线性代数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:四川西南财经大学

作者:涂晓青，李捷编著

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:12.00元

装帧:

isbn号码:9787810882866

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 矩阵
• 向量
• 行列式
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• 特征向量
• 线性方程组
• 向量空间
• 数学
• 高等数学

宇宙的织锦：从欧几里得的直觉到高维空间的结构 一、 绪论：从看得见的秩序到不可见的结构 在人类文明的漫长探索历程中，我们从未停止对“秩序”的追寻。早期的几何学，以欧几里得的《几何原本》为代表，建立了一个基于可观察的、三维空间中点、线、面的和谐体系。然而，随着科学的深入，尤其是在物理学、工程学乃至经济学等领域，我们发现许多现象的本质无法被清晰的图画所描绘，它们存在于更高维度的抽象空间中，依赖于一组相互关联的量值来定义。 本书并非探讨欧氏几何的平面展开，而是将目光投向一种更基础、更具生成性的数学语言——那就是结构。我们探讨的是如何用一套严谨的代数工具，去描述和操作那些由多个变量构成的复杂系统。它关乎于“如何将一组事物进行有效的组合、分解和转换”，而非仅仅描述这些事物本身的外观。 想象一个复杂的物理系统，比如一个由无数弹簧和质量块组成的振动网络。要精确预测这个系统的任何一个瞬间的状态，仅凭牛顿定律的直接应用是繁琐且易错的。我们需要一个框架，能够将这些独立的运动方程整合起来，形成一个统一的、可操作的整体。这个框架，就是我们即将构建的代数结构的基础。 本书的初衷，是引导读者从直观的算术思维，跨越到抽象的向量空间概念，理解这些看似冰冷的符号背后，蕴含着对现实世界动态过程的深刻洞察力。 二、 向量与场域：构建世界的基石 任何系统，无论是描述电磁场的强度，还是记录股市中不同资产的日回报率，都可以被抽象为一组有序的数值集合。这些集合，我们称之为向量。向量不仅仅是带有方向的箭头，它们是系统状态的快照。 我们首先需要定义这些状态可以在何种“规则”下相互作用。这引出了场域（或称数域）的概念。我们通常熟悉的实数和复数构成了我们进行加法、减法、乘法和除法运算的“沙盘”。场域的引入，确保了运算的封闭性和一致性，使得任何代数操作的结果依然具有意义。 在定义了这些基本元素之后，我们深入研究向量的线性组合。一个向量能否由其他几个向量“生成”出来？这便是“生成集”的核心问题。我们探讨了线性组合的唯一性、冗余性，并最终提出了线性相关性这一关键概念。线性相关意味着系统内部存在着信息冗余，某些量是其他量的组合，我们可以借此简化描述。 三、 空间的骨架：基与维度的确立 如果说向量是构成世界的“砖块”，那么基（Basis）就是决定这个世界结构形态的“骨架”。一个空间的基，是该空间中一组最小的、非冗余的线性无关向量集合，它们拥有“生成一切”的能力。 我们将深入探讨如何从一个任意的向量集合中提炼出它的基，这个过程本质上是对系统进行“去冗余化”的提纯过程。一旦确定了基，我们就为这个空间赋予了一个“坐标系”。所有复杂的向量，都可以被唯一地表示为基向量的线性组合，这些组合的系数，便是我们寻找的坐标。 至此，我们完成了从描述物理实体到描述其代数结构的关键一步：维度的概念由此自然产生。维度，即基向量的数量，它定义了一个空间复杂度的内在量度，与我们日常理解的三维空间概念有着深刻的联系，但其适用范围远超于此。 四、 变换的艺术：矩阵的魔力 现实世界是动态的，系统状态总是在不断变化。例如，一个物体可能在做旋转、拉伸或投影。在抽象的代数世界中，这些变化被精确地描述为线性映射或线性变换。 一个线性变换，本质上是将一个向量空间中的元素，以一种保持“线性结构”的方式，映射到另一个向量空间中。我们发现，任何一个线性变换，都可以被一个精心构造的矩阵所完全代表。 矩阵，不再仅仅是一组数字的排列，它成为了“操作指令”的载体。通过矩阵乘法，我们可以将一个系统的初始状态，通过一步或多步变换，得到其最终状态。我们分析矩阵的秩（Rank），这揭示了变换后空间的维度，即信息有多少被保留下来；我们研究零空间（Null Space）和列空间（Column Space），它们分别代表了变换中被“抹去”的信息和变换后能达到的状态范围。 五、 结构深处的秘密：特征值与系统的稳定性 在分析许多动态系统时，我们关心一个特定的问题：是否存在一些特殊的向量，它们在经过线性变换后，仅仅是按比例缩放，方向保持不变？这些特殊的向量就是特征向量，而与之对应的缩放因子，就是特征值。 特征值的发现，是分析系统稳定性和长期行为的钥匙。在工程和物理学中，特征值可能对应于系统的固有频率、共振模式，或者系统的增长/衰减速率。如果一个系统由矩阵 $A$ 描述，那么特征值 $lambda$ 告诉我们，在特征向量 $v$ 的方向上，系统会以 $lambda$ 的速度进行演化。 我们还将探索对角化的可能性。如果一个系统恰好拥有一组完备的特征向量作为基，那么我们可以通过“换坐标系”的方式，将复杂的矩阵变换简化为一个简单的对角矩阵——相当于将复杂的耦合运动，分解为一系列独立的、易于分析的简单运动。 六、 正交性与优化：寻找最优投影 在探索向量空间时，我们引入了内积的概念，这使得我们能够定义角度和长度，从而引入正交性（垂直性）。正交基，即互相垂直的基向量集合，是数学中最理想的坐标系，因为它极大地简化了坐标的计算。 本书将详细介绍施密特正交化过程，它提供了一种系统性的方法，将任意给定的基（无论它们是否垂直），转化为一组正交的基。这种转换的能力，在信号处理和数据压缩中具有核心地位。 此外，正交性是解决“不可能任务”——即在现有空间中寻找最优解——的关键。当我们面对一个方程组无解时（例如，过多的测量数据导致方程组超定），我们寻求的是最小二乘解。这个解的几何意义，就是将期望的向量，正交投影到我们能达到的最佳子空间上。 结语：从计算到洞察 本书的旅程，是从具体可数的点和线开始，最终抵达抽象的、高维度的结构空间。我们所学的工具，是现代科学和工程学的通用语言。它不再仅仅是求解方程的技巧，而是一种理解复杂系统相互依赖关系和内在稳定性的思维模式。掌握了这些原理，我们便能够更好地描述自然现象的普遍规律，设计更高效的算法，并以一种全新的、基于结构的视角去审视我们周围的世界。

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