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出版者:中国科技大

作者:潘凯

出品人:

页数:220

译者:

出版时间:2007-9

价格:20.00元

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isbn号码:9787312021459

丛书系列:

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深度解析经典力学：从牛顿到拉格朗日 图书信息： 书名： 深度解析经典力学：从牛顿到拉格朗日 作者： [虚构作者名，例如：张文远，李明德] 页数： 约 750 页 定价： [虚构价格，例如：128.00 元] 目标读者： 物理学、工程学、天文学等专业本科生、研究生，以及对经典物理学原理有深入探究需求的自学者和研究人员。 --- 内容提要 《深度解析经典力学：从牛顿到拉格朗日》是一部系统、严谨且深入探讨经典力学理论基础与高级方法的专著。本书旨在超越传统教材的机械推导，带领读者深刻理解力学在不同数学框架下的本质，并清晰勾勒出从伽利略到牛顿，再到拉格朗日和哈密顿体系的演进脉络。全书结构紧凑，逻辑清晰，侧重于理论的内在联系和实际应用的普适性。 本书并未涵盖微积分的初等介绍，亦不涉及微分方程的详细求解技巧（这些被视为读者已掌握的基础工具），而是直接将读者置于物理问题的核心，聚焦于如何运用更高维度的数学工具（如向量代数、张量分析的初步概念、变分原理）来重构和深化经典力学。 --- 第一部分：牛顿力学的深化与扩展（约 200 页） 本部分旨在巩固牛顿力学（牛顿-欧拉体系）的基石，并引入必要的数学工具，为后续的理论转型做铺垫。 第一章：运动学的几何基础与约束（Constraint Kinematics） 本章摒弃简单的笛卡尔坐标系分析，强调运动学的普适性描述。内容涵盖： 1. 空间描述与坐标变换的群论视角（初步）： 介绍刚体运动的齐次变换矩阵及其在三维欧几里得空间中的作用。讨论平移群和旋转群的几何意义。 2. 约束的数学表达： 详细分析纯粹约束（Holonomic Constraints）和非完整约束（Nonholonomic Constraints）的微分形式表达，特别是如何使用微分几何的语言来描述约束曲面。 3. 速度和加速度的协变性： 在弯曲坐标系（如球坐标、柱坐标）中推导运动方程时，重点解析克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）在描述加速度时的物理意义——即“虚构力”的来源。这为理解惯性系与非惯性系之间的联系奠定了基础。 第二章：动力学与惯性系统（Dynamics in Inertial Frames） 本章回归牛顿第二定律，但从更抽象的角度审视其适用范围。 1. 力的分类与场论的萌芽： 区分接触力、保守力与非保守力。引入保守力场中势能的概念，并使用梯度算子来描述力的空间变化率。 2. 动量、角动量定理的积分形式： 侧重于冲量和力矩的积分定义，并探讨在不同参考系下角动量定理的形式不变量性。 3. 守恒定律的微观基础： 阐述能量、动量和角动量守恒定律是空间和平移对称性的直接体现（未直接引入诺特定理的严密证明，但强调了物理定律的普适性）。 第三章：非惯性系与惯性力（Dynamics in Non-Inertial Frames） 本章深入探讨了牛顿力学在加速和旋转参考系中的修正。 1. 加速度参考系： 详细推导科里奥利力（Coriolis Force）和欧拉力（Euler Force）的矢量形式及其在流体力学、弹道学中的实际效应。特别关注科里奥利力在速度微分中的作用。 2. 旋转参考系： 重点分析陀螺仪的运动。利用角速度矢量在固定空间中的演化，解释刚体绕定点转动的欧拉角描述方法，并引入刚体转动的转动惯量张量。 --- 第二部分：变分原理与分析力学（约 300 页） 本部分是全书的核心，标志着力学从基于力的描述向基于能量和泛函的描述的根本性转变。 第四章：泛函微分与变分法基础（Calculus of Variations） 在深入拉格朗日力学之前，本章独立讲解变分法的数学工具，不依赖于任何特定的物理背景。 1. 泛函的定义与导数： 引入泛函、泛函的变分（$delta J$）的概念。 2. 欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）： 严格推导该方程，并讨论其在边界条件下的应用。强调该方程是二阶偏微分方程，其解满足作用量最小原理（或平稳性原理）。 3. 第一类和第二类边界条件： 分析固定端点和自由端点情况下的物理含义。 