数学(基础版)(修订版)第一分册( 附学习卡) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787040190625

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《高等代数基础与应用》内容概要 本书旨在为高等数学学习者提供一个坚实、深入且具有广泛应用前景的基础代数知识体系。 针对理工科、经济学、计算机科学等需要深厚数学背景的专业，本书力求在理论深度与实际应用之间取得完美平衡，引导读者从基础概念出发，逐步构建起对抽象代数结构及其在现实世界中应用的深刻理解。 第一部分：群论基础与结构分析（Group Theory Fundamentals and Structural Analysis） 本部分是全书的理论基石，重点介绍群的定义、基本性质及其分类。 第一章：代数结构的基本概念 集合与运算： 详细回顾集合论基础，引入二元运算的封闭性、结合律、交换律等性质。 群的定义与初探： 严格定义群、半群、独异点。通过实例（如整数加法群、非零有理数乘法群）阐述群的四大公理。 特殊元素： 深入探讨单位元与逆元的唯一性证明。 子群的判定与性质： 介绍子群的“双条件检验法”和“有限子群检验法”，分析子群在群结构中的地位。 第二章：循环群与生成元 循环群的构造： 详细讲解如何由一个元素生成一个群。 元素的阶： 定义元素的阶，并证明阶与群的阶（若有限）之间的关系（拉格朗日定理的铺垫）。 循环群的同构： 证明所有无限循环群同构于 $(mathbb{Z}, +)$，所有有限循环群同构于 $(mathbb{Z}_n, +)$。 第三章：陪集、正规子群与商群 陪集的概念与性质： 定义左陪集与右陪集，证明陪集划分群的性质，及其在计算群阶中的应用。 拉格朗日定理的精妙： 详细证明拉格朗日定理及其推论，包括群的阶整除子群的阶，以及元素阶整除群的阶。 正规子群的条件： 介绍共轭性作为判定正规子群的有效工具。严格定义正规子群，并讨论其在群中作为“对称轴”的作用。 商群（因子群）的构造： 构造商群 $ ext{G/N}$，并阐述商群的运算规律，这是理解群扩张与分解的关键。 第四章：同态与同构 群同态的定义与性质： 探讨保持运算结构的映射，介绍核（Kernel）与像（Image）的概念。 同构定理（第一同构定理）： 详细叙述和证明 $ ext{G}/ ext{Ker}(phi) cong ext{Im}(phi)$，这是连接商群与同构像的桥梁。 同态的基本定理集： 简要介绍第二、第三同构定理，用于分析不同子群和子群结构之间的关系。 第二部分：环论与域的基本结构（Ring Theory and Field Fundamentals） 本部分将代数结构从交换群推广到具有乘法运算的结构，引入环和域的概念。 第五章：环的定义与基本性质 环的定义与举例： 介绍环的加法交换律和乘法结合律，区分交换环与非交换环。 特殊环结构： 定义单位环、零因子、整环。重点分析 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 作为典型的整环。 子环与理想： 考察子环的条件，并深入探讨理想的概念——环中的“正规子群”的推广，是定义商环的基础。 第六章：理想与商环 主理想与主理想整环（PID）： 介绍由单个元素生成的理想，并分析哪些整环具有此性质（如 $mathbb{Z}$）。 商环的构造与性质： 类似于商群，构造商环 $R/I$，并讨论其运算。 同态与同构定理在环中的应用： 将第四章的结论推广至环的同态，尤其是第一同构定理在环论中的具体体现。 第七章：域论入门 域的定义与特征： 域是特殊的整环，要求所有非零元素都有乘法逆元。讨论域的特征（0 或素数 $p$）。 多项式环 $F[x]$ 的深入研究： 在域 $F$ 上的多项式环中，讨论带余除法、最大公约式（使用欧几里得算法）。 不可约多项式与域扩张： 定义域上的不可约多项式，并利用它们构造有限扩域 $ ext{F}[x] / langle p(x) angle$，这是伽罗瓦理论的起点。 第三部分：线性代数基础（Linear Algebra Foundations） 虽然本书侧重抽象代数，但必须涵盖线性代数的几何和代数交汇点，特别是向量空间的概念，它为群论和环论提供了重要的模型。 第八章：向量空间与线性映射 向量空间的公理化定义： 从数域上的抽象向量空间出发，而非仅仅局限于 $mathbb{R}^n$。 子空间、线性组合与张成： 讨论子空间的性质，线性无关集的判定，基与维度的概念。 线性变换（映射）： 定义和性质，矩阵表示法作为线性变换的实现工具。 同构与同构定理： 证明任意 $n$ 维向量空间同构于 $ ext{K}^n$。 第九章：线性映射的深入分析 核与像： 在线性代数语境下重新审视核与像，维度定理（秩-零化度定理）的推导。 特征值与特征向量： 求解特征方程，理解特征空间，这是对线性变换“不变方向”的分析。 对角化理论： 讨论矩阵可对角化的充要条件，这在微分方程和动力系统中有广泛应用。 第四部分：应用与拓展（Applications and Extensions） 本部分将理论知识应用于具体问题，并展望更深层次的研究方向。 第十章：有限域的应用 构造有限域 $ ext{GF}(p^k)$： 详细介绍如何使用不可约多项式在特征为 $p$ 的域上构造有限域。 有限域在编码理论中的作用： 简要介绍伽罗瓦域在纠错码（如 BCH 码）中的基础性地位。 第十一章：应用实例与计算方法 群论在密码学中的初步应用： 以迪菲-赫尔曼密钥交换为例，展示离散对数问题在群论结构上的重要性。 环论在数论中的体现： 以欧几里得整环（如 $mathbb{Z}$ 和高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$）为例，展示它们在素性判定和分解中的优越性。 矩阵群： 讨论一般线性群 $ ext{GL}_n(F)$、特殊线性群 $ ext{SL}_n(F)$ 等经典矩阵群，它们是群论研究的重要对象。 本书特点： 本书通过清晰的逻辑层次和丰富的例题，确保读者不仅掌握抽象概念的定义，更能理解这些概念背后的深刻几何和代数直觉。每章末均附有挑战性习题，涵盖理论证明、结构分析和计算应用三类，以培养读者独立解决复杂数学问题的能力。本书为后续学习抽象代数（如伽罗瓦理论、表示论）或应用代数（如代数编码、密码学）打下坚实基础。

