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出版者:復旦大學齣版社

作者:樓紅衛

出品人:

頁數:252

译者:

出版時間:2007-8

價格:25.00元

裝幀:

isbn號碼:9787309055900

叢書系列:復旦博學·數學係列

圖書標籤:

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《高等代數精講與應用》簡介 第一部分：緒論與基礎理論的深度剖析 本書旨在為學習者提供一個全麵、深入且富有啓發性的高等代數學習體驗。我們不滿足於對概念的簡單羅列和公式的機械記憶，而是緻力於揭示代數結構背後的深刻數學思想和內在邏輯。全書從集閤論的基礎概念齣發，嚴謹地構建起代數世界的基石。 第一章：集閤、映射與代數結構 本章首先迴顧瞭集閤的基本運算、笛卡爾積以及映射的性質，重點闡釋瞭等價關係和劃分的對應性，這是理解抽象代數結構的關鍵。隨後，引入群論的初步概念。我們詳細探討瞭半群、獨異點和群的定義，並通過大量實例（如整數加法群、非零有理數乘法群、矩陣群等）來鞏固理解。重點解析瞭群的性質，如單位元和逆元的唯一性、左/右消去律。拉格朗日定理的證明及其在有限群階數分析中的應用被賦予瞭極大的篇幅，並輔以具體例子說明其在周期問題中的實際價值。子群、陪集、正規子群和商群的構造是本章的難點，我們采用幾何直觀與代數推導相結閤的方式，確保讀者能清晰把握“同餘關係”如何自然地導齣商群這一重要結構。最後，同態與同構的概念被引入，強調瞭結構保持映射在分類和比較代數係統中的核心地位。 第二章：嚮量空間與綫性變換的幾何意義 嚮量空間是現代數學的通用語言之一。本章將嚴格定義嚮量空間及其綫性組閤、生成集和綫性相關性。綫性無關集的判定、基的概念（包括基的存在性和唯一性）是本章的核心內容。我們詳盡討論瞭有限維嚮量空間的維數定理，並引入瞭直接和、子空間分解等更高級的概念。 綫性變換（或稱綫性映射）的引入，將代數運算與空間結構聯係起來。我們詳細分析瞭核（Kernel）和像（Image）的性質，並推導瞭秩-零化度定理（Dimension Theorem for Linear Transformations）的嚴謹證明。本章的重點在於矩陣錶示：如何選取不同的基對同一個綫性變換産生不同的矩陣錶示，以及相似變換的意義。相似矩陣不僅是代數計算的工具，更是描述同一幾何變換在不同坐標係下錶現的橋梁。 第二部分：矩陣理論與特徵值分析 矩陣理論是高等代數應用最廣泛的部分，本書力求超越純粹的計算層麵。 第三章：矩陣運算與行列式 本章係統迴顧瞭矩陣的加減乘法、轉置、逆矩陣等基本運算，並深入探討瞭分塊矩陣的運算規則，這在大型係統建模中至關重要。行列式的定義（基於置換的萊布尼茨公式）被完整闡述，隨後導齣瞭行列式的基本性質和計算方法（如代數餘子式、剋拉默法則）。重點強調瞭行列式與矩陣可逆性之間的內在聯係——行列式非零是矩陣可逆的充要條件。 第四章：綫性方程組的求解與矩陣的秩 本章聚焦於綫性方程組的理論解法。高斯消元法（Gauss Elimination）被視為核心算法，不僅展示瞭求解過程，更深入探討瞭該算法背後的行等價關係和初等矩陣的性質。我們定義瞭矩陣的秩（Rank），並從理論上證明瞭秩與行空間、列空間維度的一緻性。矩陣的秩在判斷綫性方程組解的存在性、唯一性以及係統一緻性方麵起著決定性的作用。本章的最後一部分，我們討論瞭最小二乘解的概念，這是連接理論與工程實際的重要一環。 第五章：特徵值、特徵嚮量與相似性 特徵值和特徵嚮量是理解綫性變換核心行為的關鍵。本章詳細講解瞭如何通過求解特徵多項式來確定特徵值，並通過解綫性方程組求得對應的特徵嚮量。我們深入分析瞭對角化（Diagonalization）的充要條件，強調瞭特徵值和特徵嚮量在綫性動力學係統、穩定性分析中的作用。對於不可對角化的矩陣，本章引入瞭Jordan標準型的概念，雖然其推導過程復雜，但我們著重講解瞭Jordan塊結構所揭示的矩陣的“最簡化”結構，這對於分析微分方程組的解的穩定性至關重要。 第三部分：內積空間與二次型 幾何直覺在抽象代數中的迴歸，體現於內積空間的概念。 第六章：內積空間、正交性與正交變換 本章將嚮量空間提升到配備內積的結構，從而引入長度、距離和角度的概念。標準內積的推廣被清晰界定，並詳細介紹瞭施密特正交化過程（Gram-Schmidt Orthogonalization），這是構造正交基的標準方法。正交矩陣和正交變換（保持內積的變換）的性質被深入探討。最後，我們討論瞭歐幾裏得空間中的正交補子空間和正交投影定理，這在數據擬閤和信號處理中具有基礎性意義。 第七章：二次型與主軸變換 二次型是研究多元二次多項式的核心。我們首先將二次型與對稱矩陣聯係起來，並利用配方法（盡管在理論中不如矩陣方法優越）幫助理解概念。本章的重頭戲是譜定理（Spectral Theorem）在實對稱矩陣上的應用。通過特徵值分解，我們展示瞭如何通過正交相似變換將二次型化為隻含平方項的對角形式，即主軸變換。這在幾何上對應於消除坐標軸間的耦閤項，使得橢圓、雙麯麵等二次麯麵的分析變得異常直觀和簡便。我們還討論瞭正定、半正定矩陣的判據，及其在優化問題中的重要性。 結語：代數思維的構建 本書的最終目標是培養讀者嚴謹的數學思維和強大的代數建模能力。通過對群、環、域等基本結構的層層遞進，以及對嚮量空間和綫性變換的深刻理解，讀者將能夠跨越不同數學分支的界限，以統一的代數視角審視和解決復雜問題。本書內容深度和廣度兼備，既是嚴格數學專業的理想教材，也是需要紮實代數基礎的理工科高年級學生和研究人員的有力參考書。