4. 守恒量与诺特定理的初步探讨： 引入诺特定理（Noether's Theorem）的离散版本，展示系统对称性如何直接导出守恒量，例如时间平移不变性导出能量，空间平移不变性导出动量。 第五章：拉格朗日力学（Lagrangian Mechanics） 将变分原理应用于具体物理系统。 1. 拉格朗日量的构建： 详细解释动能 $T$ 和势能 $V$ 在不同坐标系下的表达，以及如何选择合适的广义坐标 $q_i$ 来消除约束方程。 2. 拉格朗日方程的应用实例： 深入分析复杂系统，如双摆、耦合振子、带有移动约束的系统（如在斜面上滚动的圆锥体）。重点展示拉格朗日力学在处理复杂约束时的简洁性。 3. 拉格朗日力学中的守恒量： 严格运用拉格朗日方程的性质，推导出循环坐标（Cyclic Coordinates）对应的广义动量守恒。 4. 耗散系统的拉格朗日描述： 引入瑞利耗散函数（Rayleigh Dissipation Function）来处理摩擦阻尼问题，并探讨其局限性。 第六章：正则变换与哈密顿力学（Hamiltonian Mechanics） 从拉格朗日量到哈密顿量，实现相空间（Phase Space）的引入。 1. 勒让德变换（Legendre Transformation）： 严格推导如何通过勒让德变换从拉格朗日量 $L(q, dot{q}, t)$ 导出哈密顿量 $H(q, p, t)$，并明确 $p$（广义动量）的定义。 2. 哈密顿正则方程： 导出描述系统在相空间中演化的哈密顿方程组。强调其形式上的对称性和对一阶微分方程的依赖。 3. 泊松括号（Poisson Brackets）： 引入泊松括号作为相空间中物理量时间演化的生成元。详细展示哈密顿方程与泊松括号的关系，以及守恒量（$frac{partial f}{partial t} = {f, H}$）的判定标准。 4. 正则变换的判据： 讲解如何通过生成函数 $F(q, q', t)$ 构造保持哈密顿方程形式不变的正则坐标变换，并以此来求解哈密顿方程。 --- 第三部分：高级主题与理论拓展（约 250 页） 本部分将分析力学与更前沿的理论领域连接起来。 第七章：连续介质力学的基础（Dynamics of Continuous Media） 将点力学推广到具有无限自由度的系统。 1. 场量的描述： 引入密度、应力、应变的概念。描述流体和弹性固体中的运动方程。 2. 欧拉描述与拉格朗日描述（流体力学）： 对比描述质点路径（拉格朗日）和描述空间某点性质（欧拉）的两种方法，以及物质导数（Material Derivative）的意义。 3. 能量与动量在场论中的形式： 推导连续介质中的能量守恒和动量守恒方程的微分形式，展示其与牛顿定律在宏观尺度上的对应关系。 第八章：经典力学与量子力学的桥梁 本章聚焦于如何运用哈密顿-雅可比理论，为过渡到量子力学（特别是薛定谔绘景）做准备。 1. 哈密顿-雅可比方程（H-J Equation）： 引入新的形式——特征函数 $S(q, alpha, t)$。详细推导 H-J 方程 $frac{partial S}{partial t} + H(q, frac{partial S}{partial q}, t) = 0$。 2. 利用 H-J 方程求解运动： 展示如何通过求解 H-J 方程（即找到恰当的完整解 $S$）来确定系统的积分（守恒量），从而解析地求解运动轨迹，无需显式积分。 3. 相空间的几何意义： 将正则变换与 H-J 方程联系起来，解释作用量 $S$ 如何在正则变换中发挥作用。 4. 从泊松括号到对易关系（定性）： 初步讨论将泊松括号中的实数乘法推广为算符对易关系（$[hat{A}, hat{B}] ightarrow ihbar{A, B}$）的数学直觉，以此作为经典力学终结和量子力学开始的数学标志。 --- 本书特色与优势 1. 数学深度优先： 本书从一开始就强调对约束、坐标变换和变分法的精确数学描述，避免了在推导过程中因数学工具的薄弱而导致的理解障碍。 2. 理论连贯性： 清晰地展示了牛顿力学（力的平衡）$ ightarrow$ 达朗贝尔原理（虚功原理）$ ightarrow$ 拉格朗日力学（最小作用量）$ ightarrow$ 哈密顿力学（相空间结构）的逻辑进化路径。 3. 注重内在联系： 深刻挖掘了守恒定律与空间时间对称性之间的关系，将物理直觉提升到数学结构的高度。 4. 应用导向的严谨性： 所有的抽象概念都通过经典物理中的关键模型（如陀螺仪、复杂耦合振动）进行验证和阐释。 本书不是对入门教材内容的简单重复，而是对经典力学数学框架的重构与提升，旨在使读者能够自信地运用分析力学工具来解决更复杂的、涉及场和相对论的物理问题。

