第5届希望杯全国数学邀请赛试题培训题解答 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:气象

作者:周国镇

出品人:

页数:189

译者:

出版时间:2007-7

价格:11.00元

装帧:

isbn号码:9787502943431

丛书系列:

图书标签:

• 希望杯
• 数学竞赛
• 小学数学
• 初中数学
• 竞赛辅导
• 试题解析
• 数学培训
• 奥数
• 五年级
• 六年级

经典数学思维的深度探索与实践：《数学思维训练与奥赛真题解析》 书籍定位： 本书并非特定届次奥赛的考题汇编与解析，而是聚焦于构建坚实的数学基础、培养卓越的逻辑推理能力以及掌握高级解题策略的综合性训练手册。它旨在为所有对数学竞赛抱有浓厚兴趣、希望系统提升自身数学素养的学生和教育工作者提供一份全面且深入的资源。 核心内容模块： 第一部分：数学基础概念的再审视与深化 本部分着重于对中学数学核心知识点进行高阶维度的剖析，超越课本的常规讲解深度，挖掘其背后的数学原理与美学。 1. 集合论与逻辑基础的严谨性训练： 超越基础定义： 深入探讨集合的拓扑性质、序关系、以及在不同代数结构中的映射关系。 命题逻辑与谓词逻辑的实际应用： 如何使用逻辑推理工具来构建严密的数学证明，避免常见的逻辑谬误。重点分析量词的嵌套使用及其在数论和函数定义中的关键作用。 2. 代数结构的高级视角： 多项式理论的深度挖掘： 不仅限于因式分解和求根，更关注多项式的环论性质，如整除性、带余除法在复杂方程组中的应用，以及与复变函数初步概念的连接。 不等式理论的系统构建： 按照“构造法、代入法、反演法”等不同解题思维进行分类，系统讲解均值不等式（AM-GM）、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）的多种变体及其在极值问题中的普适性应用。 3. 函数与微积分思想的预备： 函数性质的精细化分析： 侧重于单调性、凹凸性、周期性、对称性等性质在复杂函数图像构建和证明中的应用。 极限思想的非正式引入： 在不依赖严格 $epsilon-delta$ 定义的前提下，通过数列极限和函数逼近的思想，为后续微积分学习奠定直觉基础，特别是在处理数列的收敛性判断上。 第二部分：核心竞赛领域专题突破 本部分是本书的重点，针对数学竞赛中的几个传统且高频的考查领域，提供精选的、具有代表性的例题和突破性技巧。 1. 数论：整除性的艺术与密码学基础 同余理论的深化应用： 详细解析中国剩余定理（CRT）在解决多元线性同余方程组中的灵活运用。 丢番图方程的解析： 聚焦于一阶和二阶线性丢番图方程的求解策略，以及如何利用费马大定理的背景知识来判断特定方程的整数解是否存在。 素数分布与数论函数： 介绍欧拉 $phi$ 函数、莫比乌斯 $mu$ 函数的性质，并探讨其在简化连分数和涉及素数计数问题中的实际效果。 2. 几何：从欧几里得到解析的桥梁 平面几何的综合技巧： 强调“辅助线”的构造哲学，分类讨论割补法、旋转法、反演法在证明复杂角度关系和线段比例关系中的效力。 圆锥曲线的性质聚焦： 不仅是标准方程的运用，更深入探讨椭圆、双曲线的焦点性质、通径性质，以及其与切线、极点、极线之间的深刻联系。 向量与坐标法的融合： 展示如何运用向量的内积、外积（在三维空间中）来优雅地解决涉及角度和面积的立体几何问题，实现几何直观与代数计算的完美结合。 3. 组合数学：计数法的精妙与概率模型构建 生成函数（Generating Functions）的威力： 详细讲解如何利用生成函数建立指数型和普通型生成函数，求解线性递推关系和特定组合计数问题。 容斥原理的实战演练： 针对“至少”、“恰好”等模糊描述的问题，提供多层次容斥原理的应用框架，并分析其在集合覆盖问题中的模型构建。 图论基础与路径计数： 引入基础图论概念（连通性、欧拉路径、哈密顿回路），并结合计数原理解决路径、着色等实际问题。 第三部分：高级解题策略与思维转换训练 本部分旨在提升学习者的应试心理素质和解题效率，将知识点转化为解决问题的能力。 1. 逆向思维与构造性证明训练： 反证法与构造法的辩证统一： 探讨何时应选择假设不存在（反证），何时应直接构建满足条件的实例（构造）。特别关注“反向构造”在证明存在性问题中的作用。 特殊化与推广： 如何通过选取最简单、最特殊的情况（如 $n=1, 2$ 或取特殊值）来探索问题的一般规律，并检验猜想。 2. 复杂问题的分解与建模： 问题降维处理： 训练将高维、复杂的问题转化为一维、低维的子问题，逐步积累，最终求解。 数学建模的初步尝试： 引导读者识别现实问题（或看似非数学的问题）中的数学元素，并将其转化为代数方程、几何模型或概率模型。 3. 竞赛时间管理与规范化表达： 速度与准确性的平衡： 针对不同分值的题目，建议合理分配时间，以及如何快速判断题目难度。 规范化书写的重要性： 强调数学证明的严谨性与逻辑清晰度，如何让裁判清晰地追踪解题思路，确保步骤得分最大化。 本书特色总结： 本书的价值在于其内容的体系性和深度性。它不是对某一考试的短期应试准备，而是旨在系统性地重塑学习者对数学学科的理解框架。通过对经典竞赛主题的深入挖掘和对高级解题哲学的阐述，本书将帮助读者建立起扎实的数学“内功”，从而能更从容、更有效地应对任何形式的数学挑战。它为那些渴望超越标准课程，真正领略数学之美与力量的学习者，提供了一份可珍藏的知识宝库和思维磨刀石。

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