Exploratory Galois Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Swallow, John

出品人:

页数:220

译者:

出版时间:2004-10

价格:$ 126.56

装帧:HRD

isbn号码:9780521836500

丛书系列:

图书标签:

Galois Theory
Abstract Algebra
Field Theory
Polynomials
Algebraic Extensions
Group Theory
Mathematical Exploration
Advanced Mathematics
Graduate Level
Research

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具体描述

Combining a concrete perspective with an exploration-based approach, Exploratory Galois Theory develops Galois theory at an entirely undergraduate level. The text grounds the presentation in the concept of algebraic numbers with complex approximations and assumes of its readers only a first course in abstract algebra. The author organizes the theory around natural questions about algebraic numbers, and exercises with hints and proof sketches encourage students' participation in the development. For readers with Maple or Mathematica, the text introduces tools for hands-on experimentation with finite extensions of the rational numbers, enabling a familiarity never before available to students of the subject. Exploratory Galois Theory includes classical applications, from ruler-and-compass constructions to solvability by radicals, and also outlines the generalization from subfields of the complex numbers to arbitrary fields. The text is appropriate for traditional lecture courses, for seminars, or for self-paced independent study by undergraduates and graduate students.

揭示代数结构的深层联系：一个聚焦于群、环与域的经典叙事本书深入探讨了现代抽象代数的核心支柱：群论、环论与域论，旨在为读者构建一个严谨而直观的代数结构蓝图。它并非仅仅是对既有概念的机械罗列，而是一场精心编排的数学旅程，强调结构间的内在联系、历史发展脉络以及它们在解决古典数学问题中的决定性作用。全书的叙事风格力求清晰、连贯，并辅以丰富的例证和具有启发性的练习，以期将复杂的抽象概念转化为可操作的数学工具。第一部分：群的本质——对称与结构的基础本部分伊始，我们从对对称性的直观理解出发，构建群的严格定义。我们首先考察有限群，从二面体群和对称群等具体例子入手，引出子群、陪集和拉格朗日定理。拉格朗日定理作为有限群论的基石，其精妙之处在于揭示了群的阶与其子群阶之间的深刻关系，这一点在后续的阶计算和结构分类中至关重要。随后，我们进入群结构的核心——正规子群和商群的构建。商群的引入是代数结构从具体实例迈向抽象构造的关键一步，它允许我们将一个群“压缩”或“模化”，从而探究其内在的“因子”。我们详细讨论了同态和同构的概念，并系统地阐述了第一同构定理（或称基本同态定理），它为理解不同群之间的关系提供了精确的语言。接下来的章节聚焦于群的特定结构：置换群的性质，特别是Cauchy定理和Sylow定理族的证明。Sylow定理是有限群分类的强大武器，它们确保了任何有限群都由其素数幂阶的子群所支配。我们不仅提供了这些定理的经典证明，还探讨了它们在确定特定阶群的结构（如阶为 $p^2$ 或 $pq$ 的群）中的实际应用。最后，我们触及无限群的领域，探讨自由群、生成元与关系的表达方式，以及群作用的概念。群作用不仅是抽象代数理论中的一个重要工具，它也是连接群论与其他数学分支（如拓扑学和几何学）的桥梁。第二部分：环的拓扑——运算的扩展与理想的构建从群的单目运算结构，我们平稳过渡到拥有两种运算的环。本部分的首要任务是界定环的公理体系，并立即区分交换环与非交换环，带单位元与不带单位元的环。整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $R[x]$ 和矩阵环 $M_n(R)$ 作为核心案例贯穿始终。我们随后引入了环论中至关重要的概念——理想（Ideals）。理想扮演着环论中“正规子群”的角色。通过商环的构造，我们模仿群论中的路径，理解如何通过模化一个环来获得更简洁的结构。环同态和环的第一同构定理被详细阐述，以确保读者能将群论中的结构映射思维平移到环的领域。本部分的重点在于对理想的深入剖析，尤其是主理想、主理想整环 (PID) 和唯一因子分解整环 (UFD)。我们详细考察了欧几里得整环 (Euclidean Domain, ED) 的概念，并严格证明了$Z$ (整数环)、$F[x]$ (域上的多项式环) 都是ED，进而它们都是PID和UFD。这一结构链的建立是后续处理域扩张和多项式根系的基础。此外，我们讨论了局部化的过程，即如何从一个环 $R$ 构造出其分数域的推广形式，这在代数几何中有着深远的意义。第三部分：域的探索——代数扩张与方程的可解性域 (Field) 被定义为一种特殊的环，其中所有非零元素都存在乘法逆元。域是进行代数运算（如解多项式方程）的自然场所。本部分的核心目标是理解域扩张 (Field Extensions) 的概念。我们从最基础的域扩张 $E/F$ 开始，引入次数 $[E:F]$ 的概念，并讨论了代数数和超越数。代数扩张和有限扩张的性质被系统梳理。最小多项式的概念被引入，它是构造扩张域的基石。接下来，我们深入探讨分裂域 (Splitting Fields) 的存在性和唯一性，这使得对任意多项式根域的构造有了一个规范化的方法。我们精确地分析了正规扩张和可分扩张的性质。全书的顶点是伽罗瓦理论 (Galois Theory) 的构建。我们定义了域扩张 $E/F$ 的伽罗瓦群 $Gal(E/F)$，这是一个与扩张相关的群结构。我们详细证明了基本定理 (Fundamental Theorem of Galois Theory)，该定理建立了一个域扩张的中间域、其对应的子群、以及扩张性质（如正规性、可分性）之间的完美一一对应关系。最后，本书利用伽罗瓦理论的强大工具，给出了对古典几何作图问题（如化圆为方、正多边形尺规作图问题）的彻底解答，并精确地论证了阿贝尔-鲁菲尼定理——一个五次及以上多项式方程通常不可用根式求解的结论。这不仅是对一个历史难题的解答，更是对伽罗瓦思想深刻性的最终肯定。全书的每一个章节都旨在培养读者对代数结构进行精确推理的能力，强调从具体例子到一般理论的抽象化过程，并最终展现抽象代数如何在深刻层面上统一了数学的不同领域。