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我必须承认，在阅读这本书的过程中，我发现它的“数学语言”组织得相当精炼有力，但同时又保持了一种令人惊讶的严谨性。很多其他教材在力求通俗时，会不自觉地放松对逻辑链条的把控，导致某些结论的推导过程存在“跳步”。《简明高等数学》在这方面做得非常出色。每一个定理的证明，都遵循着严格的逻辑递进，从已知条件到最终结论，每一步推导都清晰可循，很少出现需要读者自行脑补“理所当然”的环节。这对于我这种追求理论深度的人来说，是极其宝贵的特质。例如，在处理拉格朗日乘数法这类优化问题时，它不仅仅展示了如何使用这个方法，还深入探讨了其背后的几何意义和约束条件的性质。这种对证明过程的尊重和细致刻画，使得我对数学的敬畏感油然而生，也让我更深刻地理解了数学的内在美——那种无懈可击的逻辑构建。

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说实话，我本来对接下来的数学学习持有一种“能应付就行”的态度，毕竟高等数学的名声在外，总觉得是枯燥且难啃的硬骨头。但《简明高等数学》这本书，成功地颠覆了我的这种刻板印象。它的核心优势在于其对“应用背景”的强调。它不像有些教材那样，一上来就是一堆定义和定理的堆砌，让人摸不着头脑，不知道这些公式到底用来干什么。这本书非常巧妙地将理论和实际问题结合起来。比如，在讲到偏导数和多重积分时，书中穿插了好几个关于物理学中场强计算、或者工程中体积计算的实例，这些实例的引入，瞬间让那些原本抽象的符号活了起来。这让我的学习动力大大增加，因为我不再是单纯地为了考试而学习这些工具，而是真切地感受到自己正在获取一套解决实际问题的“利器”。这种“知其所以然”的学习过程，远比死记硬背公式来得有效和持久。我感觉自己不再是被动地接受知识，而是在主动地探索数学世界的规律。

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这本书的辅助学习资源整合度极高，这一点对于我们这些需要多渠道学习的现代学生来说，简直是太方便了。我特别欣赏它在关键概念总结时所采用的那个“知识网络图”或者说是“思维导图”的设计。在每一章的结尾，它都会用一个视觉化的结构图，把本章的核心概念、它们之间的相互依赖关系以及主要的公式串联起来。这比单纯的文字总结要高效得多，让人可以一目了然地把握全章脉络，在复习冲刺阶段，这简直是神器。而且，书本本身在网络平台上的配套资源似乎也很丰富，我听说配套的在线习题库和视频讲解与书中的章节是严格对应的。这种线上线下一体化的学习体验，极大地增强了学习的互动性和即时反馈能力。我感觉这本书不仅仅是一本静态的纸质书，更像是一个完整的学习系统的一部分，它为我提供了一个结构化、全方位的数学学习生态环境，而不是孤立地扔给我一堆公式。

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作为一本号称“简明”的教材，我最关心的就是它的内容覆盖面是否够用，会不会因为追求简洁而遗漏了关键的、考试常考的知识点。经过我仔细对照学校教学大纲的要求，这本书的处理方式简直是教科书级别的平衡艺术。它没有面面俱到地塞入所有过于偏门和冷僻的理论分支，这使得全书的节奏非常紧凑，没有多余的“水分”。它把篇幅留给了最核心、最常用的工具箱：极限、导数、积分、级数这些基石部分，讲解得极其透彻。然而，这种“简明”并非粗略。在涉及到一些容易混淆的概念时，比如定积分和不定积分的本质区别，或者傅里叶级数的收敛性条件，作者反而用了更深入的篇幅去澄清误区，甚至会提供一些反例来加深读者的印象。这说明编写者对目标读者的知识盲区有着精准的把握。对于非数学专业的理工科学生而言，这本书提供了一条清晰、高效的学习路径，避免了在次要细节上耗费过多的精力。

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这本《简明高等数学》的排版真是让人眼前一亮。拿到书的时候，首先注意到的是它清晰的字体和合理的行距，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更重要的是，作者在内容组织上花了很大的心思。他们似乎深谙初学者在面对抽象数学概念时的畏惧心理，所以对于基础概念的引入非常循序渐进。比如，在讲解极限和连续性的部分，插图的质量极高，那些三维图景的演示，比单纯的文字描述要直观得多，一下子就把那个“无限接近”的概念给‘抠’出来了。我记得高中时学微积分，总觉得那些$epsilon-delta$语言像天书一样，但这本书里，作者用了一种非常生活化的比喻来解释这些严谨的定义，读起来没有那么枯燥。而且，书后的习题设计也很有层次感，从最基础的计算题到稍微需要动脑筋的证明题，难度梯度设计得非常平滑，让人有种“我好像真的能掌握这些知识”的信心。对于自学的朋友来说，这本书的课后答案解析部分也值得称赞，它不仅仅给出了最终结果，还会细致地剖析每一步推理的依据，这点对于巩固理解至关重要。总的来说，这本书在视觉和阅读体验上，给高数学习带来了极大的舒适感。

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