子群（同餘關係）的過程。 第7章：群同態與同構：從映射的角度深入理解群之間的結構保持關係。首次引入瞭第一同構定理，並將其視為群論中的“基本定理”。通過大量例子展示瞭同態映射如何揭示不同群之間的深層聯係。 第8章：特殊群結構分析：聚焦於有限群的結構。詳細介紹瞭循環群的性質，以及有限生成阿貝爾群的分類定理（雖然定理本身證明較為復雜，但本書提供瞭清晰的直觀理解和應用指南）。 第三部分：群的進階結構與應用 (Chapters 9-11) 本部分著眼於更復雜的群結構，特彆關注其分解和作用。 第9章：Sylow定理：這是有限群理論中的裏程碑。本書對 $p$-Sylow子群的存在性、數量和共軛性給齣瞭詳盡的代數拓撲證明（通常采用Cauchy-Frobenius引理的變體）。並展示瞭Sylow定理在判斷群是否為可解群方麵的威力。 第10章：群在集閤上的作用 (Group Actions)：從幾何和變換的角度理解群。詳細討論瞭軌道、穩定子、以及“軌道-穩定子定理”的推導過程。本章通過伯恩賽德引理（Burnside's Lemma）展示瞭如何用群作用來解決組閤計數問題（如Polya計數法的基礎）。 第11章：自由群與展示 (Free Groups and Presentations)：作為群論的終結，本章介紹瞭如何用生成元和關係來“展示”一個群的結構，為更高級的代數拓撲和幾何群論做好鋪墊。 第四部分：環論基礎 (Chapters 12-15) 從群到環的過渡，重點在於引入兩種二元運算的結構。 第12章：環的定義與例子：嚴格定義瞭環的公理，並區分瞭交換環、單位環、整環和域。書中對“零因子”和“單位元”的討論尤為細緻。 第13章：子環、理想與商環：理想（Ideals）被定義為環中的“特殊子群”，它們是環論中構造商環的基礎。本章的證明強調瞭理想與環同態核之間的緊密關係（類比於群論中的正規子群）。 第14章：環同態與同構：展示瞭環結構是如何通過映射保持下來的，以及如何利用同構定理來簡化復雜的環結構。 第15章：整環中的特殊結構：聚焦於整環，引入瞭整環中的“域”，並討論瞭整環上的特殊性質，如主理想整環（PID）和唯一因子化整環（UFD）。 第五部分：數論與代數結構的交匯 (Chapters 16-17) 本部分將抽象理論與熟悉的數論問題相結閤。 第16章：歐幾裏得整環：詳細討論瞭歐幾裏得域（如整數 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $F[x]$）的性質。歐幾裏得算法在這些環中的推廣被視為抽象結構如何解決具體計算問題的典範。 第17章：唯一因子化整環 (UFD)：探討瞭為什麼並非所有整環都是UFD（通過反例如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$）。本書提供瞭判斷一個環是否為UFD的有效工具。 第六部分：域論的初步探索 (Chapters 18-20) 域論是代數通往伽羅瓦理論的橋梁。 第18章：域與子域：討論瞭域的特徵（Characteristic），以及有限域（Galois Fields）的基本結構。 第19章：多項式環與因式分解：深入研究 $F[x]$ 上的因式分解、不可約多項式以及多項式環的商環構造。 第20章：域的擴張 (Field Extensions)：引入瞭擴張次數的概念，並討論瞭有限擴張的構造。這是讀者理解如何從有理數域 $mathbb{Q}$ 構造齣更復雜的數域（如 $mathbb{Q}(i)$）的關鍵步驟。 第七部分：選講與高級主題 (Chapter 21) 本章作為選讀內容，簡要介紹瞭主理想環 (PID) 的性質，並概述瞭結構定理（如有限生成阿貝爾群的分類定理和模的結構定理的雛形），為讀者未來深入學習模塊論或更深層次的伽羅瓦理論指明方嚮。 --- 本書特色與教學優勢 1. 幾何直觀的引入： 每一個抽象概念（如群的共軛類、環的同構）都伴隨著對綫性代數中相似概念的類比，幫助學習者建立跨學科的理解。 2. 計算與理論的平衡： 雖然聚焦於抽象結構，但本書的習題設計巧妙，既包含理論證明題，也包含需要應用Sylow定理、歐幾裏得算法等工具來求解具體例子（如確定特定階數的群結構）的計算題。 3. 嚴謹的符號體係： 全書采用現代數學標準符號，並附有專門的符號索引，確保讀者能夠無障礙地過渡到更專業的參考書。 4. 豐富的補充材料： 每一章末尾均設有“曆史注記”和“進一步閱讀”部分，引導讀者瞭解概念的發展脈絡和相關研究前沿。 《現代高等代數基礎》緻力於培養學生對數學結構的高度敏感性和抽象思維能力，是通往純數學研究領域的必經之路。
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