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出版者:复旦大学出版社

作者:楼红卫

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:2007-8

价格:25.00元

装帧:

isbn号码:9787309055900

丛书系列:复旦博学·数学系列

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《高等代数精讲与应用》简介 第一部分：绪论与基础理论的深度剖析 本书旨在为学习者提供一个全面、深入且富有启发性的高等代数学习体验。我们不满足于对概念的简单罗列和公式的机械记忆，而是致力于揭示代数结构背后的深刻数学思想和内在逻辑。全书从集合论的基础概念出发，严谨地构建起代数世界的基石。 第一章：集合、映射与代数结构 本章首先回顾了集合的基本运算、笛卡尔积以及映射的性质，重点阐释了等价关系和划分的对应性，这是理解抽象代数结构的关键。随后，引入群论的初步概念。我们详细探讨了半群、独异点和群的定义，并通过大量实例（如整数加法群、非零有理数乘法群、矩阵群等）来巩固理解。重点解析了群的性质，如单位元和逆元的唯一性、左/右消去律。拉格朗日定理的证明及其在有限群阶数分析中的应用被赋予了极大的篇幅，并辅以具体例子说明其在周期问题中的实际价值。子群、陪集、正规子群和商群的构造是本章的难点，我们采用几何直观与代数推导相结合的方式，确保读者能清晰把握“同余关系”如何自然地导出商群这一重要结构。最后，同态与同构的概念被引入，强调了结构保持映射在分类和比较代数系统中的核心地位。 第二章：向量空间与线性变换的几何意义 向量空间是现代数学的通用语言之一。本章将严格定义向量空间及其线性组合、生成集和线性相关性。线性无关集的判定、基的概念（包括基的存在性和唯一性）是本章的核心内容。我们详尽讨论了有限维向量空间的维数定理，并引入了直接和、子空间分解等更高级的概念。 线性变换（或称线性映射）的引入，将代数运算与空间结构联系起来。我们详细分析了核（Kernel）和像（Image）的性质，并推导了秩-零化度定理（Dimension Theorem for Linear Transformations）的严谨证明。本章的重点在于矩阵表示：如何选取不同的基对同一个线性变换产生不同的矩阵表示，以及相似变换的意义。相似矩阵不仅是代数计算的工具，更是描述同一几何变换在不同坐标系下表现的桥梁。 第二部分：矩阵理论与特征值分析 矩阵理论是高等代数应用最广泛的部分，本书力求超越纯粹的计算层面。 第三章：矩阵运算与行列式 本章系统回顾了矩阵的加减乘法、转置、逆矩阵等基本运算，并深入探讨了分块矩阵的运算规则，这在大型系统建模中至关重要。行列式的定义（基于置换的莱布尼茨公式）被完整阐述，随后导出了行列式的基本性质和计算方法（如代数余子式、克拉默法则）。重点强调了行列式与矩阵可逆性之间的内在联系——行列式非零是矩阵可逆的充要条件。 第四章：线性方程组的求解与矩阵的秩 本章聚焦于线性方程组的理论解法。高斯消元法（Gauss Elimination）被视为核心算法，不仅展示了求解过程，更深入探讨了该算法背后的行等价关系和初等矩阵的性质。我们定义了矩阵的秩（Rank），并从理论上证明了秩与行空间、列空间维度的一致性。矩阵的秩在判断线性方程组解的存在性、唯一性以及系统一致性方面起着决定性的作用。本章的最后一部分，我们讨论了最小二乘解的概念，这是连接理论与工程实际的重要一环。 第五章：特征值、特征向量与相似性 特征值和特征向量是理解线性变换核心行为的关键。本章详细讲解了如何通过求解特征多项式来确定特征值，并通过解线性方程组求得对应的特征向量。我们深入分析了对角化（Diagonalization）的充要条件，强调了特征值和特征向量在线性动力学系统、稳定性分析中的作用。对于不可对角化的矩阵，本章引入了Jordan标准型的概念，虽然其推导过程复杂，但我们着重讲解了Jordan块结构所揭示的矩阵的“最简化”结构，这对于分析微分方程组的解的稳定性至关重要。 第三部分：内积空间与二次型 几何直觉在抽象代数中的回归，体现于内积空间的概念。 第六章：内积空间、正交性与正交变换 本章将向量空间提升到配备内积的结构，从而引入长度、距离和角度的概念。标准内积的推广被清晰界定，并详细介绍了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），这是构造正交基的标准方法。正交矩阵和正交变换（保持内积的变换）的性质被深入探讨。最后，我们讨论了欧几里得空间中的正交补子空间和正交投影定理，这在数据拟合和信号处理中具有基础性意义。 第七章：二次型与主轴变换 二次型是研究多元二次多项式的核心。我们首先将二次型与对称矩阵联系起来，并利用配方法（尽管在理论中不如矩阵方法优越）帮助理解概念。本章的重头戏是谱定理（Spectral Theorem）在实对称矩阵上的应用。通过特征值分解，我们展示了如何通过正交相似变换将二次型化为只含平方项的对角形式，即主轴变换。这在几何上对应于消除坐标轴间的耦合项，使得椭圆、双曲面等二次曲面的分析变得异常直观和简便。我们还讨论了正定、半正定矩阵的判据，及其在优化问题中的重要性。 结语：代数思维的构建 本书的最终目标是培养读者严谨的数学思维和强大的代数建模能力。通过对群、环、域等基本结构的层层递进，以及对向量空间和线性变换的深刻理解，读者将能够跨越不同数学分支的界限，以统一的代数视角审视和解决复杂问题。本书内容深度和广度兼备，既是严格数学专业的理想教材，也是需要扎实代数基础的理工科高年级学生和研究人员的有力参考书。

