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出版者:Dover Publications

作者:S. James Press

出品人:

页数:704

译者:

出版时间:2005-6-28

价格:USD 34.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486442365

丛书系列:

图书标签:

• 多元统计分析
• 应用统计学
• 数据分析
• 回归分析
• 方差分析
• 聚类分析
• 因子分析
• 判别分析
• 统计建模
• 机器学习

统计学核心概念与现代应用：深入解析线性代数与概率论的桥梁 本书旨在为读者提供一个全面且深入的统计学基础，重点聚焦于支撑现代数据分析的数学原理，特别是线性代数和概率论在统计推断中的核心作用。我们摒弃了单纯的公式堆砌，转而强调概念的内在逻辑、几何意义以及实际应用中的解释能力。全书结构严谨，从基础的集合论和测度论开始，逐步构建起严密的概率论框架，随后无缝过渡到多维数据的核心工具——多元统计分析的理论基石。 第一部分：概率论的严谨基础与随机变量的深刻理解 本部分将概率论视为一种对不确定性进行量化的数学语言。我们首先回顾概率的基本公理，并利用集合论的视角来精确定义样本空间、事件以及概率测度。随后，我们将详细探讨随机变量的定义，区分离散型、连续型及混合型随机变量，并深入讲解它们的概率分布函数（PMF, PDF, CDF）。 重点章节将放在矩（Moments）的计算及其在描述随机变量特征中的重要性，特别是期望值和方差的物理和统计学意义。期望值不仅仅是平均值，更是随机变量的最佳线性估计的体现；方差则量化了不确定性的程度。我们不会止步于一维随机变量，而是会用大量篇幅处理联合分布，揭示多个随机变量之间相互依赖关系的数学表达——协方差和相关系数。这里的相关性分析将避免常见的误区，强调相关不蕴含因果的严格界限。 高等概率部分，本书将引入大数定律（Law of Large Numbers, LLN）和中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）。LLN 阐明了样本均值如何收敛于总体期望，这是所有频率学派统计推断的哲学基础；而 CLT 则解释了为什么正态分布在自然界和统计推断中扮演如此核心的角色，即使原始数据分布未知，大量独立同分布随机变量之和的标准化形式也会趋于标准正态分布。这部分内容将结合特征函数（Characteristic Functions）进行更深层次的数学论证，特征函数因其在处理独立随机变量和收敛性证明中的优雅性而被高度推崇。 第二部分：线性代数的几何视角与统计模型的构建 统计学，尤其是多元统计，是线性代数在数据空间中的具体应用。本部分旨在重塑读者对矩阵和向量的理解，将其从纯粹的代数运算提升到几何变换的直观认识。我们将详细审视向量空间、子空间、基（Basis）和维度的概念，这些构成了我们描述和操作数据集的框架。 核心内容围绕矩阵的分解展开，包括但不限于： 1. 行列式与逆矩阵： 不仅计算其值，更侧重于其在判断系统是否唯一可解性（即数据是否包含冗余信息）上的意义。 2. 特征值与特征向量： 它们是理解矩阵线性变换内在属性的关键。对于一个数据协方差矩阵而言，特征向量指向方差最大的方向（主成分的方向），特征值则量化了这些方向上的变异程度。 3. 奇异值分解（SVD）： 作为最强大和最稳定的矩阵分解技术之一，SVD 将被介绍为处理任意矩阵（包括非方阵、奇异矩阵）的万能工具，它在降维、数据压缩和噪声消除中的应用将被详尽阐述。 此外，本书将深入探讨投影和最小二乘法。在线性模型中，寻找最佳拟合线本质上是将观测值向量投影到由解释变量张成的子空间上的过程。我们将使用投影矩阵来清晰地展示这一几何过程，从而为后续的回归分析奠定坚实的几何基础。正交性（Orthogonality）的概念在简化模型计算和保证估计量有效性方面的重要性将被反复强调。 第三部分：统计推断与参数估计的理论框架 基于前两部分的数学准备，本部分开始正式探讨如何从样本推断总体。我们将系统介绍估计量的性质，特别是无偏性（Unbiasedness）、一致性（Consistency）、有效性（Efficiency）和渐近正态性（Asymptotic Normality）。 点估计方面，我们将详细比较不同估计方法的优劣： 矩估计法（Method of Moments, MoM）： 基于样本矩与总体矩的相等性假设，方法直观但效率不一定最高。 最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）： 这是最重要、应用最广泛的点估计方法。我们将推导其似然函数、对数似然函数，并通过求解梯度为零的点来获取估计值。MLE 的渐近性质（如渐近有效性和渐近正态性）将被作为其核心优势进行论证。 区间估计（置信区间）的构建将紧密结合概率分布和渐近理论。我们将说明如何利用置信区间来量化估计的不确定性，并讨论在不同样本量和分布假设下应选择哪种区间估计方法（如基于t分布、Z分布或Bootstrap方法）。 最后，假设检验的框架将被清晰地构建起来。我们将严格区分 I 类错误（弃真）和 II 类错误（取伪），并引入功效（Power）的概念。从最简单的Z检验、t检验，到基于似然比检验（Likelihood Ratio Test）的更通用框架，本书将强调P值的正确解读及其在实际决策中的局限性。我们将展示，一个好的检验不仅要看P值的大小，更要看其设计（如是否使用了最优的检验统计量）。 第四部分：深入探讨经典统计模型——回归分析的深度剖析 本部分将回归分析视为一个多变量线性模型的实践应用，它将线性代数、概率论和推断方法完美地结合在一起。 多元线性回归（Multiple Linear Regression）是本部分的基石。我们将使用矩阵表示法（$mathbf{Y} = mathbf{X}mathbf{eta} + mathbf{epsilon}$）来导出普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）的解，并证明其估计量 $hat{mathbf{eta}} = (mathbf{X}^Tmathbf{X})^{-1}mathbf{X}^Tmathbf{Y}$ 在高斯-马尔可夫假设下是最佳线性无偏估计（BLUE）。 关键内容包括： 模型诊断： OLS 估计的前提假设（如误差项的独立性、同方差性、正态性）是至关重要的。我们将详细介绍残差分析的几何意义，包括对异方差性（Heteroscedasticity）和自相关性（Autocorrelation）的检验方法，并介绍如稳健标准误（Robust Standard Errors）等纠正措施。 变量选择与模型简化： 在包含大量潜在预测变量的模型中，如何选择最优子集是一个挑战。本书将比较和对比信息准则（如 AIC, BIC）的原理，它们本质上是在拟合优度与模型复杂度之间进行权衡（即惩罚模型复杂度的正则化思想的雏形）。 广义线性模型（Generalized Linear Models, GLM）的引言： 当响应变量不满足正态性假设时（如计数数据、二元事件），我们将介绍指数分布族、链接函数和方差函数，从而自然地过渡到逻辑回归（Logistic Regression）和泊松回归（Poisson Regression）的数学结构，展示如何用统一的框架来处理非正态响应变量。 本书的叙述风格力求清晰、精确，避免不必要的行话，致力于培养读者对统计推断背后的数学逻辑的直觉和批判性思维能力。完成本书的学习后，读者将不仅能够熟练地应用统计软件，更能理解软件输出结果的统计学意义，并对所用模型的适用性进行严格的判断。

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