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出版者:Springer

作者:J.W. Thomas

出品人:

页数:437

译者:

出版时间:1998-11-06

价格:USD 69.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387979991

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 偏微分方程
• 有限差分法
• Pde
• C-PDE
• B-数学
• A-non-fiction
• 数值分析
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• 计算数学
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• 科学计算
• 微分方程求解
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• 工程应用
• MATLAB实现

《现代数学分析导论》 本书旨在为读者提供一个严谨而全面的现代数学分析的入门。我们深入探讨了数学分析的核心概念，从实数系的构造开始，逐步构建起函数、极限、连续性、微分和积分的理论框架。本书的侧重点在于理解这些概念的内在逻辑和证明技巧，而非仅仅罗列公式。 核心内容概述： 实数系统： 我们将从构建实数系开始，深入理解其完备性、有序性以及小数展开的性质。这将为后续所有分析理论奠定坚实的基础。您将了解康托尔三分集等构造性示例，以及它们如何揭示实数集的复杂性。 序列与收敛： 本书详细阐述了数列的收敛性，包括柯西序列的概念、收敛判别法（如单调有界定理、比值判别法、根值判别法）以及它们的证明。我们还将探讨发散数列的性质，以及无穷序列的极限行为。 函数极限与连续性： 函数的极限是分析学中的关键概念。我们将深入讨论 $epsilon-delta$ 定义，并以此为基础讲解函数的连续性、一致连续性以及间断点的分类。您将学习到如何严格证明函数的连续性，并理解其在微积分中的重要作用。 微分学： 本书全面覆盖了单变量函数的微分概念，包括导数的定义、求导法则、高阶导数以及中值定理（如罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）。我们将深入探讨泰勒展开及其在近似和误差分析中的应用。 积分学： 我们将引入黎曼积分的概念，并详细讨论其性质、基本定理以及积分的计算方法。此外，本书还将触及更广义的积分概念，如反常积分，并探讨其收敛性判别。 级数： 函数项级数和幂级数是现代分析的重要组成部分。我们将详细研究级数的收敛性，包括阿贝尔判别法、迪里赫雷判别法等，并深入探讨幂级数的性质，如收敛域、和函数的解析性以及与微分方程的关系。 度量空间（选讲）： 为了提供一个更广阔的视角，本书的最后部分将初步介绍度量空间的概念。这将为读者理解更抽象的拓扑空间和泛函分析打下基础，并展示分析学在更广泛数学领域中的应用。 本书特色： 严谨的证明： 本书强调理论的严谨性，每一项重要结论都配有清晰、详尽的证明。读者将通过学习这些证明，掌握分析学的基本思维方式和证明技巧。 丰富的例题与习题： 为了帮助读者巩固理解，书中包含了大量的例题，这些例题涵盖了从基本概念到复杂应用的各个层面。每章后都配有精心设计的习题，难度适中，旨在检验读者对知识的掌握程度，并鼓励独立思考。 历史背景与直观解释： 在介绍关键概念时，本书会适当地穿插一些历史发展的背景，帮助读者理解这些概念的起源和演变。同时，我们也会提供直观的几何或物理解释，以辅助抽象概念的理解。 数学建模的初步涉猎： 尽管本书主要聚焦于理论分析，但在讲解某些概念（如微分和积分）时，也会适当地提及它们在描述物理现象和建立数学模型中的作用，以激发读者对应用数学的兴趣。 适用读者： 本书适合于数学、物理、工程及其他相关学科的研究生以及高年级本科生。对于希望深入理解数学分析基础，并为进一步学习高等数学、微分方程、数值分析等课程打下坚实基础的读者而言，本书将是理想的选择。 通过研读本书，读者将不仅掌握数学分析的精髓，更能培养严谨的逻辑思维能力和扎实的数学功底，为未来的学术研究和职业发展奠定坚实基础。

