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價格:28.80元

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isbn號碼:9787563620319

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圖書標籤:

• 高等代數
• 解析幾何
• 數學
• 大學教材
• 理工科
• 數學分析
• 綫性代數
• 幾何
• 函數
• 方程

《微積分基礎：理論與應用》 圖書簡介 本書旨在為讀者構建堅實的微積分學基礎，深入淺齣地闡述極限、導數和積分的核心概念及其在自然科學和社會科學中的廣泛應用。不同於傳統的、側重於繁復公式推導的教材，本書更加強調數學思想的內在邏輯和實際問題的建模能力。全書內容組織嚴謹，邏輯清晰，力求在保證理論深度的同時，提升讀者的直觀理解和解決實際問題的能力。 第一部分：極限與連續性——微積分的基石 本部分是理解微積分所有後續概念的起點。我們從直覺齣發，逐步精確地定義極限的概念。 第一章：極限的精確定義與計算 本章首先介紹瞭數列的極限，並嚴格定義瞭 $varepsilon - N$ 語言，幫助讀者理解極限的本質。隨後，我們過渡到函數的極限，詳細探討瞭左極限、右極限以及極限存在的充要條件。著重分析瞭如何利用洛必達法則（在後續章節中證明其正確性）處理未定式，以及無窮極限和在無窮遠處極限的幾何意義。我們特彆設置瞭“極限在誤差分析中的作用”這一小節，展示極限如何成為精確測量的理論保障。 第二章：連續性與不連續點 連續性是微積分中描述函數行為“平滑性”的關鍵概念。本章首先定義瞭函數在一點的連續性，並擴展到閉區間上的連續性。我們深入證明瞭介值定理和極值定理（又稱魏爾斯特拉斯定理）的嚴謹性，這些定理是應用微積分解決存在性問題的基礎。對於不連續點，我們係統分類討論瞭可去間斷點、跳躍間斷點和無窮間斷點，並探討瞭它們在實際係統中的物理意義，例如物理量突變或係統失穩的臨界點。 第二部分：微分學——變化率的度量 微分學是研究瞬時變化率的數學工具。本部分將從平均變化率過渡到瞬時變化率，並探究導數的幾何和物理含義。 第三章：導數的定義與基本求導法則 本章以切綫斜率和瞬時速度這兩個經典問題引入導數的概念。我們詳細闡述瞭導數的四則運算法則，並給齣瞭三角函數、指數函數和對數函數的求導公式。特彆地，本章花大力氣剖析瞭復閤函數的求導法則（鏈式法則），並通過多層嵌套的實例強調其重要性，指齣鏈式法則在構建復雜模型時的不可替代性。 第四章：高階導數與隱函數求導 高階導數是描述麯率和加速度等更深層次變化特徵的工具。我們定義瞭二階導數和 $n$ 階導數，並探討瞭它們在物理學中與加速度和角加速度的關係。隱函數求導法被詳細介紹，用於處理那些不易或無法明確錶達為 $y=f(x)$ 形式的關係式，例如圓錐麯綫的方程，這對於理解多變量函數（在後續內容中提及）的微分至關重要。 第五章：導數的應用與中值定理 這是理論與實踐結閤最緊密的一章。我們從幾何角度證明瞭羅爾定理，並以此為基礎推導齣拉格朗日中值定理（均值定理）。中值定理是理解導數平均值與瞬時值之間關係的核心。隨後，我們應用導數研究函數的單調性、極值點和凹凸性，並利用洛必達法則解決極限問題。本章的實踐部分包括：使用導數進行函數圖像的精確描繪，以及在物理學和經濟學中建立優化模型（如最小成本、最大利潤問題）。 第三部分：積分學——纍積與求和 積分學是與微分學相對立的概念，它關注的是積纍總量。本部分從黎曼和的直觀概念齣發，建立定積分和不定積分的理論框架。 第六章：定積分的構造與性質 本章首先介紹定積分的幾何意義——麯邊梯形的麵積。我們嚴格定義瞭黎曼和，並闡述瞭定積分存在的條件（如連續函數的可積性）。定積分的綫性性質、保序性以及區間可加性被詳細闡述。我們著重討論瞭牛頓-萊布尼茨公式的推導過程，該公式揭示瞭微分學與積分學的深刻聯係，是微積分學的核心定理。 第七章：積分的計算方法 計算積分是應用微積分的關鍵技能。本章係統性地介紹瞭積分學的“工具箱”，包括：換元積分法（反嚮應用鏈式法則）、分部積分法（反嚮應用乘法定律）以及有理函數的積分（通過部分分式分解）。本章提供瞭大量結構復雜的例題，旨在訓練讀者識彆並選擇最有效的積分技巧。 第八章：積分的應用 本章展示瞭定積分在求解幾何量和物理量中的強大威力。我們不僅計算瞭平麵圖形的麵積，還擴展到更復雜的應用，如鏇轉體的體積（圓盤法和殼層法）、麯綫的弧長，以及物理學中功、質心和轉動慣量的計算。這些應用案例旨在強化讀者將實際問題轉化為積分錶達式的能力。 第九章：反常積分與級數初步 本章是對積分學領域的擴展。我們介紹瞭反常積分（廣義積分），處理積分區間無限或被積函數存在奇點的積分，並討論瞭其收斂性判據。最後，我們引入瞭無窮級數的概念，作為連接積分學與後續更高級數學分析的橋梁，初步探討瞭級數的收斂性問題，為理解泰勒展開式埋下伏筆。 本書的特色在於大量的幾何解釋和跨學科的實例分析，確保讀者不僅“知道如何計算”，更能“理解為何如此”。我們避免瞭在初級階段引入多變量函數或嚮量微積分的復雜性，專注於夯實一元函數微積分的理論基礎和應用深度。

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