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我得说，这本书在例题和习题的设计上，绝对是下了血本的。它不是那种千篇一律的机械练习册，每一组习题都巧妙地融入了不同的应用场景，让你在解题的过程中，能真切感受到数学这门学科的实用价值。特别是书后附带的那套学习卡，设计得极其精巧，它将那些容易混淆的知识点和关键步骤提炼出来，做成了可以随时翻阅的卡片。这对于考前快速复习或者日常巩固记忆简直太方便了，比自己动手抄写重点有效率得多。我用那套卡片整理错题时，感觉思路都清晰多了，感觉自己像是拥有了一个私人的一对一辅导老师。

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最让我满意的一点是它对知识体系的整体把握。这本书将基础数学的各个分支，如代数、几何、函数等，构建成了一个有机统一的整体，而不是零散的知识点集合。它清晰地展示了不同领域之间的内在联系和相互支撑作用，这对于建立宏观的数学观至关重要。很多其他教材只注重局部知识的精深，却忽略了知识点之间的桥梁。而这本书，成功地让我看到了数学世界的全貌，理解了基础理论是如何支撑起整个学科大厦的。这对于我后续进行更深层次的学习，打下了极其坚实、不可动摇的基石。

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这本书的封面设计挺有意思的，简约而不失稳重，那种深沉的蓝色调让人感觉非常专业。我第一眼看到它的时候，就觉得这肯定不是那种花里胡哨、只注重样貌的教材。内页的排版也很舒服，字体大小适中，段落之间的留白处理得恰到好处，长时间阅读也不会让人觉得眼睛很累。尤其是那些公式和图表的插入，都非常清晰、逻辑性强，根本不用担心看不懂那些复杂的数学符号是怎么来的。而且，书脊的装订质量也很好，翻起来很顺手，不会有那种生怕一翻就散架的感觉，看得出来是下了功夫的。我个人对这种注重细节的出版物总是特别有好感，毕竟学习本身就需要一个沉浸式的环境，一个好的载体是成功的一半。

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这本书的语言风格非常独特，它不像传统的教科书那样枯燥乏味，反而带着一种温和而坚定的引导力。作者似乎非常了解初学者在面对数学时的那种畏惧感，所以他总是在关键时刻插入一些鼓励性的话语，或者用非常生活化的比喻来解释那些拗口的数学术语。阅读起来完全没有压力，更像是在跟一位经验丰富、耐心十足的导师进行深入的对话。这种交流式的学习体验，极大地降低了我对基础数学的心理门槛，让我从“不得不学”转变成了“愿意去探索”，这才是优秀教材的最高境界。

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这本书的讲解深度和广度都拿捏得恰到好处，完全不是那种只停留在表面概念的入门读物。它在阐述每一个基础定理时，都会追溯到它产生的历史背景和逻辑根源，这让抽象的数学概念一下子变得鲜活起来，不再是冰冷的公式堆砌。我特别欣赏作者在引入新知识点时所采用的那种“层层递进”的叙事方式，每一步推理都像搭积木一样，严密且无懈可击。对于那些自学数学的人来说，这种由浅入深、不断自我验证的学习路径简直是福音，它教会的不仅仅是“怎么算”，更是“为什么这么算”。读完一个章节，总有一种茅塞顿开的畅快感，好像自己真的理解了数学的精髓。

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