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从书名《Numerical Partial Differential Equations》就能看出，这本书直击我学习的痛点。作为一名正在进行计算力学研究的学生，我常常需要将复杂的物理模型转化为计算机可以处理的算法。我非常期待这本书能够提供一套系统性的框架，让我能够深入理解并掌握各种数值偏微分方程的求解方法。我特别看重书中对不同离散化技术的详细介绍和比较。例如，有限差分法（FDM）如何通过泰勒展开来近似导数，其稳定性条件（如CFL条件）的推导，以及它在处理简单几何时的便捷性。有限元法（FEM）如何通过将求解域分解为小的单元，并使用形函数来逼近解，以及其在处理复杂边界和非均匀材料属性方面的优势。有限体积法（FVM）如何通过对控制体积进行积分来保证物理量的守恒，这在流体力学等领域尤为重要。我希望书中能够对这些方法的优缺点、适用范围以及在实际应用中的注意事项进行深入的分析。此外，求解由此产生的稀疏代数方程组也是计算的关键，我希望书中能提供各种迭代求解器（如共轭梯度法、GMRES）的详细介绍，包括它们的收敛性和预条件子的作用。对于非线性问题，我期望书中能有关于Newton-Raphson方法等迭代求解技术的介绍。最后，我非常关心书中关于误差分析和收敛性证明的部分，希望能够了解如何量化数值解的精度，以及如何确保数值解的可靠性。

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这本书的书名《Numerical Partial Differential Equations》非常直接地指出了它的核心内容，也正是我目前学习和研究中最迫切需要掌握的领域。我希望这本书能够提供一个全面的视角，涵盖从基础的离散化方法到高级的求解技术。我非常看重书中对不同数值方法的比较和分析，例如，有限差分法（FDM）的简洁性以及在处理简单问题时的效率，有限元法（FEM）在处理复杂几何形状和各种边界条件方面的强大能力，以及有限体积法（FVM）在守恒律问题中的优势。我希望书中能够详细阐述每种方法的推导过程，包括如何进行单元划分、选择形函数、构建离散方程，以及如何处理边界和初始条件。除了离散化方法本身，我更关注如何高效地求解由此产生的代数方程组。我希望书中能够深入介绍各种迭代求解器，例如Jacobi、Gauss-Seidel、共轭梯度（CG）、预条件共轭梯度（PCG）、广义最小残差法（GMRES）等，并详细解释它们的收敛准则和适用范围。预条件子技术，如不完全LU分解（ILU）、代数多重网格（AMG）等，对于提高大规模稀疏系统的求解效率至关重要，我非常期待书中能提供这方面的深入讲解和比较。此外，对于瞬态问题的求解，我希望书中能详细介绍各种时间积分方法，如欧拉法、Crank-Nicolson法，并分析它们的稳定性、精度以及在不同问题类型中的表现。如果书中还能包含一些关于自适应网格细化（AMR）和并行计算的内容，那将是极大的帮助。

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我对《Numerical Partial Differential Equations》这本书的期待，更多地源于我目前在研究项目中遇到的实际困难。我们经常需要模拟一些具有复杂几何形状和非均匀物理性质的系统，而这些问题的数学描述正是偏微分方程。我急切地希望这本书能够提供一套清晰、系统且实用的数值方法，帮助我克服这些挑战。我希望书中能够详细介绍各种离散化技术，并对它们的适用性进行深入分析。例如，关于有限元法（FEM），我希望看到它如何处理不规则的几何域，如何通过细分网格来提高精度，以及如何有效地处理边界条件，特别是那些复杂或非线性的边界条件。对于有限差分法（FDM），虽然它在简单几何上很方便，但我希望书中能介绍如何将其推广到复杂几何，例如通过坐标变换或局部网格加密。有限体积法（FVM）在守恒性方面的优势，尤其是在处理流体和多相流问题时，也是我非常关注的，我希望了解其在网格划分和通量计算方面的具体技巧。此外，对于瞬态问题，我非常关心书中关于时间积分方法的论述，比如显式方法（如欧拉法）和隐式方法（如向后欧拉法、Crank-Nicolson法）的稳定性、精度和计算成本之间的权衡。对于非线性偏微分方程，我希望书中能提供高效的求解策略，例如Newton-Raphson方法及其相关的收敛性分析。最后，我希望书中能够提供一些关于算法实现和软件应用的指导，例如如何使用现有的数值库（如PETSc, Trilinos）来解决实际问题，以及如何进行性能优化和误差分析，这些都将极大地提升我的工作效率和研究成果的可靠性。

