A first course in harmonic analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Deitmar, Anton

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:2005-3

价格:$ 73.39

装帧:Pap

isbn号码:9780387228372

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 分析
• 调和分析
• 傅里叶分析
• 实分析
• 数学分析
• 泛函分析
• 高等数学
• 数学
• 理论数学
• 数学教材
• 分析学

谐波分析导论：从傅里叶到现代应用 内容提要： 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的基础，深入探讨谐波分析（Harmonic Analysis）这一跨越纯数学、应用数学和工程学的核心领域。它构建了一个从经典傅里叶理论到现代测度论、算子理论及其在偏微分方程、信号处理和图像分析中应用的完整知识体系。全书结构严谨，逻辑清晰，通过详尽的数学论证与丰富的实例分析，引导读者掌握理解和应用高级谐波分析工具所需的理论深度和技术精度。 第一部分：傅里叶分析的基石与扩展 (Foundations and Extensions of Fourier Analysis) 本部分首先回顾并深化了对周期函数傅里叶级数（Fourier Series）的理解，重点分析了其收敛性（如逐点收敛、勒贝格收敛、Dirichlet-Jordan 定理）。随后，我们将讨论傅里叶变换（Fourier Transform）的推广，从 $L^1(mathbb{R})$ 扩展到 $L^2(mathbb{R})$ 空间。 测度论基础与 $L^p$ 空间： 为了严谨地处理非周期函数和更复杂的积分，本书在早期章节引入了必要的勒贝格测度论（Lebesgue Measure Theory）基础，包括可测集、可测函数和勒贝格积分。在此基础上，详细阐述了 $L^p(mathbb{R}^n)$ 空间的性质，包括其完备性（构成巴拿赫空间）、H"older 不等式和 Minkowski 不等式，这些是后续所有算子分析的基石。 傅里叶变换的性质与核心定理： 深入探讨了傅里叶变换在线性、平移、调制、微分运算下的性质。着重分析了卷积定理（Convolution Theorem）的深远意义，将其作为连接乘法和积分运算的关键桥梁。Plancherel 定理和 Parseval 定理在 $L^2$ 空间中的严格证明被详细呈现，揭示了傅里叶变换的酉性，这是连接时域与频域能量概念的核心。 Schwartz 空间与广义函数： 引入了测试函数空间 $mathcal{D}(mathbb{R}^n)$（紧支撑平滑函数）和 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$（Schwartz 空间），后者是傅里叶变换保持优良性质的函数空间。基于 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$ 上的连续线性泛函，系统地构建了广义函数（Distributions）的理论。本书详细解释了如何定义广义函数的导数、傅里叶变换，并展示了如何用广义函数来表示 Dirac 尖函数和阶跃函数，为处理不满足传统积分条件的物理对象（如波函数、电磁场源）提供了强大的数学工具。 第二部分：经典核与基本不等式 (Classical Kernels and Fundamental Inequalities) 本部分聚焦于在调和分析中起核心作用的积分核，并建立用于衡量函数平滑性的基本不等式。 卷积核与奇异积分： 深入研究了诸如热核（Heat Kernel）、拉普拉斯核（Laplace Kernel）以及最重要的 卷积核（如 Poisson 核、Gauss 核） 的性质。分析了这些核在扩散和势能问题中的作用。 Hardy-Littlewood 极大函数与单边极大算子： 引入了 Hardy-Littlewood 极大函数 $M f(x)$ 的概念。该算子在测定弱型估计和 $L^p$ 空间中的边界方面至关重要。本书详细证明了 $M f$ 的弱 $(1,1)$ 型估计，这是后续证明 Calderón-Zygmund 奇异积分算子有界性的关键一步。 