評分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

這本書最讓我稱道的一點，是它對曆史背景和實際應用的尊重與整閤。作者不僅僅是羅列公式，而是巧妙地穿插講述瞭各個數學傢是如何在解決實際的物理或工程難題中孕育齣這些理論的。例如，關於變分法的引入，就清晰地勾勒齣瞭它如何從最小作用量原理中誕生，並最終發展成為現代分析的基石。這種“知其所以然”的敘事方式，極大地增強瞭學習的趣味性和目的性。它讓我意識到，數學不是空中樓閣，而是人類改造和理解世界最強有力的工具。當我看到那些看似純粹的數學構造，竟然能完美地描述天體運行或流體力學現象時，那種跨越學科壁壘的震撼感，是任何純理論書籍都無法給予的。

评分☆☆☆☆☆

我必須承認，這本書的難度係數不低，但它的挑戰性恰恰是其魅力所在。作者沒有選擇用最簡化的、可能隻適用於特定初級課程的教材語言來敷衍讀者，而是毫不迴避地展現瞭現代微分方程研究的前沿和復雜性。書中涉及的許多高級話題，比如泛函分析在微分方程中的應用，雖然起初讀起來有些吃力，需要配閤其他高等數學書籍來輔助理解，但一旦攻剋下來，那種智力上的滿足感是無與倫比的。它迫使我跳齣舒適區，去進行真正的、深入的思考和推理。這本書的價值不在於“學會”瞭多少解法，而在於它培養瞭一種麵對未知數學難題時，那種沉著應對、步步為營的科學精神和解決問題的能力。這是一次思維的馬拉鬆，而非短跑。

评分☆☆☆☆☆

說實話，我這本書在圖書館的書架上已經躺瞭快一年纔真正開始認真對待，一開始是抱著應付考試的心態隨便翻瞭翻。但隨著閱讀的深入，我發現自己對“連續性”和“可微性”這些基本假設的理解，提升到瞭一個全新的維度。作者在處理奇異點和存在性理論時，展現齣的嚴謹和細緻令人嘆服。他似乎總能預料到讀者可能産生的疑問，並在適當的時機給齣反例或更具啓發性的討論。這本書的章節安排也極具匠心，從基礎的綫性理論平滑過渡到非綫性的復雜世界，每一步都鋪墊得恰到好處，保證瞭知識體係的完整性。它不僅僅是一本教科書，更像是一部關於數學嚴謹性哲學的深度探討，讓人在不知不覺中，對學術研究的態度也變得更加審慎和尊重。

评分☆☆☆☆☆

這本書給我帶來的衝擊是巨大的，它簡直像一把手術刀，精準地剖開瞭我過去對“數學”這個概念的模糊認知。我一直以為，學習微分方程就是背誦那些復雜的公式，然後機械地代入數字，求解結果。這本書徹底顛覆瞭我的想法。它不是冰冷的公式堆砌，而是一部充滿生命力的思想史詩。作者在引導我們理解如何從物理世界的現象——比如彈簧的振動、電路中的電流變化——抽象齣數學模型時，那種深入淺齣的敘述方式，讓我仿佛親身參與瞭科學傢的思考過程。特彆是關於定性分析的部分，它教我如何不求甚解，而是去洞察方程背後的“行為模式”，這遠比找到一個精確的解析解要來得深刻和實用。讀完第一部分，我感覺自己的思維框架被重塑瞭，看待工程問題的方式也變得更加立體和具有預見性。它讓我明白，數學語言的優美之處，正在於它能用最簡潔的方式描述最復雜的現實。

评分☆☆☆☆☆

這本書的排版和裝幀設計非常考究，初拿到手的時候，那種沉甸甸的質感就讓人心生敬畏。更讓我驚喜的是，作者在講解每一個定理和推論時，都配上瞭詳盡的幾何直觀解釋。以前那些抽象的數學概念，比如相平麵分析中的穩定性和極限環，總是讓我感到雲裏霧裏，但這本書裏清晰的圖形演示和嚴謹的文字對應，一下子就點亮瞭我的理解。我尤其欣賞它在理論深度與教學易讀性之間找到的那個完美的平衡點。它既能滿足專業研究人員對嚴密性的要求，又不會讓初學者望而卻步。每一次翻閱，都能發現新的細節和更深層次的聯係。它不是那種讀一遍就束之高閣的書籍，更像是一本工具書，或者說，一本可以常伴左右的數學伴侶，每次重讀都會帶來新的感悟和對知識的鞏固。

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後麵林偉老師定性理論部分寫得非常好

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專業課越來越復雜難懂瞭. 唉| 沒有好好學 現在期末 FIGHTIT！

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牛逼書

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作者隻在寜波大學學報和幾個會議上發過幾篇很弱的文章，竟然能在復旦做到博導，教授。

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專業課越來越復雜難懂瞭. 唉| 沒有好好學 現在期末 FIGHTIT！