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在我的研究生涯中，我常常面临着需要解决复杂的物理现象，而这些现象的数学描述往往是偏微分方程。 《Numerical Partial Differential Equations》这本书，单从名字上，就给我一种直击核心的感觉。我期待它能够提供一个系统性的框架，让我能够理解如何将这些抽象的数学模型转化为计算机可以理解和求解的算法。我非常看重这本书在介绍数值方法时的严谨性和全面性。例如，对于有限差分法，我希望看到其基本原理，不同阶数的差分格式，以及它们各自的截断误差分析和稳定性条件（如CFL条件）。对于有限元法，我期待深入了解其弱形式的推导，基函数的选择，以及单元刚度矩阵和载荷向量的构建。关于有限体积法，我希望看到它在离散化方程时如何处理通量，以及它在守恒律问题上的优势。除了这些基础的离散化方法，我也对一些更高级的主题感兴趣，比如处理非结构化网格、高维问题、或者非常规的边界条件。书中是否会探讨如何选择合适的数值方法来应对特定的问题类型？例如，对于抛物型方程（如热传导），时间积分方法的选择（显式、隐式、Crank-Nicolson）对稳定性和精度有何影响？对于双曲型方程（如波方程），如何避免数值耗散和相速度误差？对于椭圆型方程（如泊松方程），如何高效地求解大型稀疏线性系统，以及预条件子的作用？书中是否还会涉及自适应网格细化（AMR）等技术，以便在计算资源有限的情况下获得更高的精度？我希望这本书不仅仅是算法的罗列，更能提供关于算法选择、稳定性分析、误差估计和数值优化的深刻见解，让我能够真正地“玩转”NPDEs。

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这本书的名字是《Numerical Partial Differential Equations》，拿到这本书的时候，我的内心是充满期待的。作为一名正在攻读应用数学博士的学生，数值偏微分方程（NPDEs）是我研究的核心领域之一。我知道，在这个充满挑战的领域，能够找到一本既有深度又不失清晰度的教材是多么难得。从书的封面上，我感受到了它对严谨性的追求，没有花哨的设计，只有扎实的学术风格。我最关心的是这本书在数值方法上的介绍是否全面，是否涵盖了当前研究的前沿技术，比如一些更现代的离散化方法，如谱方法、无网格方法（meshless methods）或者一些基于机器学习的数值解法。我希望这本书不仅能提供经典方法的详细推导，更能引导读者理解这些方法的优缺点、适用范围以及在实际问题中的应用。特别地，我希望能看到关于如何处理复杂几何形状、非均匀网格、高维问题以及如何保证数值解的稳定性和精度等方面的深入讨论。一本好的NPDEs教材，不仅仅是算法的堆砌，更应该包含对数学原理的深刻剖析，以及对计算效率和稳定性的权衡。同时，我非常期待这本书能在离散化误差、收敛性分析以及误差估计等方面提供清晰的理论框架和实用的技巧。例如，对于有限差分法，我希望看到不同阶数的差分格式的推导及其截断误差分析；对于有限元法，我希望看到基于变分原理的离散化过程，以及与 Sobolev 空间相关的理论基础，还有关于网格细化和自适应网格生成的策略。对于有限体积法，我希望看到它在守恒律问题中的优势，以及界面处理的技巧。此外，处理非线性方程组的迭代求解方法，如牛顿法及其变种，以及预条件子技术（preconditioners）在加速收敛方面的作用，也是我非常感兴趣的部分。这本书是否能为我在处理实际科研问题时提供坚实的基础和有力的工具，是我最期待看到的部分。

