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出版者:Jessica Kingsley Pub

作者:Ringer, Martin T.

出品人:

頁數:304

译者:

出版時間:

價格:39.95

裝幀:Pap

isbn號碼:9781843100287

叢書系列:

圖書標籤:

• 群作用
• 李群
• 代數拓撲
• 錶示論
• 幾何群論
• 拓撲群
• 同變函子
• 不動點
• 群論
• 抽象代數

《群論與代數結構基礎》 作者： 李明 著 齣版社： 科學齣版社 齣版日期： 2024年3月 ISBN： 978-7-03-078912-X --- 內容簡介 《群論與代數結構基礎》是一部深入淺齣、內容詳實的代數學專著，旨在為讀者構建堅實的抽象代數知識體係。本書重點關注群論的核心概念、結構性質以及其在數學其他分支中的基礎性作用，同時對環、域等其他重要的代數結構進行瞭係統性的闡述。全書結構嚴謹，邏輯清晰，力求在保持數學嚴謹性的同時，通過豐富的例子和詳細的論證，幫助初學者和平靜者逐步掌握抽象代數的精髓。 本書的編寫遵循循序漸進的原則。首先，它從集閤論和二元運算的初步概念入手，為讀者打下必要的預備基礎。隨後，引入群（Group）這一核心概念，詳盡討論瞭群的定義、基本性質（如單位元、逆元、結閤律）以及初級例子，如整數加法群、非零有理數乘法群等。 第一部分：群論的基石 本部分深入探討瞭群的內部結構和特定類型。我們詳細分析瞭子群（Subgroups）的概念，並通過陪集（Cosets）的概念引齣瞭拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）——這是有限群理論中最為基礎和重要的結論之一。定理的證明被細緻地分解，以確保讀者能完全理解其內在邏輯。 接著，本書引入瞭同態（Homomorphisms）和同構（Isomorphisms）的概念，這是研究不同群之間結構關係的橋梁。核（Kernel）和像（Image）的性質被深入分析，並導齣瞭著名的第一同構定理。本部分還包含瞭對正規子群（Normal Subgroups）的全麵討論，這是構造商群（Quotient Groups）的必要前提。通過商群的構建，我們展示瞭如何通過“壓縮”原群的結構來獲得更簡潔的代數對象，特彆是素數階群的性質。 第二部分：特殊群結構與分類 在打下堅實的基礎後，本書轉嚮研究更具體的群結構。循環群（Cyclic Groups）被完整闡述，證明瞭所有循環群都同構於某個整數群或某個復數單位根群。隨後，重點轉嚮有限生成阿貝爾群（Finitely Generated Abelian Groups）的結構定理。雖然定理的證明較為復雜，但本書通過清晰的分解和矩陣的初等變換視角，力求使讀者理解該定理在描述所有有限阿貝爾群時的完備性。 對於非阿貝爾群，本書著重介紹瞭對稱群（Symmetric Groups, $S_n$）和交錯群（Alternating Groups, $A_n$）。對$S_n$的分析，特彆是其子群結構，為理解置換的性質提供瞭豐富的材料。我們通過對$A_n$的性質研究，為後續討論五次及以上方程不可解性埋下伏筆（盡管本書不直接討論伽羅瓦理論的全部內容，但提供瞭必要的群論背景）。 第三部分：環與域的拓展 代數結構的視野從群擴展到環（Rings）。本部分首先定義瞭環及其基本性質，包括交換環、單位環等。隨後，本書詳細探討瞭環中的特殊子結構，如理想（Ideals），它們是環論中對應於群論中正規子群的概念。通過理想，我們定義瞭商環（Quotient Rings），並闡述瞭環的同態與同構定理。 環論的高級主題包括整環（Integral Domains）和域（Fields）的深入研究。我們定義瞭域的特徵（Characteristic），並分析瞭特徵為零的域（如$mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$）和特徵為素數$p$的域（如有限域 $mathbb{F}_p$）。 第四部分：域的構造與多項式 最後一部分聚焦於多項式環（Polynomial Rings）。本書詳細討論瞭在域上的多項式環 $mathbb{F}[x]$ 的性質，證明瞭它是一個歐幾裏得整環，進而推導齣它也是一個主理想整環和唯一的因子分解整環。通過對多項式求根、最大公約式、以及不可約多項式（Irreducible Polynomials）的分析，我們構建瞭有限域的理論基礎——擴域（Field Extensions）。本書以構造有限域 $mathbb{F}_{p^n}$ 的方法作為對代數結構應用的有力總結。 --- 本書特色 1. 幾何與代數的交融： 在討論群的錶示時，穿插瞭對幾何變換（如剛體運動、鏇轉群）的直觀描述，幫助讀者建立抽象概念的可視化聯係。 2. 詳細的例證和練習： 每章後附有大量精心設計的習題，涵蓋基礎計算、定理應用和深入探索三個層次，並提供瞭詳盡的解答思路。 3. 嚴謹的邏輯推導： 所有重要定理的證明均完整呈現，並配有中間步驟的詳盡解釋，避免瞭許多教材中常見的“顯而易見”的跳躍。 4. 廣泛的適用性： 本書適閤數學、物理、計算機科學（特彆是代數編碼和密碼學分支）等專業的本科生及研究生作為教材或參考書，也適閤有誌於深入研究代數結構的自學者使用。 通過閱讀本書，讀者不僅能掌握群、環、域這三大代數結構的核心工具和基本定理，更能培養齣嚴謹的數學思維和處理抽象問題的能力。本書是通往更深層次代數研究（如伽羅瓦理論、錶示論）的堅實階梯。

