具体描述
本书是教育部高职高专规划教材，是以教育部高职高专应用数学课程的基本要求为依据，吸收国外先进职业教育思想编写的。全书从培养财经、工程、管理类应用型、实用型人才的目标出发，突出“最优化”思想的主线，借鉴国外先进职业教育经验，在内容上有适度的超前性，如“图与网络分析”部分的内容，开创了国内同类型教材之先河。
全书分上、下两册，上册主要讲述一元微积分、二元微积分及矩阵；下册主要讲述事件与概率、随机变量的数字特征、统计推断、方差分析与回归分析、线性规划、图与网络分析等。
本书可作为财经、工程、管理类各专业高职、高专及成人高校和相关专业各类培训班的应用数学教材，也可作为各类工程技术人员及管理人员自学参考用书。
《高等应用数学（下册）》 内容概述 《高等应用数学（下册）》是一部面向理工科、经济学、管理学及相关领域高级专业人士和研究生的数学专著。本书系统地梳理和深入探讨了一系列在现代科学技术和工程实践中占据核心地位的高等应用数学分支，旨在为读者构建坚实的理论基础，并提供解决实际问题的强大工具。本书内容涵盖了偏微分方程的理论与数值方法、变分法与有限元方法、概率论与随机过程、傅里叶分析与小波分析、复变函数及其在工程中的应用，以及数值代数等重要领域。 第一部分：偏微分方程的理论与数值方法 本部分深入探讨了具有广泛应用价值的偏微分方程（PDEs）。首先，对经典 PDE，如拉普拉斯方程、泊松方程、波动方程和热传导方程的理论性质进行了详尽的分析，包括解的存在性、唯一性、光滑性以及边界条件的分类与处理。在此基础上，本书介绍了求解这些方程的多种解析方法，例如分离变量法、格林函数法以及一些特殊的积分变换技术。 然而，对于许多复杂实际问题，解析解往往难以获得。因此，本书将重点放在 PDE 的数值解法上。我们系统地介绍了有限差分法（FDM），从离散化方程、稳定性分析到收敛性证明，并通过大量算例展示了 FDM 在不同类型 PDE 求解中的应用。随后，本书详细阐述了有限元方法（FEM）。FEM 以其处理复杂几何区域和多种边界条件的能力而成为当今工程领域最强大的数值工具之一。我们将从变分原理出发，推导出有限元方程组，并深入讨论单元插值、刚度矩阵的构建、载荷向量的计算以及系统的组装和求解。FEM 在结构力学、流体力学、传热学等领域的经典应用将得到充分展示，并会涉及一些高级主题，如自适应网格剖分和高阶有限元。 第二部分：变分法与有限元方法 本部分将变分法视为连接数学理论与实际工程应用的关键桥梁。变分法研究的是如何寻找使某一函数（泛函）取极值的函数。本书首先从经典的变分问题入手，介绍了欧拉-拉格朗日方程的推导及其在力学、最优控制等领域的应用。例如，我们将探讨最小表面积问题、最短路径问题以及最优梁弯曲问题。 在此基础上，本书将变分法与有限元方法紧密结合。如前所述，有限元方法的数学基础正是变分原理。通过将连续域的变分问题转化为离散域的代数问题，FEM 能够有效地求解复杂的物理现象。本部分将进一步深化对 FEM 数学理论的理解，包括泛函的性质、Ritz-Galerkin 方法、弱形式的建立，以及它们与物理直观之间的联系。本书还将介绍一些更高级的 FEM 技术，如混合有限元法，用于求解一些具有特殊性质的 PDE，例如不可压缩流体流动问题。 第三部分：概率论与随机过程 在当今数据驱动的时代，概率论和随机过程是理解不确定性和建模动态系统不可或缺的工具。本部分系统地介绍了概率论的基本概念，包括随机事件、概率公理、条件概率、独立性、贝叶斯定理。我们将深入探讨随机变量的各种分布，如离散变量的伯努利、二项、泊松分布，以及连续变量的均匀、指数、正态、伽马、卡方分布等，并详细讲解其期望、方差、矩母函数和特征函数等重要统计量。 接着，本书将重点转向多维随机变量及其联合分布、边缘分布和条件分布。协方差矩阵、相关系数以及多维正态分布等概念将得到详细阐释。 随后，本书将引入随机过程的概念，将概率论的思想从静态的随机变量推广到动态的随机演化过程。我们将讨论平稳过程、马尔可夫链、泊松过程、布朗运动等经典随机过程模型。