Finite-Difference Methods for Partial Differential Equations (Dover Phoenix Editions) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:George E. Forsythe

出品人:

页数:444

译者:

出版时间:2004-11-23

价格:USD 75.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780486439174

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 有限差分法
• 数值分析
• 科学计算
• Dover书籍
• 数学
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• 算法
• 计算方法
• 应用数学

数值分析与计算方法：深入探讨微分方程的求解艺术 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探索解决各类复杂数学问题的核心工具——数值分析与计算方法。我们聚焦于如何将抽象的数学模型转化为计算机可以处理的离散形式，并借助高效的算法实现精确的近似解。全书结构严谨，内容覆盖面广，理论阐述与实际应用紧密结合，旨在培养读者扎实的理论基础和强大的解决实际问题的能力。 第一部分：基础理论与离散化艺术 本书首先从数值分析的基石概念入手。我们详细阐述了误差的来源、类型及其量化方法，包括截断误差和舍入误差的分析，为后续所有数值方法的可靠性奠定基础。理解误差的性质是选择和设计数值方法的前提。 接着，我们深入探讨了函数逼近的理论。牛顿插值法、拉格朗日插值法以及分段插值（如样条插值）被系统地介绍。我们不仅展示了如何构造这些插值多项式，更侧重于分析它们在不同函数空间下的收敛性和稳定性。特别是样条函数，因其良好的光滑性，在工程和数据拟合中扮演着重要角色，本书会详尽讨论三次样条的构建与性质。 在离散化技术方面，本书引入了泰勒级数展开的强大力量，这是将连续问题转化为代数问题的桥梁。我们详细分析了如何利用泰勒展开来构造各种有限差分公式，包括前向、后向以及中心差分格式，并严格推导了它们的局部截断误差阶数。 第二部分：线性方程组的求解与矩阵运算 许多物理和工程问题，在经过离散化后，最终归结为求解大型稀疏线性方程组 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$。本部分致力于讲解求解这类方程组的各种高效算法。 对于中小型稠密矩阵，我们详细分析了直接法，如高斯消元法、LU分解、Cholesky分解及其在数值稳定性方面的考量。分解技术的应用，如如何通过LU分解加速求解具有相同系数矩阵但不同右端项的系统，是本章的重点。 更重要的是，考虑到实际应用中系统矩阵往往是巨大且稀疏的，本书将大量篇幅用于介绍迭代法。我们系统地讨论了雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法，并着重讲解了收敛性分析，特别是谱半径与迭代稳定性的关系。在此基础上，我们引入了更先进的预条件子技术和 Krylov 子空间方法，如共轭梯度法（CG）和广义最小残量法（GMRES）。这些方法是处理大规模科学计算问题的核心工具。 此外，本部分还涵盖了矩阵的特征值问题。我们讨论了幂迭代法、反幂迭代法以及 QR 算法，这些方法在系统动力学分析和主成分分析等领域具有不可替代的作用。 第三部分：常微分方程的数值积分 常微分方程（ODEs）是描述动态系统的基本数学语言。本书将常微分方程的求解分为常微分方程的初值问题（IVPs）和边值问题（BVPs）。 针对 IVPs，我们从最基础的欧拉方法开始，逐步过渡到更高精度的单步法，如龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法。我们不仅展示了著名的 RK4 算法，还会讨论如何设计具有特定性质（如稳定性和一致性）的显式和隐式 RK 方法。 对于隐式方法的应用，我们特别强调了处理刚性（Stiff）系统的挑战。刚性系统要求采用特殊的积分器，如后向欧拉法或隐式中点法，本书将深入分析这些方法的稳定区域，特别是 A-稳定性。 对于 BVPs，我们侧重于有限差分方法在处理二阶常微分方程上的应用。通过对边界条件的巧妙离散化，我们将边值问题转化为一个代数方程组，这为理解后续的偏微分方程求解奠定了坚实的代数基础。 第四部分：偏微分方程的数值方法概览 本部分是全书的综合与升华，我们将数值分析的工具箱应用于描述物理场（如热传导、流体动力学和波动现象）的偏微分方程（PDEs）。我们将 PDE 的求解方法归纳为三大主流范式：有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）以及有限体积法（FVM）。 有限差分法在 PDE 中的应用： 我们深入分析了热传导方程（抛物型）、波动方程（双曲型）和泊松方程（椭圆型）的 FDM 离散化。对于抛物型方程，我们详细比较了显式（如 FTCS 格式）和隐式（如 Crank-Nicolson 格式）方法的稳定性和精度，并讨论了如何通过线性代数技术求解隐式格式。对于椭圆型方程，我们展示了如何利用离散拉普拉斯算子构建线性系统，并结合迭代求解策略。 面向有限元法的简介： 虽然本书的核心工具是差分法，但为了提供全面的视野，我们对有限元方法进行了概念性的介绍。重点阐述了变分原理（弱形式）的建立过程，以及形函数（Shape Functions）在构建刚度矩阵中的作用。这有助于读者理解 FEM 在处理复杂几何结构和非均匀介质时的优势。 面向有限体积法的应用场景： 我们简要介绍了有限体积法在守恒型方程（如流体力学）求解中的独特地位，强调了其在保证物理量守恒性方面的优势。 第五部分：稳定性、收敛性与计算验证 数值方法的有效性不仅取决于其精度，更取决于其稳定性。本部分专注于理论分析工具，以确保数值解的可靠性。 我们引入了冯·诺依曼稳定性分析方法，用于评估时间步长对偏微分方程显式格式稳定性的影响，从而推导出 CFL 条件。此外，我们还讨论了离散解收敛到连续解的严格证明框架，包括一致性、稳定性和收敛性之间的关系（Lax 等价定理的理念阐述）。 最后，本书强调了计算验证的重要性。我们探讨了网格收敛研究（Mesh Refinement Study）的实践方法，以及如何利用解析解或已知的基准解对数值结果进行交叉检验。引入适当的基准算例和误差指标，帮助读者形成严谨的科学计算习惯。 本书的每一章都配有精心设计的习题，旨在巩固理论理解并鼓励读者动手实践，最终目标是让读者不仅理解“如何”计算，更深刻理解“为什么”采用特定的数值策略。

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