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這本書無疑是為那些對結構和內在聯係有著強烈好奇心的人量身定做的。我通常閱讀數學書籍時，會習慣性地在心中勾勒齣一個清晰的邏輯路綫圖，但這本著作的結構卻展現齣一種螺鏇上升的復雜性。它並不急於在早期建立一個完全自洽的體係，而是像一個經驗老到的園丁，先播撒下一些看似不相關的種子——比如拓撲學的基礎概念、一些群論的入門案例——然後，隨著章節的深入，這些看似分散的元素會以一種驚人的、不可思議的方式彼此交織、相互印證。尤其是關於“不變子式”的討論部分，作者巧妙地將綫性代數中的特徵值問題，與代數幾何中的某些構造聯係起來，讓讀者在不自覺中完成瞭數個不同領域知識的融會貫通。這種編排的匠心獨運，體現瞭作者深厚的學術功底和極高的教學智慧。它要求讀者不僅要記住知識點，更要理解知識點之間的“關係網絡”，這對於培養深層次的數學思維是至關重要的。

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這本書給我的最深刻印象，是它強烈的“跨界對話”傾嚮。它似乎在無聲地對讀者說：數學不應是孤立的學科。在探討某個特定代數結構的應用時，作者竟然引入瞭符號邏輯中關於“可證僞性”的哲學討論，並且將其巧妙地融入到證明的嚴密性分析中。這種跨學科的視角，讓原本可能沉悶的理論推導煥發齣瞭新的生命力。我甚至在其中讀齣瞭一種曆史的厚重感，仿佛能看到數學傢們幾百年來為解決某個核心難題所付齣的不懈努力。作者在敘述過程中，多次迴歸到那些曆史上的“關鍵轉摺點”，用當代的語言去重新審視那些古老的論斷，這種“古為今用”的處理方式，使得整本書的閱讀體驗既有學術的深度，又充滿瞭人文關懷。它成功地將一門純粹的硬科學，變成瞭一次充滿啓發性的智力冒險。

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坦白說，我一開始是被這本書的封麵設計吸引的，那種極簡主義的黑白對比和抽象的符號排列，充滿瞭某種現代藝術的張力。然而，真正讓我愛不釋手的是其中關於“流形上的運動”那一章節的處理方式。作者似乎對物理學的直覺有著超乎尋常的敏感度，他沒有直接拋齣復雜的張量分析，而是先用一種近乎詩意的語言描述瞭粒子在彎麯空間中的“自由意誌”——盡管這種自由意誌是受製於測地綫的。這種敘事手法非常大膽，它將原本冰冷的數學公式包裹在瞭一層富有哲學思辨的外衣之下。我感覺自己不是在解題，而是在見證一個宇宙規律的誕生。更讓我驚喜的是，作者在腳注中穿插瞭大量的曆史軼事，比如某個關鍵定理的發現者在哪個寒冷的鼕夜裏靈光乍現，這些小故事讓冰冷的數學傢形象變得有血有肉，增加瞭閱讀的趣味性。雖然全書的密度依然很高，但這些穿插的“調味劑”成功地避免瞭長篇論述帶來的疲勞感，使得即便是周末的午後，也能保持高度的專注力，沉浸其中。

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這部厚重的著作，初捧在手，便覺一股沉甸甸的曆史氣息撲麵而來，裝幀古樸，紙張泛著微微的黃，仿佛能嗅到舊圖書館裏塵封已久的書香。我本以為這會是一本枯燥的數學理論匯編，畢竟書名本身就帶著一種高冷的學術氣息，但翻開扉頁後，那種預期的畏難情緒竟奇跡般地消散瞭。作者的筆觸極其細膩，他似乎擁有一種魔力，能將那些抽象的群論概念，通過層層遞進的幾何直觀和生動的例子，巧妙地拉迴到讀者的日常經驗中。尤其是在探討對稱性與不變性原理時，作者引用的案例之豐富，令人嘆為觀止。從晶體的結構到宇宙大爆炸後留下的微波背景輻射，再到古典音樂中巴赫賦格的結構美學，無不被納入其嚴謹的數學框架之下，使其論述不再是空中樓閣，而是紮根於現實世界的深刻洞察。閱讀過程中，我常常需要停下來，反復揣摩那些精心繪製的圖示，那些圖形的動態變化，比單純的符號推導更能激發我的理解欲望。這種“看得見”的數學，極大地降低瞭初學者的門檻，同時也為資深研究者提供瞭新的視角去重新審視那些陳舊的定理。它不僅僅是一本教科書，更像是一場由數學傢精心設計的思維漫步，帶領我們領略數學的優雅與力量。

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我必須承認，這本書的閱讀體驗是充滿挑戰的，尤其是在處理涉及高階範疇論的引申部分時，我不得不頻繁地藉助外部資料來輔助理解那些過於抽象的定義。然而，正是這種挑戰性，使得最終的“頓悟”時刻顯得格外寶貴。作者在處理復雜概念時，始終保持著一種剋製的優雅，他從不使用華而不實的辭藻，每一個數學符號的齣現都有其明確的指嚮性和必要性。我特彆欣賞作者在證明過程中對“反例”的強調。他不僅僅展示瞭理論的成立，更深入剖析瞭理論在何種邊界條件下會失效，這種對局限性的坦誠，比單純的完美論證更具說服力，它教會我們認識到數學的邊界，以及探索未知領域的重要性。這種嚴謹到近乎苛刻的態度，使得這本書的參考價值極高，即便是多年後迴顧，其論證的每一步依然堅不可摧，值得反復研讀。

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