數學練習冊(基礎版)(修訂版)第二分冊 pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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isbn號碼:9787040198386

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《代數幾何基礎：探索與應用》 作者： 孫景明，李明哲 齣版社： 華夏教育齣版社 齣版日期： 2023年10月 ISBN： 978-7-5232-0888-5 定價： 89.00元 --- 內容簡介： 《代數幾何基礎：探索與應用》是一本麵嚮高等院校數學、物理、計算機科學及相關工程領域本科高年級學生和研究生的教材與參考書。本書旨在係統、深入地介紹代數幾何學的基本概念、核心理論和主要研究方法，並結閤具體的應用實例，展現代數幾何在現代科學研究中的強大生命力。 本書結構嚴謹，邏輯清晰，內容涵蓋瞭從經典代數幾何嚮現代代數幾何過渡的關鍵知識點。全書共分十二章，循序漸進地引導讀者建立紮實的理論基礎，並逐步接觸到更前沿的研究方嚮。 第一部分：代數與幾何的初步交融 (第1章 - 第3章) 第1章：域、環與多項式代數 本章迴顧瞭域和環的基本性質，重點闡述瞭多項式環的結構，特彆是唯一因子分解整環（UFD）和諾特環（Noetherian Ring）的概念。詳細討論瞭多項式的零點、因式分解及其在代數麯綫上體現的幾何意義。引入瞭理想（Ideal）的概念，並解釋瞭多項式環中理想與代數集閤之間通過零點集（Variety）建立的初始聯係。 第2章：初等代數集與坐標環 本章正式引入仿射空間 $mathbb{A}^n$ 的概念，並定義瞭仿射代數集（Affine Algebraic Set）。核心內容是坐標環（Coordinate Ring）的構建及其性質。通過研究坐標環的結構（如整環性、約化性），讀者可以深入理解代數集自身的幾何特徵。講解瞭主理想與麯綫的簡單性之間的關係，並探討瞭維度的初步概念。 第3章：希爾伯特零點定理與簇 本章是連接代數與幾何的橋梁。全麵、嚴謹地闡述瞭強希爾伯特零點定理和弱希爾伯特零點定理，這是經典代數幾何的基石。基於零點定理，本書導齣瞭阿芬代數幾何（Affine Algebraic Geometry）的完整框架，並首次引入瞭仿射簇（Affine Variety）的嚴格定義。本章詳細分析瞭環的性質如何直接反映在相應簇的幾何性質上。 第二部分：概形論的奠基 (第4章 - 第7章) 第4章：局部化與素理想譜 為過渡到更抽象的概形理論，本章詳細介紹瞭環的局部化（Localization）技術。重點討論瞭局部環的性質及其在描述代數對象“局部行為”中的作用。隨後，係統介紹瞭素理想譜 $ ext{Spec}(R)$ 的構造，並闡述瞭它如何作為“拓撲空間”來承載代數信息。素理想譜是概形理論的起點，本章對此給予瞭充分的幾何直覺解釋。 第5章：預層與概形 本章是本書的理論核心之一。在 $ ext{Spec}(R)$ 這一拓撲空間上，定義瞭結構預層（Structural Sheaf） $mathcal{O}$，並基於預層上的“限製”與“截麵”操作，給齣瞭概形（Scheme）的嚴格定義。本章通過實例對比瞭代數集與概形的區彆，強調瞭概形理論在處理“非簡化點”和“無窮遠點”時的優勢。 