Essays on the Theory of Numbers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Richard Dedekind

出品人:

页数:115

译者:

出版时间:1963-1-1

价格:USD 8.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486210100

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《数学之美：从数论到拓扑的探索之旅》 图书简介 本书并非专注于某一特定领域，而是一次跨越数学核心疆域的深度漫游。它旨在为有志于深入理解现代数学结构与内在逻辑的读者提供一座坚实的认知桥梁，其内容涵盖了从经典数论的精妙结构到高等拓扑学的抽象美感，同时穿插了数学史上的关键转折点与思想家的深刻洞察。全书共分为六大部分，每一部分都力求在保持严谨性的同时，展现数学思想的灵活性与创造力。 第一部分：数与结构的基石——经典数论的再审视 本部分将我们带回数学的源头——整数的世界，但采取了一种远超初级教材的视角。我们从丢番图方程的几何化解释开始，深入探讨二次型理论在代数数论中的奠基作用。重点解析了理想理论的诞生，即弗雷格（Frege）和戴德金（Dedekind）如何通过引入“理想”的概念，成功地挽救了费马大定理在某些扩张域中的证明尝试。 我们将详细剖析解析数论的黎明。高斯对素数分布的直觉如何被黎曼（Riemann）的$zeta$函数所量化，是本章的核心。我们不仅会复习素数定理的证明思路（可能采用维诺格拉多夫的三角和方法作为对比），更会探讨零点密室——黎曼猜想的深刻内涵：它不仅仅是关于素数分布的精确预测，更是对复分析与代数几何交汇点的深刻揭示。本章内容着重于展现数论的“硬度”和其与分析工具结合的强大威力。 第二部分：代数结构的宏伟殿堂——群、环与域的交响 从对数的精确描述转向对结构本身的抽象研究，是数学发展的一大飞跃。本部分是纯粹代数思想的集中展示。我们不满足于仅仅定义群、环和域，而是着重探讨它们如何被用来解决具体的几何和代数难题。 伽罗瓦（Galois）理论将是本部分的高潮。我们详细阐述了如何利用群论来判断一个多项式方程是否有根式解。这不仅仅是一个定理的证明，更是一种将对称性提升到核心地位的哲学转变。我们将分析交换代数的引入，探讨诺特（Noether）如何通过统一的环论框架，将代数几何中的曲线和曲面研究提升到新的高度。特别是对同调代数的初步介绍，会暗示未来如何用更精细的“代数工具包”来探测对象的内部结构。 第三部分：几何的延伸——从欧几里得到非欧几何的解放 几何不再仅仅是关于平面和空间的度量，它成为了关于变换和不变性的研究。本章首先回顾了双曲几何（罗巴切夫斯基和鲍伊亚伊的工作）的诞生，证明了第五公设的独立性如何动摇了数学的绝对确定性。 随后，我们将视角转向微分几何的诞生。高斯对曲面的“奇异内在性”的发现，标志着几何学从依赖外部嵌入向内在性质研究的转变。我们探讨了黎曼流形的概念，以及如何利用张量分析来描述曲率——这是理解爱因斯坦广义相对论的数学基础。本部分强调的是，几何学是关于如何在抽象空间中定义“直”和“曲”的方法论。 第四部分：连续性的考验——拓扑学与形变的艺术 拓扑学是研究物体在连续形变下保持不变的性质的学科。本章首先引入了拓扑空间的严格定义，并着重解释了紧致性、连通性以及同胚的概念。 我们深入探讨了代数拓扑的先驱工作，特别是庞加莱（Poincaré）引入的基本群（Fundamental Group）。它提供了一种代数手段来区分不同拓扑空间（例如，甜甜圈和球面）——通过研究穿过这些空间的“洞”的循环路径。我们将讨论布劳尔（Brouwer）的不动点定理及其在经济学和博弈论中的深刻应用，以此展示拓扑学的普遍影响力。 第五部分：度量的极限——泛函分析与无穷维空间 当我们的目光投向无限维空间时，经典分析的工具开始力不从心，泛函分析应运而生。本部分将积分和微分算子视为空间中的“点”，对这些“点”进行研究。 我们将详细考察希尔伯特空间的结构，理解完备性的重要性，以及傅里叶级数在无穷维空间中是如何被严格化的。重点在于算子理论，特别是谱理论，它揭示了自伴随算子（如薛定谔方程中的哈密顿量）的性质如何与物理世界中的可观测量直接关联。本章旨在揭示分析学如何从处理函数本身，转向研究函数构成的“空间”。 第六部分：逻辑的边界与数学的未来方向 本书的最后一部分将目光投向了数学自身的基础和限制。哥德尔（Gödel）的不完备性定理将被置于逻辑学与集合论的背景下进行探讨，分析其对数学确定性的影响。我们不会陷入晦涩的逻辑细节，而是着重理解其哲学含义：任何足够强大的形式系统，其内部都存在无法被证明或证伪的命题。 最后，本章会简要概述现代数学研究的前沿领域，例如范畴论（Category Theory）作为一种“数学的语言”如何试图统一代数、拓扑和逻辑；以及代数几何如何利用概形（Schemes）的概念，将代数与几何的联系推向极致。本书的结论在于强调：数学是一门永无止境的探索，其美丽在于其内在的逻辑一致性与无穷的开放性。 本书适合具有扎实的微积分和线性代数基础，并渴望从更深层次理解现代数学全貌的本科高年级学生、研究生以及专业人士阅读。全书穿插了大量的几何直观图和历史注释，力求使抽象概念变得可触可感。

