綫性代數 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:四川西南財經大學

作者:塗曉青，李捷編著

出品人:

頁數:0

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出版時間:

價格:12.00元

裝幀:

isbn號碼:9787810882866

叢書系列:

圖書標籤:

• 綫性代數
• 矩陣
• 嚮量
• 行列式
• 特徵值
• 特徵嚮量
• 綫性方程組
• 嚮量空間
• 數學
• 高等數學

宇宙的織錦：從歐幾裏得的直覺到高維空間的結構 一、 緒論：從看得見的秩序到不可見的結構 在人類文明的漫長探索曆程中，我們從未停止對“秩序”的追尋。早期的幾何學，以歐幾裏得的《幾何原本》為代錶，建立瞭一個基於可觀察的、三維空間中點、綫、麵的和諧體係。然而，隨著科學的深入，尤其是在物理學、工程學乃至經濟學等領域，我們發現許多現象的本質無法被清晰的圖畫所描繪，它們存在於更高維度的抽象空間中，依賴於一組相互關聯的量值來定義。 本書並非探討歐氏幾何的平麵展開，而是將目光投嚮一種更基礎、更具生成性的數學語言——那就是結構。我們探討的是如何用一套嚴謹的代數工具，去描述和操作那些由多個變量構成的復雜係統。它關乎於“如何將一組事物進行有效的組閤、分解和轉換”，而非僅僅描述這些事物本身的外觀。 想象一個復雜的物理係統，比如一個由無數彈簧和質量塊組成的振動網絡。要精確預測這個係統的任何一個瞬間的狀態，僅憑牛頓定律的直接應用是繁瑣且易錯的。我們需要一個框架，能夠將這些獨立的運動方程整閤起來，形成一個統一的、可操作的整體。這個框架，就是我們即將構建的代數結構的基礎。 本書的初衷，是引導讀者從直觀的算術思維，跨越到抽象的嚮量空間概念，理解這些看似冰冷的符號背後，蘊含著對現實世界動態過程的深刻洞察力。 二、 嚮量與場域：構建世界的基石 任何係統，無論是描述電磁場的強度，還是記錄股市中不同資産的日迴報率，都可以被抽象為一組有序的數值集閤。這些集閤，我們稱之為嚮量。嚮量不僅僅是帶有方嚮的箭頭，它們是係統狀態的快照。 我們首先需要定義這些狀態可以在何種“規則”下相互作用。這引齣瞭場域（或稱數域）的概念。我們通常熟悉的實數和復數構成瞭我們進行加法、減法、乘法和除法運算的“沙盤”。場域的引入，確保瞭運算的封閉性和一緻性，使得任何代數操作的結果依然具有意義。 在定義瞭這些基本元素之後，我們深入研究嚮量的綫性組閤。一個嚮量能否由其他幾個嚮量“生成”齣來？這便是“生成集”的核心問題。我們探討瞭綫性組閤的唯一性、冗餘性，並最終提齣瞭綫性相關性這一關鍵概念。綫性相關意味著係統內部存在著信息冗餘，某些量是其他量的組閤，我們可以藉此簡化描述。 三、 空間的骨架：基與維度的確立 如果說嚮量是構成世界的“磚塊”，那麼基（Basis）就是決定這個世界結構形態的“骨架”。一個空間的基，是該空間中一組最小的、非冗餘的綫性無關嚮量集閤，它們擁有“生成一切”的能力。 我們將深入探討如何從一個任意的嚮量集閤中提煉齣它的基，這個過程本質上是對係統進行“去冗餘化”的提純過程。一旦確定瞭基，我們就為這個空間賦予瞭一個“坐標係”。所有復雜的嚮量，都可以被唯一地錶示為基嚮量的綫性組閤，這些組閤的係數，便是我們尋找的坐標。 至此，我們完成瞭從描述物理實體到描述其代數結構的關鍵一步：維度的概念由此自然産生。維度，即基嚮量的數量，它定義瞭一個空間復雜度的內在量度，與我們日常理解的三維空間概念有著深刻的聯係，但其適用範圍遠超於此。 四、 變換的藝術：矩陣的魔力 現實世界是動態的，係統狀態總是在不斷變化。例如，一個物體可能在做鏇轉、拉伸或投影。在抽象的代數世界中，這些變化被精確地描述為綫性映射或綫性變換。 一個綫性變換，本質上是將一個嚮量空間中的元素，以一種保持“綫性結構”的方式，映射到另一個嚮量空間中。我們發現，任何一個綫性變換，都可以被一個精心構造的矩陣所完全代錶。 矩陣，不再僅僅是一組數字的排列，它成為瞭“操作指令”的載體。通過矩陣乘法，我們可以將一個係統的初始狀態，通過一步或多步變換，得到其最終狀態。我們分析矩陣的秩（Rank），這揭示瞭變換後空間的維度，即信息有多少被保留下來；我們研究零空間（Null Space）和列空間（Column Space），它們分彆代錶瞭變換中被“抹去”的信息和變換後能達到的狀態範圍。 五、 結構深處的秘密：特徵值與係統的穩定性 在分析許多動態係統時，我們關心一個特定的問題：是否存在一些特殊的嚮量，它們在經過綫性變換後，僅僅是按比例縮放，方嚮保持不變？這些特殊的嚮量就是特徵嚮量，而與之對應的縮放因子，就是特徵值。 特徵值的發現，是分析係統穩定性和長期行為的鑰匙。在工程和物理學中，特徵值可能對應於係統的固有頻率、共振模式，或者係統的增長/衰減速率。如果一個係統由矩陣 $A$ 描述，那麼特徵值 $lambda$ 告訴我們，在特徵嚮量 $v$ 的方嚮上，係統會以 $lambda$ 的速度進行演化。 我們還將探索對角化的可能性。如果一個係統恰好擁有一組完備的特徵嚮量作為基，那麼我們可以通過“換坐標係”的方式，將復雜的矩陣變換簡化為一個簡單的對角矩陣——相當於將復雜的耦閤運動，分解為一係列獨立的、易於分析的簡單運動。 六、 正交性與優化：尋找最優投影 在探索嚮量空間時，我們引入瞭內積的概念，這使得我們能夠定義角度和長度，從而引入正交性（垂直性）。正交基，即互相垂直的基嚮量集閤，是數學中最理想的坐標係，因為它極大地簡化瞭坐標的計算。 本書將詳細介紹施密特正交化過程，它提供瞭一種係統性的方法，將任意給定的基（無論它們是否垂直），轉化為一組正交的基。這種轉換的能力，在信號處理和數據壓縮中具有核心地位。 此外，正交性是解決“不可能任務”——即在現有空間中尋找最優解——的關鍵。當我們麵對一個方程組無解時（例如，過多的測量數據導緻方程組超定），我們尋求的是最小二乘解。這個解的幾何意義，就是將期望的嚮量，正交投影到我們能達到的最佳子空間上。 結語：從計算到洞察 本書的旅程，是從具體可數的點和綫開始，最終抵達抽象的、高維度的結構空間。我們所學的工具，是現代科學和工程學的通用語言。它不再僅僅是求解方程的技巧，而是一種理解復雜係統相互依賴關係和內在穩定性的思維模式。掌握瞭這些原理，我們便能夠更好地描述自然現象的普遍規律，設計更高效的算法，並以一種全新的、基於結構的視角去審視我們周圍的世界。

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