Calderón-Zygmund 理论基础： 详细阐述了 Calderón-Zygmund 奇异积分算子的定义，其特征是积分核具有特定的光滑性和奇性结构（如 $frac{Omega(y)}{|y|^n}$ 形式）。关键在于证明该算子在 $L^p(mathbb{R}^n)$（$1 < p < infty$）上的有界性，通常依赖于 T(1) 定理 的前身或 Whitney 渗流分解 方法。 插值理论： 介绍了 Riesz-Thorin 插值定理和 Marcinkiewicz 插值定理。这些定理允许我们从算子在某些 $L^p$ 空间上的已知界（通常是 $L^1$ 到 $L^infty$ 和 $L^2$ 到 $L^2$）推导出其在中间 $L^p$ 空间上的界，极大地扩展了经典算子的应用范围。 第三部分：傅里叶分析在偏微分方程中的应用 (Applications to Partial Differential Equations) 本部分展示了傅里叶分析如何成为求解线性偏微分方程（PDEs）的强大武器。 基本解与格林函数： 利用傅里叶反变换的卷积性质，系统地导出了常系数线性偏微分方程（如拉普拉斯方程、热方程、波动方程）在 $mathbb{R}^n$ 上的 基本解（Fundamental Solutions）。详细讨论了如何利用基本解构建方程的 格林函数（Green's Functions），特别是在有界区域上的 Dirichlet 问题和 Neumann 问题。 热方程与波动方程的解法： 展示了如何通过傅里叶变换将 PDE 转化为常微分方程（ODE）或代数方程。对于热方程 $u_t = Delta u$，傅里叶变换将方程转化为关于时间的指数衰减 ODE；对于波动方程 $u_{tt} = Delta u$，则转化为常系数二阶 ODE。解出变换后的方程，再通过傅里叶逆变换恢复时空解。 泊松方程的解： 深入分析了泊松方程 $Delta u = f$ 在 $mathbb{R}^n$ 上的解 $u(x) = K f(x)$，其中 $K$ 是拉普拉斯核。分析了当 $f$ 属于不同的 $L^p$ 或广义函数空间时，解 $u$ 的正则性。 第四部分：现代谐波分析：多重尺度分析 (Modern Harmonic Analysis: Multiscale Analysis) 本部分转向更现代、更精细的分析工具，这些工具是现代信号处理和图像分析的基础。 Littlewood-Paley 分解与节奏理论： 介绍了 Littlewood-Paley 分解（基于 dyadic 尺度划分的分解），它提供了一种在不同频率尺度上分析函数的方法。在此基础上，阐述了 原子分解（Atomic Decomposition） 的概念，特别是对于 $H^p$ 空间的描述。 Bony 乘积与拟线性算子： 讨论了在乘积 $f cdot g$ 出现时，经典傅里叶乘积定理的局限性，尤其当 $f$ 和 $g$ 属于较弱的空间时。引入了 Bony's Para-product 构造，将乘积分解为“对偶”部分、平移不变部分和误差项，从而为分析拟线性 PDE（如 Burgers 方程）中的非线性项提供了严谨的框架。 小波分析的初步接触 (Wavelets)： 虽然小波分析通常作为独立主题，但本书简要介绍了小波变换（Wavelet Transform）与连续小波变换（CWT）作为傅里叶分析的补充。重点强调了小波在 时频局部化 方面的优势，以及它们与傅里叶变换在 dyadic 尺度分析上的内在联系，为读者过渡到更专业的信号分析领域做好了铺垫。 总结： 本书全面覆盖了谐波分析从基础理论到核心算子理论和关键 PDE 应用的完整路径。它强调数学的严谨性，确保读者不仅能使用这些工具，更能理解其背后的深刻数学结构。目标读者包括高年级本科生、研究生以及需要深入理解数学物理和信号处理基础的工程师和研究人员。

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对我这种实分析和泛函基础都不太行的人非常友好 当作是复习了 像作者在前言里说 可以当作系统学习调和分析的预习材料

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对我这种实分析和泛函基础都不太行的人非常友好 当作是复习了 像作者在前言里说 可以当作系统学习调和分析的预习材料