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我一直对数学的抽象美和深刻逻辑着迷，特别是那些能够揭示数之本质的理论。最近，我在寻找一本能够引领我深入数论殿堂的著作，一本能够真正激发我思考，让我从全新的角度审视那些看似平凡的数字的。我曾听说过一些关于数论的经典之作，它们仿佛是知识的宝藏，等待着有心人去挖掘。我希望找到一本能够系统性地介绍数论的 foundational concepts，例如整除性、同余、素数分布等，同时又能触及一些更 advanced 的 topics，比如代数数论或者解析数论的入门。

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这本书的书名《Essays on the Theory of Numbers》本身就带有一种学者式的严谨和探索精神，让我联想到那些经典的数学论文集。我期望这本书能够呈现出一种“非一次性阅读”的体验，即每一篇“随笔”都像一个独立的思考单元，但又彼此关联，共同构建起一个完整的理论框架。这种结构非常适合我这种喜欢在碎片化时间里进行深度阅读的读者。我希望作者能够以一种清晰、富有洞察力的方式，将复杂的数学概念娓娓道来，避免枯燥的说教，而是通过精妙的例子和深刻的论证来引导读者。

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作为一名对数学充满热情的爱好者，我一直在寻找能够拓宽我数学视野的书籍。当看到《Essays on the Theory of Numbers》这个书名时，我立刻被它所蕴含的学术深度和探索精神所吸引。我希望这本书不仅仅是一本教科书，更像是一次与智者的对话，能够引领我穿越数的海洋，发现隐藏在数字背后的深刻真理。我期待它能够像一座灯塔，照亮我前行的道路，让我对数论的理解更加透彻，对数学的爱更加深沉。

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我对这本书最大的期待在于它能否激发我对于数论更深层次的理解。我不仅仅是想学习那些公式和定理，更想理解它们背后的思想，它们是如何被发现的，以及它们在整个数学体系中扮演的角色。我希望作者能够提供一些历史的视角，介绍数论发展过程中那些里程碑式的成就和关键人物，这样能够让我感受到数学发展的脉络和人类智慧的传承。同时，我也希望书中能够包含一些尚未完全解决的难题或者前沿的研究方向，这样能够让我感受到数学的生命力，并激励我去探索未知的领域。

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这本书的书名让人联想到高斯那部划时代的著作，同样是以“数论随笔”为名，奠定了现代数论的基础。我猜想，《Essays on the Theory of Numbers》或许在继承这种严谨治学精神的同时，也融入了现代数学的视角和方法。我期望书中能够看到一些在经典数论基础上发展出的新理论，例如关于二次互反律的各种证明方式的比较，或者对丢番图方程解法的新探索。我也希望书中能够涉及一些与代数、分析等其他数学分支的交叉，展示数论的普适性和与其他数学领域的紧密联系。

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Continuity and Irrational numbers. 非常优美的策略。关键概念的征用来自解决问题的实际需要。数学气息＞哲学气息。相当依赖geometric intuition.

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只读了第一篇和第二篇的前言

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Continuity and Irrational Numbers 一篇