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出版者:Springer

作者:George B. Dantzig

出品人:

页数:473

译者:

出版时间:2003-07-30

价格:USD 94.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387986135

丛书系列:Springer Series in Operations Research

图书标签:

• 线性规划
• 运筹学
• 优化
• 数学规划
• 算法
• 建模
• 应用
• 约束优化
• 单纯形法
• 对偶理论

线性规划（Linear Programming）的原理、应用与前沿探索 导论：决策科学的基石 在现代管理、工程、经济乃至社会科学中，优化决策是实现目标效率最大化的核心任务。线性规划（Linear Programming, LP）作为运筹学中最基础、应用最广泛的数学规划方法，提供了一套严谨的框架来解决资源有限条件下的最优分配问题。它不仅是理论研究的基石，更是指导实际操作的强大工具。 本书旨在深入剖析线性规划的理论体系、求解算法及其在各个领域的实际应用，并探讨其在面对高维数据和复杂约束时的前沿拓展。我们力求通过详实的数学推导、清晰的逻辑架构以及丰富的案例分析，使读者对线性规划有一个全面而深刻的理解。 第一部分：线性规划的数学基础与建模 本部分着重奠定读者对线性规划的理论认知，从最基本的概念出发，构建严谨的数学模型。 第一章：线性规划的基本概念 本章首先界定线性规划问题的核心要素：目标函数（线性关系）、决策变量（待定值）、约束条件（线性不等式或等式）以及非负性约束。我们将详细讨论可行域（Feasible Region）的几何意义——一个凸多面体。接着，介绍最优解的性质，包括极点（Vertex）与基本可行解（Basic Feasible Solution）之间的关键联系，这是后续所有算法的基础。 第二章：线性规划模型的建立与规范化 成功的LP应用始于准确的模型构建。本章详细介绍如何将现实世界的复杂问题，如生产计划、混合配料、运输调度等，转化为标准的数学形式。我们将涵盖： 目标函数的确立： 如何将利润最大化、成本最小化等目标转化为数学表达式。 约束条件的提炼： 识别并量化资源限制、技术要求、合同义务等。 模型的规范化处理： 重点讲解如何将不等式约束转化为等式约束（引入松弛变量、剩余变量），以及如何处理自由变量（不限制正负）。 大M法与两阶段法： 针对引入人工变量的等式约束，本章提供处理初始可行解的实用技术。 第三章：灵敏度分析与对偶理论的初步探讨 线性规划模型建立后，分析其对输入参数微小变化的敏感性至关重要。 灵敏度分析（Sensitivity Analysis）： 探究当资源量（右侧常数）或单位效益（目标函数系数）发生变化时，最优解（变量值和目标函数值）的变化幅度与区间。这将帮助管理者理解决策的鲁棒性。 对偶理论基础： 引入对偶问题的概念。对偶问题是对原问题（Primal Problem）的“影子价格”的描述。我们将探讨原问题与对偶问题之间的基本关系，如互补松弛性（Complementary Slackness）定理。 第二部分：核心求解算法的深入解析 本部分聚焦于解析性求解线性规划问题的经典算法，重点在于理解其迭代过程和收敛性。 第四章：单纯形法（Simplex Method）的精妙构造 单纯形法是求解线性规划问题的经典且应用最广的代数方法。 标准形式与初始基： 详细阐述如何通过选择一组线性无关的基向量来确定一个初始基本可行解。 基变量与非基变量的转换： 核心在于理解主元选择规则（Pivot Selection Rule），包括选择进基变量（Entering Variable）和出基变量（Leaving Variable）。我们将严格推导如何通过行变换（行操作）在迭代中高效地寻找新的基本可行解。 最优性检验与循环（Cycling）问题： 讨论如何判断当前解是否最优，并介绍为避免算法陷入无限循环而采用的Bland规则等改进措施。 第五章：大M法与两阶段法在单纯形法中的应用 本章将单纯形法与第三章中处理的非标准问题相结合： 大M法： 解释如何通过在目标函数中加入一个巨大的惩罚系数（M）来引导算法从人工变量出发，最终消除人工变量，找到真实的最优解。 