From Error-Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups (Carus Mathematical Monographs) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:The Mathematical Association of America

作者:Thomas M. Thompson

出品人:

页数:244

译者:

出版时间:2004-10-14

价格:USD 33.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780883850374

丛书系列:The Carus Mathematical Monographs

图书标签:

Error-Correcting Codes
Sphere Packings
Simple Groups
Mathematics
Combinatorics
Algebra
Geometry
Number Theory
Group Theory
Carus Mathematical Monographs

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具体描述

从经典数论到现代代数：探索数与结构的交织本书旨在带领读者领略数学世界中一个迷人的领域，这个领域横跨了看似迥异的数论、代数结构以及几何学的深刻联系。我们将聚焦于数域、环的性质，以及它们如何在更宏大的代数框架中得以理解。本书的基调是深入浅出，既面向对基础代数结构有初步了解的读者，也力求为有志于深入研究代数拓扑和表示论的学者提供坚实的背景知识。我们的旅程始于对代数数论的再探索。不同于初等数论对整数性质的关注，代数数论将视野投向了那些作为有理数方程根的数。我们将详细剖析二次域和高斯有理整数环 $mathbb{Z}[i]$ 的结构。通过研究这些域上的理想、单位群以及范数函数，读者将理解为什么我们在处理丢番图方程或素数分布时，需要引入“代数”的概念来简化问题。特别地，我们将深入探讨唯一因子分解域 (UFD) 的概念，并讨论那些缺乏这一性质的环，例如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$，这自然引出了理想类群的概念，揭示了如何通过引入更精细的结构——理想——来恢复某种形式的“唯一性”。接下来的部分，我们将转向抽象代数的核心——群论。群作为描述对称性和变换的数学语言，其重要性无可替代。本书不会仅仅停留在有限群的分类上，而是会将焦点放在交换群和模的结构上。我们将细致考察阿贝尔群的结构定理，理解任意有限阿贝尔群都可以被分解为初等因子群的直积。这一分解有力地揭示了所有有限阿贝尔群的内在构造。随后，我们将引入模的概念，它是向量空间在环上的推广。通过研究模的射影性、内射性和投射性，读者将对代数几何和表示论中常见的结构有更深刻的认识。在模论的背景下，我们自然会遇到同调代数的萌芽。虽然本书不会深入讲解复杂的同调理论，但我们会介绍分解的概念，特别是内射分解和投射分解，这些工具是研究模与函子性质的关键。我们将探讨张量积的构造及其双线性性质，这在连接不同代数结构（如从环到模，或从模到模）时扮演着核心角色。本书的第三部分将把视野扩展到环论，特别是与域扩张相关的结构。我们将重新审视伽罗瓦理论 (Galois Theory) 的基本原理。虽然伽罗瓦理论的最终目标是解决多项式方程的可解性问题，但其核心在于研究域的自同构群。我们将详细分析正规扩张和可分扩张的性质，并阐述伽罗瓦群如何精确地描述了这些扩张。通过具体的例子，如有理数域上的分圆域，读者将看到代数结构如何精确地“编码”了数域之间的关系。我们还会探讨交换代数中的一些基础概念，比如正则局部环和唯一起始理想的性质。对于任何一个局部环，理解其极大理想的幂如何作用于环的局部化，是掌握更高级代数工具的前提。我们将介绍诺特环的概念，这是许多代数几何研究的基础，并讨论它们在理想链中的收敛性质。最后，为了将我们的讨论提升到一个更抽象的层面，我们将简要介绍范畴论的初步思想。范畴论提供了一种语言来描述不同数学结构（如群、环、模、拓扑空间）之间的“态射”和它们之间的通用构造。我们将以函子的概念作为核心，展示如何用统一的框架来描述诸如张量积、Hom 函子等代数构造。理解范畴论能帮助读者看到，看似不相关的数学分支，实际上共享着深刻的、可转换的结构。本书的结构旨在循序渐进：从数域的具体研究，过渡到抽象群和模的结构分析，再到域扩张的伽罗瓦理论，最终触及范畴论的通用视角。通过这种路径，读者不仅能掌握特定的代数知识，更能培养出一种将不同数学对象视为特定代数结构之“实例”的洞察力。我们将力求严谨，但始终保持对数学直觉的关注，确保读者在掌握精确定义的同时，也能体会到这些深刻结构背后的美感与逻辑必然性。本书的最终目标是为读者铺设一条坚实的道路，通向更广阔的现代数学领域。