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坦白说，我对《Numerical Partial Differential Equations》这本书最初的吸引力来自于其对“数值”和“偏微分方程”这两个强大概念的结合。在我的学术背景中，虽然我接触过一些偏微分方程的理论，但对于如何将其转化为可计算的数值解，我一直感到有些力不从心。我希望这本书能够弥合理论与实践之间的鸿沟。我尤其关注书中是否会详细介绍各种离散化技术，并对其进行深入的比较分析。例如，有限差分法（FDM）的稳定性条件和收敛性证明，以及它在处理简单几何形状时的便捷性。有限元法（FEM）是如何通过将求解域划分为小单元来近似复杂几何形状的，以及其在处理边界条件和材料属性变化方面的灵活性。有限体积法（FVM）在保证物理量的守恒性方面的优势，尤其是在流体力学等领域。我还希望书中能够深入探讨求解离散化方程组的方法。从直接求解器（如LU分解、Cholesky分解）到迭代求解器（如Jacobi、Gauss-Seidel、共轭梯度、GMRES），以及它们在不同问题规模和矩阵特性下的适用性。预条件子（preconditioners）的引入，如Jacobi预条件子、SSOR预条件子、或更复杂的代数多重网格（AMG）方法，对于加速大规模稀疏线性系统的收敛速度至关重要，我希望书中能提供这些内容的详尽解释和比较。此外，我非常希望看到关于误差分析的章节，包括截断误差、离散化误差、舍入误差，以及如何控制和估计这些误差，以保证数值解的可靠性。如果书中还能包含一些关于现代NPDEs研究领域的内容，比如自适应网格细化（adaptive mesh refinement, AMR）策略，以在解的关键区域提高精度，或者一些基于机器学习的数值方法，那将是锦上添花了。

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作为一名长期在工程领域从事计算模拟的工程师，我总是渴望找到能够帮助我更深入理解和应用数值方法解决实际工程问题的资源。《Numerical Partial Differential Equations》这本书，从书名来看，似乎正是我的“救星”。我从事的工作常常需要模拟热传导、流体动力学、结构力学以及电磁场等现象，这些都离不开对偏微分方程的数值求解。我非常希望这本书能够提供一系列实用且高效的数值算法，并且能够解释这些算法背后的数学原理，这样我才能真正理解它们为何有效，以及在什么情况下需要进行调整。具体来说，我对有限元方法（FEM）在处理复杂边界条件和非均匀材料属性方面的应用很感兴趣。我希望能看到关于如何构建单元、如何进行形函数插值、以及如何应用变分原理推导出弱形式和离散方程的详细步骤。同时，对于大型线性或非线性方程组的求解，书中是否会介绍高效的迭代求解器，例如共轭梯度法（CG）、广义最小残差法（GMRES）以及相关的预条件子技术？这些技术对于处理大规模工程问题至关重要。另外，我非常关注书中是否会涉及时间积分方法，例如向前欧拉法、向后欧拉法、Crank-Nicolson方法等，以及它们在处理瞬态问题时的稳定性、精度和计算成本之间的权衡。对于一些高度非线性的问题，比如非牛顿流体或材料的塑性行为，书中是否会提供相应的数值策略，例如Picard迭代或Newton-Raphson迭代？更进一步，我希望书中能提供一些实际算例，展示如何将这些数值方法应用于具体的工程问题，比如桥梁的应力分析、航空发动机的传热模拟、或者电磁波的传播预测，并且能指导我如何使用软件库（如PETSc, FEniCS,或者MATLAB的PDE Toolbox）来实现这些方法。