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这本书的排版和装帧设计非常考究，初拿到手的时候，那种沉甸甸的质感就让人心生敬畏。更让我惊喜的是，作者在讲解每一个定理和推论时，都配上了详尽的几何直观解释。以前那些抽象的数学概念，比如相平面分析中的稳定性和极限环，总是让我感到云里雾里，但这本书里清晰的图形演示和严谨的文字对应，一下子就点亮了我的理解。我尤其欣赏它在理论深度与教学易读性之间找到的那个完美的平衡点。它既能满足专业研究人员对严密性的要求，又不会让初学者望而却步。每一次翻阅，都能发现新的细节和更深层次的联系。它不是那种读一遍就束之高阁的书籍，更像是一本工具书，或者说，一本可以常伴左右的数学伴侣，每次重读都会带来新的感悟和对知识的巩固。

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这本书最让我称道的一点，是它对历史背景和实际应用的尊重与整合。作者不仅仅是罗列公式，而是巧妙地穿插讲述了各个数学家是如何在解决实际的物理或工程难题中孕育出这些理论的。例如，关于变分法的引入，就清晰地勾勒出了它如何从最小作用量原理中诞生，并最终发展成为现代分析的基石。这种“知其所以然”的叙事方式，极大地增强了学习的趣味性和目的性。它让我意识到，数学不是空中楼阁，而是人类改造和理解世界最强有力的工具。当我看到那些看似纯粹的数学构造，竟然能完美地描述天体运行或流体力学现象时，那种跨越学科壁垒的震撼感，是任何纯理论书籍都无法给予的。

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我必须承认，这本书的难度系数不低，但它的挑战性恰恰是其魅力所在。作者没有选择用最简化的、可能只适用于特定初级课程的教材语言来敷衍读者，而是毫不回避地展现了现代微分方程研究的前沿和复杂性。书中涉及的许多高级话题，比如泛函分析在微分方程中的应用，虽然起初读起来有些吃力，需要配合其他高等数学书籍来辅助理解，但一旦攻克下来，那种智力上的满足感是无与伦比的。它迫使我跳出舒适区，去进行真正的、深入的思考和推理。这本书的价值不在于“学会”了多少解法，而在于它培养了一种面对未知数学难题时，那种沉着应对、步步为营的科学精神和解决问题的能力。这是一次思维的马拉松，而非短跑。

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这本书给我带来的冲击是巨大的，它简直像一把手术刀，精准地剖开了我过去对“数学”这个概念的模糊认知。我一直以为，学习微分方程就是背诵那些复杂的公式，然后机械地代入数字，求解结果。这本书彻底颠覆了我的想法。它不是冰冷的公式堆砌，而是一部充满生命力的思想史诗。作者在引导我们理解如何从物理世界的现象——比如弹簧的振动、电路中的电流变化——抽象出数学模型时，那种深入浅出的叙述方式，让我仿佛亲身参与了科学家的思考过程。特别是关于定性分析的部分，它教我如何不求甚解，而是去洞察方程背后的“行为模式”，这远比找到一个精确的解析解要来得深刻和实用。读完第一部分，我感觉自己的思维框架被重塑了，看待工程问题的方式也变得更加立体和具有预见性。它让我明白，数学语言的优美之处，正在于它能用最简洁的方式描述最复杂的现实。

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说实话，我这本书在图书馆的书架上已经躺了快一年才真正开始认真对待，一开始是抱着应付考试的心态随便翻了翻。但随着阅读的深入，我发现自己对“连续性”和“可微性”这些基本假设的理解，提升到了一个全新的维度。作者在处理奇异点和存在性理论时，展现出的严谨和细致令人叹服。他似乎总能预料到读者可能产生的疑问，并在适当的时机给出反例或更具启发性的讨论。这本书的章节安排也极具匠心，从基础的线性理论平滑过渡到非线性的复杂世界，每一步都铺垫得恰到好处，保证了知识体系的完整性。它不仅仅是一本教科书，更像是一部关于数学严谨性哲学的深度探讨，让人在不知不觉中，对学术研究的态度也变得更加审慎和尊重。

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作者只在宁波大学学报和几个会议上发过几篇很弱的文章，竟然能在复旦做到博导，教授。

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校对还是不太行……一读到定性理论那章，lw老师那和蔼又不失邪恶的笑容便浮现在我眼前。

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专业课越来越复杂难懂了. 唉| 没有好好学 现在期末 FIGHTIT！

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林伟写得好！