目录
第一篇　复变函数论
第1章　复数与复变函数2
1.1　复数概念及其运算3
1.1.1　复数概念3
1.1.2　复数的基本代数运算4
1.2　复数的表示4
1.2.1　复数的几何表示4
1.2.2　复数的三角表示5
1.2.3　复数的指数表示6
1.2.4　共轭复数6
1.2.5　复球面、无穷远点7
1.3　复数的乘幂与方根8
1.3.1　复数的乘幂8
1.3.2　复数的方根9
1.3.3　实践编程：正17边形的几何作图法10
1.4　区域11
1.4.1　基本概念11
1.4.2　区域的判断方法及实例分析13
1.5　复变函数14
1.5.1　复变函数概念14
1.5.2　复变函数的几何意义———映射15
1.6　复变函数的极限16
1.6.1　复变函数极限概念16
1.6.2　复变函数极限的基本定理16
1.7　复变函数的连续17
1.7.1　复变函数连续的概念17
1.7.2　复变函数连续的基本定理18
1.8　典型综合实例18
小结23
习题24
计算机仿真编程实践25
第2章　解析函数27
2.1　复变函数导数与微分27
2.1.1　复变函数的导数27
2.1.2　复变函数的微分概念29
2.1.3　可导的必要条件29
2.1.4　可导的充分必要条件31
2.1.5　求导法则32
2.1.6　复变函数导数的几何意义33
2.2　解析函数34
2.2.1　解析函数的概念34
2.2.2　解析函数的法则35
2.2.3　函数解析的充分必要条件35
2.2.4　解析函数的几何意义（映射的保角性） 38
2.3　初等解析函数39
2.3.1　指数函数（单值函数） 39
2.3.2　对数函数———指数函数的反函数（多值函数） 40
2.3.3　三角函数（单值函数） 42
2.3.4　反三角函数（多值函数） 44
2.3.5　双曲函数（单值函数） 44
2.3.6　反双曲函数（多值函数） 45
2.3.7　整幂函数ｚｎ（单值函数） 46
2.3.8　一般幂函数与根式函数ｗ＝ｎ槡ｚ（多值函数） 46
2.3.9　多值函数的基本概念48
2.4　解析函数与调和函数的关系49
2.4.1　调和函数与共轭调和函数的概念49
2.4.2　解析函数与调和函数之间的关系50
2.4.3　解析函数的构建方法50
2.5　解析函数的物理意义———平面矢量场52
2.5.1　用解析函数表述平面矢量场52
2.5.2　静电场的复势52
2.6　典型综合实例54
小结57
习题57
计算机仿真编程实践58
第3章　复变函数的积分59
3.1　复变函数的积分59
3.1.1　复变函数积分的概念59
3.1.2　复积分存在的条件及计算方法60
3.1.3　复积分的基本性质60
3.1.4　复积分的计算典型实例61
3.1.5　复变函数环路积分的物理意义62
3.2　柯西积分定理及其应用63
3.2.1　柯西积分定理63
3.2.2　不定积分64
3.2.3　典型应用实例66
3.2.4　柯西积分定理（柯西?古萨定理）的物理意义66
3.3　基本定理的推广———复合闭路定理67
3.4　柯西积分公式70
3.4.1　有界区域的单连通柯西积分公式70
3.4.2　有界区域的复连通柯西积分公式71
3.4.3　无界区域的柯西积分公式72
3.5　柯西积分公式的几个重要推论74
3.5.1　解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 74
3.5.2　解析函数的平均值公式76
3.5.3　柯西不等式76
3.5.4　刘维尔定理76
3.5.5　莫勒纳定理77
3.5.6　最大模原理77
3.5.7　代数基本定理77
3.6　典型综合实例78
小结82
习题84
计算机仿真编程实践85
第4章　解析函数的幂级数表示86
4.1　复数项级数的基本概念86
4.1.1　复数项级数概念86
4.1.2　复数项级数的判断准则和定理86
4.2　复变函数项级数88
4.3　幂级数90
4.3.1　幂级数概念90
4.3.2　收敛圆与收敛半径91
4.3.3　收敛半径的求法92
4.4　解析函数的泰勒级数展开式94
4.4.1　泰勒级数95
4.4.2　将函数展开成泰勒级数的方法96
4.5　罗朗级数及展开方法97
4.5.1　罗朗级数97
4.5.2　罗朗级数展开方法实例99
4.5.3　用级数展开法计算闭合环路积分101
4.6　典型综合实例102
小结105
习题107
计算机仿真编程实践108
第5章　留数定理109
5.1　解析函数的孤立奇点109
5.1.1　孤立奇点概念109
5.1.2　孤立奇点的分类及其判断定理109
5.2　解析函数在无穷远点的性质113
5.3　留数概念114
5.4　留数定理与留数和定理116
