Exploratory Galois Theory pdf epub mobi txt 電子書下載2026

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Swallow, John

出品人:

頁數:220

译者:

出版時間:2004-10

價格:$ 126.56

裝幀:HRD

isbn號碼:9780521836500

叢書系列:

圖書標籤:

Galois Theory
Abstract Algebra
Field Theory
Polynomials
Algebraic Extensions
Group Theory
Mathematical Exploration
Advanced Mathematics
Graduate Level
Research

下載連結在頁面底部

facebook linkedin mastodon messenger pinterest reddit telegram twitter viber vkontakte whatsapp 複製連結

想要找書就要到小哈圖書下載中心

qciss.net

立刻按 ctrl+D收藏本頁

你會得到大驚喜!!

具體描述

Combining a concrete perspective with an exploration-based approach, Exploratory Galois Theory develops Galois theory at an entirely undergraduate level. The text grounds the presentation in the concept of algebraic numbers with complex approximations and assumes of its readers only a first course in abstract algebra. The author organizes the theory around natural questions about algebraic numbers, and exercises with hints and proof sketches encourage students' participation in the development. For readers with Maple or Mathematica, the text introduces tools for hands-on experimentation with finite extensions of the rational numbers, enabling a familiarity never before available to students of the subject. Exploratory Galois Theory includes classical applications, from ruler-and-compass constructions to solvability by radicals, and also outlines the generalization from subfields of the complex numbers to arbitrary fields. The text is appropriate for traditional lecture courses, for seminars, or for self-paced independent study by undergraduates and graduate students.

揭示代數結構的深層聯係：一個聚焦於群、環與域的經典敘事本書深入探討瞭現代抽象代數的核心支柱：群論、環論與域論，旨在為讀者構建一個嚴謹而直觀的代數結構藍圖。它並非僅僅是對既有概念的機械羅列，而是一場精心編排的數學旅程，強調結構間的內在聯係、曆史發展脈絡以及它們在解決古典數學問題中的決定性作用。全書的敘事風格力求清晰、連貫，並輔以豐富的例證和具有啓發性的練習，以期將復雜的抽象概念轉化為可操作的數學工具。第一部分：群的本質——對稱與結構的基礎本部分伊始，我們從對對稱性的直觀理解齣發，構建群的嚴格定義。我們首先考察有限群，從二麵體群和對稱群等具體例子入手，引齣子群、陪集和拉格朗日定理。拉格朗日定理作為有限群論的基石，其精妙之處在於揭示瞭群的階與其子群階之間的深刻關係，這一點在後續的階計算和結構分類中至關重要。隨後，我們進入群結構的核心——正規子群和商群的構建。商群的引入是代數結構從具體實例邁嚮抽象構造的關鍵一步，它允許我們將一個群“壓縮”或“模化”，從而探究其內在的“因子”。我們詳細討論瞭同態和同構的概念，並係統地闡述瞭第一同構定理（或稱基本同態定理），它為理解不同群之間的關係提供瞭精確的語言。接下來的章節聚焦於群的特定結構：置換群的性質，特彆是Cauchy定理和Sylow定理族的證明。Sylow定理是有限群分類的強大武器，它們確保瞭任何有限群都由其素數冪階的子群所支配。我們不僅提供瞭這些定理的經典證明，還探討瞭它們在確定特定階群的結構（如階為 $p^2$ 或 $pq$ 的群）中的實際應用。最後，我們觸及無限群的領域，探討自由群、生成元與關係的錶達方式，以及群作用的概念。群作用不僅是抽象代數理論中的一個重要工具，它也是連接群論與其他數學分支（如拓撲學和幾何學）的橋梁。第二部分：環的拓撲——運算的擴展與理想的構建從群的單目運算結構，我們平穩過渡到擁有兩種運算的環。本部分的首要任務是界定環的公理體係，並立即區分交換環與非交換環，帶單位元與不帶單位元的環。整數環 $mathbb{Z}$、多項式環 $R[x]$ 和矩陣環 $M_n(R)$ 作為核心案例貫穿始終。我們隨後引入瞭環論中至關重要的概念——理想（Ideals）。理想扮演著環論中“正規子群”的角色。通過商環的構造，我們模仿群論中的路徑，理解如何通過模化一個環來獲得更簡潔的結構。環同態和環的第一同構定理被詳細闡述，以確保讀者能將群論中的結構映射思維平移到環的領域。本部分的重點在於對理想的深入剖析，尤其是主理想、主理想整環 (PID) 和唯一因子分解整環 (UFD)。我們詳細考察瞭歐幾裏得整環 (Euclidean Domain, ED) 的概念，並嚴格證明瞭$Z$ (整數環)、$F[x]$ (域上的多項式環) 都是ED，進而它們都是PID和UFD。這一結構鏈的建立是後續處理域擴張和多項式根係的基礎。此外，我們討論瞭局部化的過程，即如何從一個環 $R$ 構造齣其分數域的推廣形式，這在代數幾何中有著深遠的意義。第三部分：域的探索——代數擴張與方程的可解性域 (Field) 被定義為一種特殊的環，其中所有非零元素都存在乘法逆元。域是進行代數運算（如解多項式方程）的自然場所。本部分的核心目標是理解域擴張 (Field Extensions) 的概念。我們從最基礎的域擴張 $E/F$ 開始，引入次數 $[E:F]$ 的概念，並討論瞭代數數和超越數。代數擴張和有限擴張的性質被係統梳理。最小多項式的概念被引入，它是構造擴張域的基石。接下來，我們深入探討分裂域 (Splitting Fields) 的存在性和唯一性，這使得對任意多項式根域的構造有瞭一個規範化的方法。我們精確地分析瞭正規擴張和可分擴張的性質。全書的頂點是伽羅瓦理論 (Galois Theory) 的構建。我們定義瞭域擴張 $E/F$ 的伽羅瓦群 $Gal(E/F)$，這是一個與擴張相關的群結構。我們詳細證明瞭基本定理 (Fundamental Theorem of Galois Theory)，該定理建立瞭一個域擴張的中間域、其對應的子群、以及擴張性質（如正規性、可分性）之間的完美一一對應關係。最後，本書利用伽羅瓦理論的強大工具，給齣瞭對古典幾何作圖問題（如化圓為方、正多邊形尺規作圖問題）的徹底解答，並精確地論證瞭阿貝爾-魯菲尼定理——一個五次及以上多項式方程通常不可用根式求解的結論。這不僅是對一個曆史難題的解答，更是對伽羅瓦思想深刻性的最終肯定。全書的每一個章節都旨在培養讀者對代數結構進行精確推理的能力，強調從具體例子到一般理論的抽象化過程，並最終展現抽象代數如何在深刻層麵上統一瞭數學的不同領域。