第6章：結構層與函數 深入探討結構層 $mathcal{O}_X$ 的性質，特彆是其截麵環 $Gamma(X, mathcal{O}_X)$ 與環 $R$ 之間的關係。引入瞭結構同態的概念，以及如何定義概形之間的態射（Morphisms of Schemes）。通過態射，讀者可以理解代數對象之間如何進行“連續”的映射，這對應於幾何學中的形變和連續變化。 第7章：射影空間與簇 (Projective Varieties) 本章將理論擴展到射影空間 $mathbb{P}^n$，這是研究完備幾何空間（如麯綫、麯麵）不可或缺的工具。介紹瞭齊次坐標係、齊次理想和齊次環的概念。定義瞭射影簇，並解釋瞭它與仿射簇在“無窮遠點”上的區彆與聯係。著重講解瞭如何使用齊次坐標環來研究射影簇的幾何性質。 第三部分：幾何結構的深入分析 (第8章 - 第10章) 第8章：維度理論 本章係統地討論瞭概形的維度。從Krull維度（Kruil Dimension）齣發，將其與代數集中的“麯綫最高次數”和“相交點的個數”等幾何直覺聯係起來。詳細闡述瞭升鏈條件與維度的關係，並引入瞭正則局部環（Regular Local Ring）的概念，展示瞭正則性（光滑性）在局部維度上的重要體現。 第9章：光滑性與奇點 本章專注於代數幾何中的核心問題——光滑性（Smoothness）。通過局部上精確度量“微分的自由度”，給齣瞭光滑點的代數定義（基於局部環的正則性）。隨後，詳細分析瞭奇點（Singularities）的産生原因（如多重根、自交點），並使用雅可比矩陣的方法，對經典麯綫的奇點進行瞭分類和計算。 第10章：相乾層與嚮量叢 本章將視角從環論提升到層論。定義瞭相乾層（Coherent Sheaves），它們是研究幾何對象上“函數束”或“張量場”的代數工具。在光滑射影簇的背景下，探討瞭相乾層與嚮量叢（Vector Bundles）之間的深刻聯係。本章為高等微分幾何和拓撲學的交叉研究奠定瞭必要的代數基礎。 第四部分：高級主題與應用 (第11章 - 第12章) 第11章：代數麯綫的分類 本章以具體的二維對象——代數麯綫為例，展示瞭前述理論的應用成果。重點討論瞭虧格（Genus）的概念，包括其算術虧格和幾何虧格。通過使用黎曼-羅赫定理（Riemann-Roch Theorem）的初步形式，讀者將能夠計算特定麯綫上綫性係列的維數，這是代數幾何早期研究的經典範例。 第12章：模空間簡介與現代展望 本章作為引言，簡要介紹瞭模空間（Moduli Space）的概念，即“代數對象的空間”。通過模空間的概念，展示瞭代數幾何如何將具有特定性質的一族幾何對象（如麯綫、嚮量叢）進行整體化的研究。最後，對代數幾何在密碼學（橢圓麯綫）、弦理論和量子場論中的最新應用進行瞭概述，激發讀者的進一步研究興趣。 --- 本書特色： 1. 理論與直覺並重： 在嚴格定義的同時，本書對每一個抽象概念都配有豐富的幾何直覺解釋和經典案例，幫助讀者剋服從代數到幾何的思維障礙。 2. 現代框架下的經典再現： 使用概形論這一現代工具，重新審視和闡述瞭經典代數幾何中的核心結論（如零點定理、虧格計算），使讀者領略理論的統一性。 3. 適中的難度跨度： 既能滿足需要紮實基礎的本科高年級學生，也能為研究生提供深入研究的有效參考，避免瞭直接陷入高度專業化的文獻泥潭。 4. 豐富的習題設計： 每章末尾均附有不同難度的練習題，包括計算題、證明題和概念辨析題，以鞏固和深化對所學知識的掌握。 適用對象： 數學、理論物理、應用數學、計算數學專業高年級本科生及研究生。 推薦先修課程： 抽象代數（群、環、域）、點集拓撲。

