College Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Prentice Hall

作者:Hobbs, Margie J.

出品人:

页数:1024

译者:

出版时间:2006-5

价格:$ 173.57

装帧:HRD

isbn号码:9780131735989

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 高等数学
• 大学数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 统计学
• 离散数学
• 数学分析
• 数值分析

现代应用代数与离散结构：理论基础与前沿探索 图书简介 本书旨在为有志于深入理解现代数学核心概念、尤其关注其在计算机科学、工程学及经济学等前沿领域应用的读者，提供一套全面而深入的教材。本书聚焦于现代应用代数和离散数学结构两大支柱，系统地构建起从基础概念到高级理论的知识体系，并辅以大量的实际应用案例，力求使读者不仅掌握理论工具，更能灵活运用这些工具解决复杂问题。 全书内容严格围绕代数结构、集合论、图论、数论及其在现代计算中的应用展开，完全避开传统微积分、线性代数和统计学等高等数学分支的具体内容，专注于构建逻辑严密、结构清晰的离散数学框架。 --- 第一部分：逻辑基础与集合论的严谨构建 本部分是全书的基石，着重于数学思维的训练和形式化语言的掌握。 第1章：命题演算与一阶逻辑 本章从基础的逻辑连接词（非、与、或、蕴含、等价）入手，详细阐述了真值表方法和主析范式（DNF）与合取范式（CNF）的构建。随后，我们将深入探讨自然演绎法（Natural Deduction）和序列演算（Sequent Calculus）在证明论证有效性中的应用。重点分析了蕴含的性质、量词的引入与消除规则，以及一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）的语义学，包括模型、满足性与有效性的区别。本章不涉及任何与函数空间或连续性相关的概念。 第2章：集合论的公理化基础 本书采用策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）作为我们讨论的基础框架。我们详细介绍了ZFC的公理体系，包括外延性公理、配对公理、并集公理、幂集公理、分离公理、替换公理以及最关键的无穷公理。在此基础上，我们严格定义了集合的运算（并、交、差、对称差），以及笛卡尔积。此外，本章详尽讨论了选择公理（Axiom of Choice, AC）及其等价命题，例如良序定理（Well-Ordering Theorem）和佐恩引理（Zorn's Lemma），并分析了它们在构造性数学中的地位，但不深入探讨集合的基数算术的连续统假设（Continuum Hypothesis）的独立性证明。 第3章：关系、函数与序结构 本章衔接前两章，将抽象的集合运算转化为具有特定结构的映射。我们分类讨论了关系的性质，如自反性、对称性、传递性和反对称性，并重点分析了等价关系的性质及其划分集合的过程。接着，我们详细阐述了函数的概念，区分了单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective）函数，并探讨了函数的复合与逆运算。最重要的是，我们深入研究了偏序关系和全序关系，引入了格（Lattice）和偏序集的上界、下界、最小元和最大元的概念，这为后续的代数结构奠定了基础。 --- 第二部分：抽象代数结构的核心元素 本部分是本书的代数核心，关注于运算封闭性、结合律、分配律以及元素之间的结构性关系，完全侧重于离散、有限或可构造的代数对象。 第4章：代数结构基础：群论导论 群是抽象代数中最基本的结构。本章从二元运算的封闭性、结合律和单位元开始，严格定义了群（Group）的概念，以及逆元的存在性。我们探讨了基本的群性质，如元素阶的性质。随后，重点转向子群（Subgroups）、陪集（Cosets）及其在划分群中的作用。拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）被作为核心定理详细证明和应用。本章的后半部分专门讨论了正规子群（Normal Subgroups）、商群（Quotient Groups）的构造，以及同态（Homomorphisms）和同构（Isomorphisms）的概念，特别是群的同态基本定理。 第5章：环与域的结构探索 本章在群论的基础上，引入了第二个运算，构建了环（Ring）的概念，要求满足加法群的结构以及乘法运算的结合律和分配律。我们区分了交换环和单位环。在此基础上，我们定义了理想（Ideals）及其与环的同态定理。紧接着，我们引入了整环（Integral Domain）的概念，并深入研究了域（Field）的结构，重点分析了有限域（Galois Fields）的有限构造，及其在编码理论中的基础地位。本章不涉及任何与多项式插值或微积分相关的概念。 第6章：模运算与数论的代数视角 本章将数论问题置于环论的框架下讨论。我们详细分析了模 $n$ 的剩余类环 $mathbb{Z}_n$ 的结构，重点研究了 $mathbb{Z}_n$ 中的乘法群（即单位群 $U(mathbb{Z}_n)$）。本章的核心是欧几里得整环的概念，并严格证明了最大公约数（GCD）的存在性，以及扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）的原理。我们深入探讨了素数和不可约元素在不同环中的区别，以及域的特征（Characteristic）问题。 --- 第三部分：离散结构：图论与组合学的交叉点 本部分将视线从纯粹的代数运算转向对离散对象集合的连接和排列组合。 第7章：图论基础：模型与连通性 本章严格定义了图（Graph）的概念，包括顶点集、边集，并区分了有向图和无向图，以及多重图和简单图。我们详细讨论了图的度数、子图、通路、回路和连通分量。核心内容聚焦于图的特定结构：树（Trees）的定义、性质（如任意两点间存在唯一简单通路）和生成树的概念。本章运用矩阵表示法，详细分析了邻接矩阵和关联矩阵，并用它们来分析图的连通性。本章完全不涉及连续空间中的拓扑概念。 第8章：图的特殊路径与应用 本章深入探索图论的算法核心。我们详细分析了欧拉通路（Eulerian Paths）和哈密顿回路（Hamiltonian Cycles）存在的充要条件。随后，我们将重点放在最短路径问题的离散解法上，详细阐述了迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）和贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）的迭代过程和时间复杂度分析，重点在于其在有限网络上的应用。此外，本章还介绍了图的二分性（Bipartiteness）的判断方法。 第9章：基础组合学：计数原理的严谨推导 本章专注于精确的计数方法。我们从加法原理和乘法原理开始，系统推导出排列（Permutations）和组合（Combinations）的公式，包括带重复和不带重复的情况。核心内容包括二项式定理（Binomial Theorem）的严格证明及其系数的性质。随后，我们讨论了鸽巢原理（Pigeonhole Principle）的推广形式及其在存在性证明中的强大威力。本章的最后部分将组合计数与集合论中的生成函数（Generating Functions）的概念联系起来，用于解决线性递推关系的求解问题。 --- 结语 本书通过严谨的逻辑推导和对离散结构的深入剖析，为读者构建了一个坚实的数学基础。它避免了传统高等数学中对连续变量和极限的依赖，专注于为现代信息科学、加密学和算法设计提供必要的代数和结构化工具。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