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作为一名对计算科学充满热情的研究者，我一直在寻找能够深化我对数学工具理解的书籍。《Numerical Partial Differential Equations》这本书，我期望它能为我打开一扇通往精确数值模拟世界的大门。我特别关注书中对于不同数值方法的原理性介绍，以及它们在实际应用中的优劣势分析。例如，我希望它能够详细阐述有限差分法（FDM）的背景，包括如何通过泰勒展开来近似导数，不同阶数的差分格式（中心差分、向前差分、向后差分）的构造，以及它们各自的截断误差和稳定性分析。对于有限元法（FEM），我期待能深入理解其基于变分原理的离散化过程，如何定义弱形式，选择合适的试函数和形函数，以及组装全局刚度矩阵和载荷向量的流程。同时，我对于有限体积法（FVM）在处理流体力学等守恒律问题时的独到之处也很感兴趣，希望能够了解其在界面上的通量计算以及如何保证守恒性。此外，求解离散化后的代数方程组是NPDEs计算的关键步骤，我希望书中能够涵盖各种线性方程组的求解方法，从直接法（如高斯消元、LU分解）到迭代法（如Jacobi、Gauss-Seidel、共轭梯度、GMRES），并深入分析它们的收敛速度和适用性。预条件子（preconditioners）技术，如代数多重网格（AMG）和不完全LU分解（ILU），对于加速大规模稀疏系统的收敛至关重要，我非常希望书中能提供详细的介绍和比较。最后，我非常关注误差分析和收敛性证明的部分，了解如何量化数值解的精度，以及如何保证数值解的可靠性，这对于科学研究和工程应用都至关重要。

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我拿到《Numerical Partial Differential Equations》这本书时，内心是既兴奋又审慎的。作为一名计算物理专业的学生，我深知掌握数值方法的重要性，尤其是在面对那些解析解难以求得的复杂物理系统时。我特别希望这本书能提供清晰的算法介绍和严谨的数学推导。例如，对于有限差分法（FDM），我希望看到它如何被用来近似微分方程中的导数，不同阶数差分格式的精度如何，以及在处理非均匀网格时的技巧。对于有限元法（FEM），我非常感兴趣它如何通过将连续域划分为小的、简单的单元来近似复杂几何，以及如何通过选择合适的基函数和加权函数来推导出离散方程。我期待能深入理解其弱形式的构建，以及如何在单元层面构建和组装全局刚度矩阵和载荷向量。有限体积法（FVM）在守恒性方面的独特性，尤其是在流体力学和传热学中，也让我非常期待。我希望了解它如何通过离散化控制容积上的积分形式来保证物理量的守恒。除了这些离散化技术，我更关注如何高效地求解由此产生的代数方程组。我希望书中能够详细介绍各种迭代求解方法，例如共轭梯度法（CG）、GMRES等，以及它们各自的收敛特性。预条件子的作用，如代数多重网格（AMG）等，对于加速求解是不可或缺的，我希望书中能提供这方面的深入讲解。最后，我希望书中能够包含关于误差分析的内容，例如如何估计截断误差和离散化误差，以及如何保证数值解的可靠性。

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我是一名对理论推导和数学严谨性有很高要求的学生，因此，《Numerical Partial Differential Equations》这本书对我来说，不仅仅是学习数值方法的工具，更是理解其背后数学原理的钥匙。我非常期待书中能够对主要的数值方法，如有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和有限体积法（FVM）进行深入的理论分析。对于FDM，我希望看到关于其离散化误差的严格推导，以及如何通过提高差分阶数来提高精度。更重要的是，我希望深入理解其稳定性条件，例如通过冯·诺依曼（von Neumann）稳定性分析来理解CFL条件，以及不同差分格式对稳定性的影响。对于FEM，我期待看到其理论基础，例如泛函分析（Sobolev空间）在定义弱形式和证明收敛性中的作用。如何构建插值基函数（如Lagrange基函数、Hermite基函数），以及它们对精度和连续性的影响。关于FVM，我希望看到其在守恒性和通量处理方面的数学基础，以及如何处理非结构化网格。此外，我非常关注书中关于求解大型线性系统的理论。从理论上讲，我希望理解迭代方法的收敛性分析，例如共轭梯度法的最速下降性质，GMRES的投影性质，以及预条件子的理论基础，例如如何通过改变矩阵的条件数来加速收敛。对于非线性问题，我希望看到Newton方法的收敛性分析，以及如何处理大步长问题。如果书中还能提供关于错误估计的理论框架，例如通过残差分析或A-posteriori误差估计来量化数值解的精度，那将是极大的加分项。

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基本思想就是用有限差分近似偏微分。最好能一边看一边用MATLAB做点实例

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