Multiplicative Number Theory I pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Hugh L. Montgomery

出品人:

页数:572

译者:

出版时间:2006-12-11

价格:USD 95.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521849036

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 乘法数论
• 解析数论
• 代数数论
• 素数分布
• 丢番图方程
• 模形式
• L函数
• 筛法
• 算术函数

《模算术与代数数论导引》 图书简介 本书旨在为读者提供一个坚实的数论基础，侧重于模算术、初等代数数论以及它们在更高级理论中的初步应用。不同于侧重于经典狄利克雷级数和解析工具的著作，本书采取一种更具结构化和初等化的方法，为深入研究代数几何和解析数论做好铺垫。全书内容精心编排，旨在通过清晰的定义、详尽的证明和丰富的例题，引导读者逐步掌握数论的核心思想。 第一部分：基础代数结构与模运算 本书的开篇（第一章）聚焦于数论赖以建立的代数结构。我们从集合论和群论的基本概念回顾开始，但迅速过渡到整数环 $mathbb{Z}$ 上的运算。重点详细阐述了整除性、最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）的性质，并对欧几里得算法及其扩展形式进行了深入的分析，确保读者对线性丢番图方程的求解有透彻的理解。 第二章专门讨论模算术（Modular Arithmetic）。模 $n$ 剩余类环 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 的结构被系统地引入。我们详细探讨了同余关系的等价性质，并对完全剩余系和既约剩余系进行了区分和研究。关键的成果，如欧拉定理、费马小定理的严谨证明被置于本章的核心。本章的重点在于理解模运算在密码学（如RSA算法的基础原理）中的初步应用，尽管我们不会深入解析复杂的密码系统，但会构建必要的代数框架。 第三章深入研究了同余方程组的求解。中国剩余定理（CRT）是本章的基石。我们不仅提供了标准的构造性证明，还探讨了该定理在分解大整数和简化模运算中的实际效用。此外，本章还涵盖了二次同余式的初步分析，特别是模 $p$ 上的平方剩余（Quadratic Residues）问题。勒让德符号和雅可比符号的定义、基本性质（二次互反律的初等证明）是本章的重点，这为后续引入高斯和型和等更复杂的分析工具打下基础。 第二部分：初等代数数论的构造 进入第二部分，我们将视角从整数环 $mathbb{Z}$ 扩展到更一般的代数数域。第四章引入了代数数（Algebraic Numbers）和代数整数（Algebraic Integers）的概念。我们详细讨论了域的扩张、极小多项式以及整数环 $mathcal{O}_K$ 在二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 上的构造。读者将学习如何构造和识别这些“特殊”数域中的整数环，并掌握范数（Norm）和迹（Trace）的概念，理解它们在确定元素可逆性中的作用。 第五章是代数数论的核心：理想（Ideals）与因子分解。在 $mathbb{Z}$ 中，唯一因子分解是自然成立的，但我们指出在一般的数域中，主理想（Principal Ideals）不一定能保证唯一因子分解。本章的重点是引入“理想”作为替代因子分解的基本构建块。我们首先分析了理想在数环 $mathcal{O}_K$ 中的运算（加法、乘法），然后详细证明了 $mathcal{O}_K$ 中的每个非零真理想都可以被唯一地分解为素理想的乘积。这是对传统素数分解概念的深刻推广。 第六章讨论了与因子分解相关的关键不变式。我们引入了理想类群（Ideal Class Group）的概念，旨在衡量一个数环偏离唯一因子分解的程度。类数（Class Number） $h_K$ 被定义为类群的阶，并解释了它在数论中的重要性——类数等于一意味着该环具有唯一因子分解的性质。我们通过具体的二次域例子，如 $mathbb{Q}(sqrt{-5})$，展示了如何通过构造非主理想来证明类数大于一。本章还触及了单位群（Unit Group）的结构，利用狄利克雷单位定理（Dirichlet's Unit Theorem）的初等表述，描述了实二次域中单位的生成元结构。 第三部分：函数域与初等解析工具的引入 第三部分将视角转向更具动态性的数论问题，引入了对函数域和解析方法的初步接触。第七章探讨了与丢番图方程相关的几何视角，特别是费马大定理的初等证明尝试（如费马的无穷递降法在特定指数下的应用）。我们分析了高斯和（Gaussian Sums）的构造，并展示了它们与勒让德符号的关系，这为解析工具的引入提供了基础。 第八章引入了黎曼猜想的“函数域模拟”——韦伊猜想（Weil Conjectures）的初等形式，并探讨了 Zeta 函数的概念。我们从狄利克雷级数的初步概念出发，讨论了 $zeta(s)$ 的欧拉乘积表示，并探讨了数论函数（如除数函数 $sigma_k(n)$ 和欧拉 $phi$ 函数）的乘性性质。虽然我们避免了对复变量函数的深入分析，但本章旨在建立解析数论中的基本“工具箱”，理解函数表示与整数结构之间的深刻联系。 全书的叙述风格严谨，注重逻辑的连贯性，力求使读者在掌握代数和抽象概念的同时，不失对具体数值和实际问题的洞察力。本书适合具有扎实抽象代数基础的研究生和高年级本科生作为核心教材或参考书。

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