5.5　留数的计算方法117
5.5.1　有限远点留数的计算方法117
5.5.2　无穷远点的留数计算方法119
5.6　用留数定理计算实积分120
5.6.1　∫2π0 Ｒ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）ｄθ型积分121
5.6.2　∫＋∞－∞Ｐ（ｘ） Ｑ（ｘ）ｄｘ型积分122
5.6.3　∫＋∞－∞ ｆ（ｘ）ｅｉａｘｄｘ（ａ＞0）型积分124
5.6.4　其他类型（积分路径上有奇点）的积分计算举例126
5.7　典型综合实例128
小结131
习题133
计算机仿真编程实践134
第6章　保角映射135
6.1　保角映射的概念135
6.2　分式线性映射136
6.2.1　分式线性映射的概念136
6.2.2　两种基本映射137
6.2.3　分式线性映射的性质138
6.2.4　分式线性映射的确定及应用139
6.2.5　三类典型的分式线性映射142
6.3　几个初等函数所构成的映射145
6.3.1　幂函数映射145
6.3.2　指数函数ｗ＝ｅｚ映射146
6.3.3　儒可夫斯基函数映射147
6.4　典型综合实例148
小结150
习题152
计算机仿真编程实践153
第一篇复变函数论全篇总结框图153
第一篇综合测试题15
第7章　数学建模———数学物理定解问题156
7.1　数学建模———波动方程类型的建立158
7.1.1　波动方程的建立158
7.1.2　波动方程的定解条件164
7.2　数学建模———热传导方程类型的建立165
7.2.1　数学物理方程———热传导类型方程的建立165
7.2.2　热传导（或扩散）方程的定解条件168
7.3　数学建模———稳定场方程类型的建立169
7.3.1　稳定场方程类型的建立169
7.3.2　泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件170
7.4　数学物理定解理论171
7.4.1　定解条件和定解问题的提法171
7.4.2　数学物理定解问题的适定性172
7.4.3　数学物理定解问题的求解方法172
7.5　典型综合实例172
小结175
习题175
计算机仿真编程实践176
第8章　二阶线性偏微分方程的分类177
8.1　基本概念177
8.2　数学物理方程的分类178
8.3　二阶线性偏微分方程标准化181
8.4　二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简183
8.5　线性偏微分方程解的特征185
8.6　典型综合实例185
小结186
习题187
计算机仿真编程实践187
第9章　行波法与达朗贝尔公式188
9.1　二阶线性偏微分方程的通解188
9.2　二阶线性偏微分方程的行波解189
9．3　达朗贝尔公式190
9.3.1　一维波动方程的达朗贝尔公式190
9.3.2　达朗贝尔公式的物理意义191
9.4　达朗贝尔公式的应用191
9.4.1　齐次偏微分方程求解191
9.4.2　非齐次偏微分方程的求解194
9.5　定解问题的适定性验证195
9.6　典型综合实例196
小结198
习题199
计算机仿真编程实践200
第10章　分离变量法201
10.1　分离变量理论201
10.1.1　偏微分方程变量分离及条件201
10.1.2　边界条件可实施变量分离的条件202
10.2　直角坐标系下的分离变量法202
10.2.1　分离变量法介绍202
10.2.2　解的物理意义205
10.2.3　三维形式的直角坐标分离变量206
10.2.4　直角坐标系分离变量例题分析207
10．3　二维极坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法210
10.4　球坐标系下的分离变量法213
10.4.1　拉普拉斯方程Δｕ＝0的分离变量（与时间无关） 213
10.4.2　与时间有关的方程的分离变量215
10.4.3　亥姆霍兹方程的分离变量216
10.5　柱坐标系下的分离变量216
10.5.1　与时间无关的拉普拉斯方程分离变量216
10.5.2　与时间相关的方程的分离变量218
10.6　非齐次二阶线性偏微分方程的解法219
10.6.1　泊松方程非齐次方程的特解法219
10.6.2　非齐次偏微分方程的傅里叶级数解法221
10.7　非齐次边界条件的处理222
10.8　典型综合实例224
小结228
习题230
计算机仿真编程实践232
第11章　幂级数解法———本征值问题233
11.1　二阶常微分方程的幂级数解法233
11.1.1　幂级数解法理论概述233
· · · · · · (收起)