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出版者:北京大学

作者:林震岩

出品人:

页数:692

译者:

出版时间:2007-8

价格:68.00元

装帧:

isbn号码:9787301124727

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《几何拓扑：流形、纤维丛与特征类》 内容简介 本书深入探讨了现代微分几何与代数拓扑的交叉领域，聚焦于微分流形、纤维丛以及特征类这三大核心概念。它旨在为读者提供一个既严谨又直观的数学框架，用以理解高维空间中的几何结构及其拓扑不变量。本书的叙述风格力求平衡理论的深度与几何图像的清晰性，适合于具有扎实分析基础，并希望进入现代几何学前沿的数学专业学生、研究人员及相关领域的工程师。 第一部分：微分流形的基础结构 本书首先从拓扑空间出发，逐步引入微分结构的概念，构建起研究光滑形变的数学语言。 1. 拓扑空间与度量（预备知识复习与深化） 虽然本书的核心是微分几何，但我们首先回顾了必要的拓扑背景，强调了紧致性、连通性以及基本群的概念。在此基础上，我们详细讨论了均匀空间与度量空间，为后续引入微分结构中至关重要的局部欧几里得性做铺垫。 2. 微分流形的构造与例子 我们定义了m维光滑流形 $(mathcal{M}, mathcal{A})$，即一个拓扑空间 $mathcal{M}$ 配备一个光滑的图册 $mathcal{A}$，其中坐标变换函数必须是无穷次可微的（$C^infty$）。我们详细考察了关键实例： 欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的开放子集：作为最基本的局部模型。 球面 $S^n$：通过南北极投影构建其图册，并证明其光滑性。 环面 $T^n$ 和射影空间 $mathbb{R}P^n, mathbb{C}P^n$：展示了非平凡拓扑结构的流形如何被描述。 3. 切空间与向量场 流形上的切空间 $T_pmathcal{M}$ 被定义为所有通过点 $p$ 的曲线的“方向”构成的向量空间，并基于导数算子的定义进行严格构建。我们探讨了切丛 $Tmathcal{M}$ 作为一个局部平凡的向量丛结构。 向量场 (Vector Fields)：向量场被定义为光滑函数空间上的线性算子，它赋予流形上每一点一个切向量。我们引入了李导数 (Lie Derivative) 的初步概念，它是衡量向量场作用下几何量如何变化的工具。 4. 张量场与微分形式 为了处理更复杂的几何对象和积分，我们推广了切向量到张量。 上指标与下指标张量：解释了指标的升降如何依赖于黎曼度量（尽管黎曼几何在后文更深入讨论，但此处作为张量分解的基础）。 微分形式 (Differential Forms)：这是本书的核心工具之一。我们系统地定义了 $k$ 阶微分形式 $Omega^k(mathcal{M})$，并着重分析了外导数 (Exterior Derivative) $d$ 的性质，特别是著名的$d^2 = 0$ 恒等式。这为后续的德拉姆上同调奠定了基础。 第二部分：纤维丛理论 微分流形是局部的欧几里得结构，而纤维丛则将这些局部结构通过纤维“粘合”起来，形成全局的、非平凡的结构。 1. 向量丛的构造与例子 本书严格定义了向量丛：一个局部平凡的纤维丛，其中纤维是有限维向量空间。我们详细区分了截面 (Sections)、横截面 (Transversal Sections) 和内积的概念。 切丛 $TM$ 和余切丛 $T^M$：作为最基础的向量丛。 张量丛 $T^k_lmathcal{M}$：由 $Tmathcal{M}$ 和 $T^mathcal{M}$ 的张量积构造。 2. 联络 (Connections) 联络是定义向量丛中“平行移动”的结构，是微分几何从局部到全局的关键桥梁。 仿射联络与协变导数：在切丛上，联络 $ abla$ 定义了协变导数 $ abla_X Y$，它衡量了向量场 $Y$ 沿着向量场 $X$ 方向的变化率，并修正了坐标系变化带来的假性变化。我们讨论了联络的曲率 (Curvature) $R$ 和挠率 (Torsion) $T$。 纤维丛上的联络：推广到一般向量丛，引入了水平子空间的概念，并明确了曲率张量在描述丛结构非平凡性中的作用。 3. 结构群与主丛 为了处理更一般的几何结构（如黎曼度量），我们引入了主丛 (Principal Bundles) 的概念。 结构群 $G$：一个向量丛 $E o M$ 的结构群 $G$ 是允许纤维之间进行线性变换的群。 主丛 $P(E)$：由所有“线性框架”构成的空间，其自由作用群即为 $G$。我们证明了任何向量丛都与其对应的规范（或称局部平凡）主丛相关联。 第三部分：特征类与拓扑不变量 特征类是代数拓扑中的不变量，它们能够“测量”流形的全局拓扑结构中“弯曲”或“扭曲”的程度，是纤维丛理论与上同调理论的深刻结合。 1. 上同调基础回顾 (德拉姆上同调) 我们迅速回顾了德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(mathcal{M})$，强调了流形上的积分（通过微分形式）与流形自身的拓扑性质之间的内在联系。 2. 陈氏示性类 (Chern Classes) 本书的核心重点之一是陈氏示性类，它们是衡量复向量丛的拓扑“弯曲度”的代数不变量。 陈类 $c_k(E)$ 的定义：基于向量丛 $E$ 的陈-西蒙斯形式的积分或通过史蒂芬森-黑斯-范德蒙德行列式（Steenrod-Hurewicz 构造）定义。我们证明了 $c_k(E)$ 确实是上同调类，并且具有与流形选择无关的性质。 欧拉示性数与陈类：展示了 $c_1(Tmathcal{M})$（第一陈类）与流形的欧拉示性数 $chi(mathcal{M})$ 之间的关系（特别是对于二维流形）。 3. 示性类与黎曼几何的联系（初步展望） 我们介绍了示性类如何与流形上的曲率建立深刻联系。 示性环：定义了流形上的示性环，这是一个由流形上的曲率形式（如黎曼曲率张量的特定组合）生成的子代数。 高斯-博内-拉姆齐定理 (Gauss-Bonnet-Chern Theorem)：对于二维流形，我们详细阐述了积分曲率（高斯曲率的积分）如何等于欧拉示性数，从而将局部几何（曲率）与全局拓扑（示性数）完美地统一在一个框架下。 4. 其他示性类（简介） 最后，我们简要介绍了与实向量丛相关的其他重要示性类，如庞加莱对偶类 (Pontryagin Classes)，以及它们在描述实流形结构中的应用，为读者后续研究奠定基础。 --- 本书特色与目标 本书的写作风格严谨，注重概念的精确性，同时通过大量的几何实例和图示（概念图示而非具体绘制），帮助读者建立起抽象概念与直观几何图像的联系。它不仅是微分几何的入门读物，更是深入理解代数拓扑中经典理论（如上同调）在现代几何中应用的必读参考书。全书的重点在于：如何用光滑的工具（微分形式、联络）来量化和描述拓扑的全局特性（纤维丛的非平凡性、示性类）。

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