Partial Ordering Methods In Nonlinear Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Nova Science Pub Inc

作者:Guo, Dajun/ Cho, Yeol Je/ Zhu, Jiang

出品人:

页数:344

译者:

出版时间:

价格:150

装帧:HRD

isbn号码:9781594540189

丛书系列:

图书标签:

• 偏序方法
• 非线性问题
• 优化
• 数值分析
• 算法
• 数学建模
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• 工程应用
• 科学计算
• 近似解

好的，这是一份关于一本名为《非线性问题中的偏序方法》的书籍的详细简介，内容侧重于其涵盖的主题和方法论，旨在深入探讨该领域的关键技术和应用，而不涉及您指定的书名中的内容。 --- 书名：《非线性动力学系统中的拓扑与几何方法研究》 书籍简介 本书旨在全面、深入地探讨非线性动力学系统分析中，基于拓扑学和几何学原理的应用方法。面对复杂非线性现象所固有的挑战，本书构建了一个严谨的理论框架，重点阐述了如何利用先进的拓扑不变量、微分几何工具以及动力系统中的几何结构特征，来揭示和量化系统的长期行为、稳定性及演化路径。全书的叙事逻辑从基础理论出发，逐步过渡到复杂系统的具体应用，力求为研究人员和高级学生提供一套系统化的分析工具箱。 第一部分：非线性动力学基础与几何预备 本书的开篇部分首先回顾了经典动力学系统的基本概念，但迅速将焦点转移至对非线性特性的几何刻画。我们探讨了流形理论在描述动力学系统状态空间中的重要性，特别是光滑流形、黎曼流形的概念及其在非保守系统建模中的应用。重点分析了奇异点（平衡点）的局部结构，并利用中心流形理论和形式幂级数展开，将复杂系统的行为简化到最低维度流形上进行分析。 其中，拓扑不动点定理的讨论占据了重要篇幅。我们详细考察了布劳威尔（Brouwer）不动点定理、更迭定理（Degree Theory）以及庞加莱-霍普夫定理（Poincaré–Hopf Theorem）在证明存在性问题中的应用。这些定理为理解系统在特定约束或边界条件下的稳定态或周期性行为提供了坚实的几何基础。 第二部分：拓扑不变量与混沌分析 本部分深入研究了用于区分不同动力学行为的拓扑不变量。庞加莱截面（Poincaré Sections）作为将高维连续流转化为低维离散映射的关键工具，被详尽阐述。我们讨论了如何利用截面上的点集结构——如吸引子、排斥子以及它们的拓扑维度——来识别周期轨道、准周期运动和混沌。 混沌动力学分析是本书的核心之一。我们详细介绍了李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的计算方法及其物理意义，阐明了指数谱如何量化系统对初始条件的敏感性。在拓扑结构层面，我们引入了拓扑熵（Topological Entropy）的概念，它提供了衡量系统动力学复杂性的一个重要拓扑度量，优于仅仅依赖于李雅普诺夫指数的分析。 此外，吸引子的拓扑结构分析是本章的亮点。我们探讨了奇异吸引子的分形维数（如盒计数维数、关联维数）的计算，并讨论了这些维数与动力系统所遵循的控制参数之间的关系。我们还引入了同调与上同调理论在分析吸引子拓扑连通性和孔洞结构上的潜力，特别是如何利用贝蒂数（Betti Numbers）来表征吸引子的内在拓扑形态。 第三部分：微分几何在稳定性和控制中的应用 随着系统复杂性的增加，传统的线性化方法失效，此时微分几何工具变得不可或缺。本部分聚焦于李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）在描述守恒律和对称性方面的作用。对于具有明确对称结构的系统（如哈密顿系统或拉格朗日系统），利用诺特定理（Noether's Theorem）导出守恒量，并将其嵌入到系统的流形结构中进行分析，是提高求解效率的关键。 在稳定性分析方面，我们运用曲率（Curvature）的概念来分析扰动在流形上的传播。例如，黎曼曲率张量可以揭示系统中微小扰动随时间演化的几何路径，这对于评估系统在边界附近的鲁棒性至关重要。我们还探讨了辛几何（Symplectic Geometry）在分析保守系统（如无阻尼振动或轨道力学）中的核心地位，强调了辛积分保留性质如何保证长期数值模拟的精度和物理合理性。 第四部分：网络化系统与几何嵌入 现代科学挑战越来越多地表现为大规模复杂网络的形式。本书的第四部分将视角扩展到网络动力学，并将其视为一种特殊的几何结构。我们讨论了基于图论和代数拓扑的方法来分析耦合振子系统。关键在于如何将网络结构（如节点连接性和权重）嵌入到高维状态空间中，形成一个具有特定拓扑特征的“网络流形”。 我们详细分析了全局耦合和同步的几何条件。利用图的谱理论（拉普拉斯矩阵的特征值）与系统动力学的关联，我们推导了保证同步发生的充分必要条件。此外，还引入了拓扑数据分析（Topological Data Analysis, TDA）中的持久同调（Persistent Homology）方法，用以从观测数据中提取潜在系统的拓扑特征，特别是识别系统在演化过程中出现的“洞”或“回路”的持续时间，从而区分信号中的噪声与真实动力学模式。 总结与展望 《非线性动力学系统中的拓扑与几何方法研究》为研究人员提供了一套超越传统解析和数值方法的强有力工具。通过将拓扑不变量、微分几何结构与动力学行为紧密结合，本书旨在深化对复杂系统内在组织和演化规律的理解。本书内容侧重于方法论的严谨推导和概念的清晰阐释，适用于数学、物理、工程和计算科学领域的高级研究人员和研究生，对致力于非线性科学理论前沿探索的读者具有重要的参考价值。

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