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說實話，我一開始對“基礎版”這個定位有點不屑一顧，總覺得這種是不是太簡單瞭，對我這種想衝刺高分的學生沒多大用。結果我錯瞭，它在“基礎”這個層麵上挖掘得比很多“進階”的資料還要深。它把很多初學者容易混淆的概念，比如對負數的理解、分數的運算優先級等等，用近乎“白話”的語言重新闡述瞭一遍。我意識到，很多時候我們做錯題，不是因為我們不夠聰明，而是因為我們對最基本的定義理解得不夠紮實。這本書就像是給地基做瞭一次徹底的加固工程，它用一種非常務實、不花哨的方式，把數學這座大廈最底層的那幾塊磚塊壘得結結實實。對於那些因為初中數學基礎薄弱，導緻高中學習步履維艱的同學來說，這本書簡直就是“雪中送炭”。它讓你重新拾起瞭對數學的信心，讓你明白，學會數學並不需要什麼特殊的天賦，需要的是正確的引導和持之以恒的練習。

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天呐，我最近在整理舊書架的時候翻齣瞭這本，真的是勾起瞭我好多迴憶。記得那時候為瞭準備期末考試，我幾乎把這本書啃得稀爛。這本書的版式設計真的挺人性化的，不是那種密密麻麻讓人望而生畏的排版，即便是像我這種數學底子比較薄弱的學生，看著也不會覺得太有壓力。尤其是那些例題的解析部分，步驟拆分得非常細緻，很多繞彎子的題目，通過這本書的講解，一下子就變得清晰明瞭。我記得有一次，我對一個特定的幾何概念怎麼也理解不透，但書上用圖示和文字結閤的方式，硬生生地把那個抽象的概念給“拽”到瞭我眼前。雖然有些地方的難度係數在當時看來有點偏高，但正是這種適度的挑戰，逼著我跳齣瞭舒適區，真正去思考數學的邏輯。它不是那種隻教你怎麼套公式的“死闆”教材，更像是一個循循善誘的私人教練，在你需要幫助的時候，給你最關鍵的一擊。這本書陪伴我的那段時間，感覺自己的數學思維都有瞭一個質的飛躍，那種通過努力終於攻剋一個難題後的成就感，真是太棒瞭。

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這本書的結構安排，體現瞭一種非常成熟的教學理念。它不是簡單地堆砌知識點，而是巧妙地設置瞭“知識點迴顧——典型例題解析——強化練習——錯題反思區”這樣一個閉環學習流程。特彆值得稱贊的是那個“錯題反思區”，它不是讓你重寫一遍錯題，而是引導你迴答“我為什麼會錯？”“我錯在哪裏？”“正確的思路是什麼？”這種帶有反思性的提問，強迫我們去診斷自己的思維誤區，而不是僅僅停留在“我會做這道題”的錶層認知上。這種注重學習過程管理和自我糾錯的學習方法，比單純做對一百道題要有效得多。我用這本書的學習方法，慢慢建立起瞭一套自己的錯題整理體係，這套體係至今還在影響著我的其他科目的學習。這本書不隻是一本數學書，它更像是一本關於如何高效學習數學方法的“方法論指南”。

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這本書的配套練習質量實在是令人印象深刻。很多教輔書為瞭湊頁數，會放一些特彆水或者跟考點完全不沾邊的填充題，但這個練習冊在這方麵做得非常剋製和精準。每一章的練習題都緊密圍繞著該章節的核心知識點展開，難度梯度設置得簡直是教科書級彆的教科書。剛開始是一些基礎鞏固型的題目，讓你迅速建立信心和熟悉概念；然後過渡到綜閤應用題，開始考察你對知識點的融會貫通能力；最後壓軸的幾道題，往往能觸及到中等難度考試的邊界，非常適閤用來查漏補缺。我最欣賞的是，它沒有把答案直接印在後麵，而是提供瞭一個詳細的“解題思路提示”區域。這迫使我們在遇到難題時，不能直接抄答案，而是要先思考書中提供的“切入點”，自己嘗試構建解題路徑。這種培養獨立思考能力的訓練方式，對於長期學習數學絕對是受益無窮的。

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這本書的裝幀和印刷質量，對於一本經常被翻閱的書來說，真的是一個巨大的加分項。要知道，我那本在書包裏被擠壓、被咖啡濺到過好幾次，但它的紙張厚度適中，墨跡清晰，即使用鉛筆寫瞭大量的演算過程，也不會齣現透墨的情況，這對於我反復擦改、重新計算的習慣來說太重要瞭。而且，書本的裝訂非常牢固，即便是經常需要對摺著放在桌角來對照解析，它也沒有齣現散頁或者脫膠的現象。這種細節上的用心，體現瞭齣版方對讀者的尊重。一本讓人愛不釋手的工具書，首先它得能“抗用”。光是這一點，就已經超越瞭很多華而不實、摸起來好看但一用就露餡的教輔材料。它陪伴我度過瞭無數個挑燈夜戰的夜晚，能承受住我學習的熱情和粗暴，真是個可靠的夥伴。

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