两阶段法： 相比大M法，两阶段法在数值稳定性和理论清晰度上更具优势。第一阶段的目标是最小化人工变量之和，以求得一个初始可行解；第二阶段则以该解为起点，求解原目标函数。 第六章：内点法（Interior Point Methods）——现代优化的驱动力 尽管单纯形法在许多实际问题中表现出色，但面对极大规模的LP问题时，其迭代次数可能随维数呈指数增长。内点法作为现代优化理论的里程碑，提供了多项式时间的解法。 障碍函数与中心路径： 介绍通过引入对数障碍函数（Logarithmic Barrier Function）将带有不等式约束的问题转化为一系列无约束优化问题的思想。 牛顿法的应用： 阐述如何利用牛顿法沿着由中心路径定义的轨迹逼近最优解。 Karmarkar算法的结构： 简要介绍历史上第一个具有实际应用价值的多项式时间算法的独特几何视角。 第三部分：对偶理论的深化与扩展 在掌握了对偶与原问题关系的基础上，本部分进一步探讨其在算法设计和经济解释上的深远影响。 第七章：强对偶性、弱对偶性与KKT条件 强对偶性（Strong Duality）： 在原问题有最优解时，对偶问题也存在最优解，且最优值相等。深入分析证明该定理所需的条件。 弱对偶性（Weak Duality）： 证明原问题的任何可行解的目标函数值都不会超过其对偶问题的任何可行解的目标函数值。 Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件： 将对偶理论提升到非线性规划的广义框架下，KKT条件成为最优性（Optimality）的必要条件，它是后续非线性优化理论的基础。 第八章：对偶单纯形法及其在算法优化中的地位 对偶单纯形法是一种与标准单纯形法并行的求解方法，尤其适用于处理灵敏度分析和模型迭代更新： 对偶可行性与原问题非可行性： 解释对偶单纯形法是如何从一个满足对偶可行性但可能不满足原问题可行性的解开始迭代的。 应用场景： 重点讨论该方法在模型剪枝、增补约束（Cutting Plane Methods）以及求解网络流问题时的效率优势。 第四部分：高级主题与应用拓展 线性规划的威力不仅在于解决基础问题，更在于其能够通过扩展来适应更复杂的现实场景。 第九章：特殊线性规划结构——网络流问题 网络流问题（Network Flow Problems）是线性规划在图论中的重要体现，具有高度的稀疏矩阵结构，因此可以通过更高效的专用算法求解。 最小成本流（Minimum Cost Flow）： 将资源运输、匹配等问题转化为网络流模型，并介绍利用势能（Potentials）和最短路径算法（如Bellman-Ford或Dijkstra的变体）来求解最小成本流。 最大流/最小割定理： 虽然最大流问题通常用Ford-Fulkerson方法求解，但其与最小割问题之间的对偶关系是LP理论的绝佳体现。 第十章：整数规划（Integer Programming, IP）与混合整数规划（MIP） 现实中的许多决策变量（如生产批次、是否修建某工厂）必须是整数。 分支定界法（Branch and Bound）： 介绍如何通过系统地分解问题空间（分支）并利用LP松弛解（定界）来搜索整数解的全局最优值。 割平面法（Cutting Plane Methods）： 解释如何通过在原LP松弛问题的可行域中添加新的线性不等式约束（割平面）来收紧可行域，直到获得整数解。 Benders分解法： 针对具有整数和连续变量的混合模型，介绍如何将问题分解为核心的整数决策和外部的连续子问题。 结语：线性规划的未来视野 本章对全书内容进行总结，并展望线性规划与其他优化方法的融合趋势，如随机规划（Stochastic Programming）处理不确定性，以及与大规模优化求解器（Solvers）的交互机制，强调其在工业4.0和复杂供应链管理中的持续核心地位。 --- 本书特点： 理论深度与工程实践紧密结合： 每一算法推导后紧跟其实际应用案例，确保理论服务于实际。 几何直觉与代数操作并重： 强调可行域的几何理解，辅以严格的矩阵代数运算。 覆盖经典与现代算法： 从经典的单纯形法到现代的内点法，提供不同规模问题的求解视角。 本书适合运筹学、管理科学、工业工程、应用数学以及计算机科学等领域的高年级本科生、研究生及相关领域的专业人士阅读和参考。

