Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:V.V. Kozlov

出品人:

页数:291

译者:

出版时间:1997-02-14

价格:USD 64.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540612247

丛书系列:

图书标签:

• 物理
• 数学物理
• 经典力学
• 天体力学
• 哈密顿力学
• 拉格朗日力学
• 常微分方程
• 泛函分析
• 变分法
• 动力系统
• 数学方法

宇宙的交响：经典与天体力学中的数学脉络 一部深入探索物理世界基础、横跨数世纪数学思想的宏伟著作 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，剖析在经典力学和天体力学这两大基石领域中，数学工具和理论框架是如何被构建、应用和发展的。我们不聚焦于具体的观测数据或已知的星图，而是将聚光灯投向那些定义了我们对运动、力和结构的理解的底层数学结构。 本书的结构精心设计，从最基础的微积分和微分方程出发，逐步攀升至更抽象、更强大的分析工具，展示数学如何成为理解自然界运作规律的通用语言。 --- 第一部分：基础的奠基——力学分析的数学框架 本部分着眼于十九世纪物理学和数学的黄金时代，那时牛顿和欧拉的遗产正被拉格朗日和哈密顿的洞察力所重塑。我们不再仅仅描述运动，而是通过能量和作用量来解释运动的“原因”。 第一章：欧几里得空间与矢量分析的几何直觉 我们从对运动状态最直观的描述开始：三维欧几里得空间中的点和向量。详细阐述矢量代数如何服务于力的合成与分解，以及如何利用张量（特别是二阶张量）来描述应力、惯性矩等物理量，这些是理解刚体动力学和连续介质力学的先决条件。内容涵盖了坐标变换下的正交矩阵行为，以及在非惯性系（如旋转坐标系）中引入科里奥利力和离心力的数学必要性。 第二章：变分原理与解析力学 这是本书的核心驱动力之一。我们将详细剖析变分法的精髓，重点介绍欧拉-拉格朗日方程的推导及其在物理学中的普适性。讨论拉格朗日量 $L = T - V$ 的构建艺术，其中 $T$ 是动能， $V$ 是势能。通过分析守恒量（如能量、动量）与拉格朗日量在坐标变换下的不变性之间的深刻联系——即诺特定理的经典应用——展示了对称性如何直接导向物理定律的守恒。此外，将探讨循环坐标在简化系统自由度方面的实际操作。 第三章：哈密顿力学的优雅与相空间 从拉格朗日力学到哈密顿力学是数学抽象的一次飞跃。本章深入探讨勒让德变换在理论构造中的作用，构建哈密顿量 $H = sum p_i dot{q}_i - L$。我们将系统地分析哈密顿正则方程 $dot{q}_i = partial H/partial p_i$ 和 $dot{p}_i = -partial H/partial q_i$，并引入泊松括号作为系统时间演化的基本算子，强调其与李群结构的内在联系。相空间的几何拓扑将在后续章节中得到更深入的应用。 --- 第二部分：系统动力学的分析工具 本部分聚焦于如何利用高级数学工具来求解和分析复杂系统的演化，尤其关注那些无法通过简单积分得到的非线性问题。 第四章：微扰理论与近似方法的艺术 在现实的物理系统中，精确解析解往往是奢侈品。本章系统地介绍了处理微小修正的方法。详细论述正则微扰法，用于求解接近于可解系统的动力学问题，并讨论奇异摄动（如边界层问题）的特殊处理技巧，这在流体力学和某些轨道修正计算中至关重要。我们将通过实例展示如何处理时间相关的微扰项，以及平均化方法（如庞加莱-林德施泰特法）在消除周期性项中的应用。 第五章：线性化、稳定性与李雅普诺夫方法 稳定性和演化趋势是理解物理系统的关键。本章从相平面分析入手，考察保守系统和耗散系统的一般行为。重点放在线性化技术，通过计算平衡点附近的雅可比矩阵来确定局部稳定性。随后，引入李雅普诺夫函数的概念，作为判断非线性系统全局稳定性的强大工具，这避免了对复杂非线性微分方程的显式求解。 第六章：典范变换与辛几何 哈密顿力学的核心美在于其辛结构。本章将深入探讨典范变换（Canonical Transformations）的理论，这些变换能够在不改变哈密顿方程基本形式（即保持泊松括号不变）的前提下，简化系统的坐标和动量表示。详细介绍母函数的构造和应用，以及如何利用这些变换来求解积分，最终引向对辛积分结构——一种更高维度的几何不变性——的理解。 --- 第三部分：应用于宏观运动的结构分析 在理解了基础工具后，本部分将目光投向广阔的宇宙和宏观的机械系统，展示数学理论如何解释行星、卫星和复杂机械的运动规律。 第七章：轨道动力学与开普勒问题的解构 我们将从二体问题的经典解开始，用矢量代数和积分常数（如角动量和能量）的几何意义来解释开普勒定律。重点分析轨道方程 $frac{d^2r}{dt^2} - frac{L^2}{m^2 r^3} = -frac{partial V}{partial r}$ 的解析解如何对应于圆锥曲线。此外，还将讨论如何利用拉普拉斯-龙格-冷佐数（Runge-Lenz vector）这一特殊守恒量，来从第一性原理推导出轨道的形状，这是对牛顿万有引力理论数学完备性的有力证明。 第八章：刚体动力学的欧拉方程与陀螺运动 刚体的运动涉及复杂的旋转动力学。本章详细推导描述刚体绕质心运动的欧拉运动方程，这些方程是三维张量形式下的非线性微分方程组。我们将分析欧拉角的局限性，转而使用更稳健的四元数来描述空间姿态。重点分析陀螺仪运动的数学特性，包括自由陀螺的章动（Nutation）和进动（Precession）的周期性解，展示了能量和角动量在刚体动力学中的不变性。 第九章：稳定性分析与受扰动轨道 真正的天体力学总是涉及多体相互作用和外界摄动。本章结合前文的微扰理论，探讨三体问题的定性解和限制性三体问题的特殊解（如拉格朗日点）。分析KAM理论（Kolmogorov-Arnold-Moser）的数学思想，虽然不进行严格证明，但将阐述其核心观点：在微弱摄动下，近乎周期的轨道会如何保持其结构，以及何时混沌可能出现。这为理解长期轨道稳定性提供了定性的数学框架。 --- 结语：从精确到概貌 本书在数学的严谨与物理的直觉之间架起了一座桥梁。它不满足于给出已知公式，而是致力于揭示这些公式背后的结构性数学原理——从对称性到不变性，从几何结构到分析工具。读者将获得驾驭复杂动力学系统的数学能力，理解经典理论在面对非线性挑战时所展现出的内在美与局限性，为探索更前沿的理论物理打下坚实的分析基础。

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