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这本书的排版和习题设计简直是为自学者量身定做的“试金石”。我通常很讨厌教科书里那些附带的练习题，很多时候只是简单地重复概念。但这本书的练习题明显经过了精心设计，它们的目的性极强。有些题目直接考察对核心概念的理解深度，要求用自己的语言解释某个算法的内在逻辑；而另一些则是需要实际操作的建模题，模拟了供应链管理、资源分配等复杂的现实场景。我发现，如果不能完全掌握某一章节的理论，那么相应的习题几乎是不可能完成的，这迫使我必须真正吸收知识，而不是敷衍了事。更值得称赞的是，书中附带的某些章节后面有专门的“扩展阅读”建议，虽然没有直接提供答案，但指引方向非常明确，鼓励读者去探索更前沿的研究动态，比如随机规划或者整数规划的入门概念。这种引导式的学习体验，极大地激发了我继续深挖下去的兴趣。

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这本书的封面设计得相当朴实，甚至有些复古，这让我一开始有些犹豫。但翻开第一页，那种扑面而来的严谨感和逻辑性立刻抓住了我。作者显然对这门学科有着深刻的理解，文字的组织极其有条理，从最基础的松弛变量讲起，循序渐进地构建起整个线性规划的理论框架。我尤其欣赏它在推导过程中毫不含糊的态度，每一个公式的引入都有清晰的数学依据，没有那种为了追求简洁而牺牲清晰度的做法。对于一个初次接触优化理论的读者来说，这本书提供了一个非常坚实的基石。它不像某些教材那样堆砌复杂的数学符号，而是花了大量篇幅去解释背后的几何直觉和现实意义，这对于我理解单纯形法的工作原理至关重要。书中对对偶性的阐述尤其精彩，作者用生动的案例将原本抽象的理论具象化，让我真正明白了“影子价格”在决策制定中的实际价值。读完前几章，我感觉自己对“可行域”和“最优解”的理解上升到了一个新的高度，不再是死记硬背定义，而是真正理解了它们在多维空间中的动态关系。

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我是在一个非常紧张的项目期限内接触到这本书的，坦白说，一开始我抱着“快速查阅手册”的心态来翻阅它。然而，我很快发现，这本书远非一本可以轻易跳读的参考书。它的深度令人敬畏。当涉及到大规模问题的求解算法时，比如内点法，作者并没有简单地罗列步骤，而是深入探讨了这些算法的收敛性分析和计算复杂性。我花了整整一个下午的时间来消化关于KKT条件的章节，作者对这些非线性优化工具在特殊情况下的应用边界做了非常精妙的讨论。更让我印象深刻的是，书中穿插了一些历史性的注脚，提到了早期求解者在计算精度和效率上面临的挑战，这使得阅读过程充满了对前辈数学家的敬意。虽然阅读起来需要高度集中注意力，甚至需要配合纸笔进行演算，但每一次攻克一个难点，那种豁然开朗的感觉是无可替代的。它更像是一本邀请你一同探索数学前沿的学术著作，而不是一本单纯的教学材料。

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如果说这本书有什么让我觉得“挑战性”大于“易读性”的地方，那可能就是它对基本代数工具的预设要求了。它似乎完全假设读者已经牢固掌握了线性代数中关于矩阵分解、特征值和特征向量的知识，并且对凸分析有基本的认识。在讲解Simplex算法的表格操作时，如果对矩阵求逆和行变换不熟悉，确实会感到吃力。这种处理方式的两面性也很明显：一方面，它保证了后续内容的流畅和深度，没有被基础知识的重复讲解所拖累；另一方面，对于背景知识稍弱的读者来说，可能需要额外花费大量时间去补习先决条件。我个人认为，这本书更适合那些已经有一定数学基础，希望将线性规划理论提升到专业应用水平的在读研究生或初级工程师。它不是一本为“扫盲”而写的书，而是一本力求“精通”的工具书。

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我很少会为一个纯粹的数学应用领域的书籍写评价，但这本书的内容组织结构给我留下了深刻的印象。作者在处理“敏感性分析”这一部分时，采用了一种非常直观的叙事方式。他没有直接抛出如何计算最优基的变化，而是先从企业管理层提出一系列“What if”的问题开始：如果原材料成本上涨10%，我们的利润会如何变化？如果工人数量增加一个，我们能多生产多少？通过这种自上而下的提问方式，成功地将抽象的对偶变量解释成了商业决策中可以量化的指标。这种将数学工具与实际商业逻辑无缝结合的写作风格，让这本书的实用价值得到了极大的提升。它不再是高悬于殿堂之上的理论，而是可以立即在办公桌上被采纳和验证的决策支持体系的一部分。这种对应用场景的精妙把握，是很多偏重理论的教材所缺乏的宝贵特质。

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