对于每一个随机过程，本书都将详细分析其统计性质、演化规律，并介绍其在通信、金融、物理、生物等领域的广泛应用。例如，我们将分析如何利用马尔可夫链对状态进行建模，如何使用泊松过程描述事件的随机发生，以及布朗运动在金融期权定价中的作用。 第四部分：傅里叶分析与小波分析 傅里叶分析是研究信号和函数的频率成分分解的强大数学工具，在信号处理、图像处理、通信系统、物理学等领域有着无与伦比的重要性。本部分首先从傅里叶级数开始，介绍周期函数的傅里叶级数展开，并讨论其收敛性。接着，我们将推广到非周期函数，引入傅里叶变换，详细讲解傅里叶变换的定义、性质（如线性、时移、频移、卷积定理等）及其在求解微分方程中的应用。 本书还将介绍傅里叶变换在离散信号分析中的重要变体——离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）算法，并分析它们在实际工程中的计算效率优势。 为了克服傅里叶分析在时间-频率局部化方面的不足，本书将进一步介绍小波分析。小波分析通过使用具有良好局部化性质的小波函数，能够同时分析信号的时间和频率信息。我们将介绍小波变换的基本概念，包括连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT），探讨不同类型的小波函数（如 Haar、Daubechies 小波）的性质，以及小波在信号去噪、特征提取、压缩和图像分析等方面的应用。 第五部分：复变函数及其在工程中的应用 复变函数理论是数学分析的重要分支，它为解决许多工程难题提供了全新的视角和强大的工具。本部分首先介绍复数的基本概念，如复数的代数形式、极坐标形式、复平面以及复数运算。接着，我们将引入复变函数，讨论函数的极限、连续性和导数。 本书将重点阐述解析函数的概念，并详细介绍柯西-黎曼方程，它是判断函数是否为解析函数的充要条件。我们将研究一些重要的解析函数，如指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数等在复数域的性质。 复积分和留数定理是复变函数理论中最具应用价值的部分。我们将讨论复积分的计算方法，如柯西-积分定理、柯西-积分公式，并着重介绍留数定理及其在计算实积分、求解特殊积分和微分方程中的应用。本书还将介绍保角映射及其在流体力学、弹性力学和电磁场理论中的应用。 第六部分：数值代数 数值代数主要研究如何使用计算机对代数问题进行近似求解。本部分将涵盖线性代数方程组的数值解法。我们将讨论直接法，如高斯消元法、LU 分解、Cholesky 分解，并分析它们的计算复杂度和数值稳定性。 随后，本书将重点介绍迭代法，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和 SOR 方法。我们将分析这些迭代法的收敛条件和收敛速度，并探讨它们在处理大规模稀疏矩阵问题时的优势。 此外，本部分还将涉及特征值和特征向量的计算。我们将介绍幂法、反幂法、QR 算法等求解特征值问题的方法，并讨论它们在模态分析、稳定性分析等工程问题中的应用。本书还将触及非线性方程组的数值求解，如牛顿法及其变种。 学习目标与读者群体 《高等应用数学（下册）》旨在帮助读者： 掌握核心理论： 深入理解偏微分方程、变分法、概率论、随机过程、复变函数等关键数学理论的精髓。 熟练运用方法： 掌握多种数值解法，如有限差分法、有限元法，以及复变函数和傅里叶分析等解析工具。 建立数学模型： 能够根据实际工程问题，选择合适的数学工具建立有效的数学模型。 解决实际问题： 运用所学知识，分析和解决工程、科学、经济等领域的复杂计算问题。 本书特别适合于以下读者群体： 高等院校理工科、经济学、管理学等专业的研究生。 从事科学研究和工程技术开发的工程师、研究人员。 对数学在现代科学中的应用感兴趣的专业人士。 本书在内容安排上循序渐进，理论讲解深入浅出，并辅以丰富的算例和习题，力求使读者在掌握理论的同时，也能具备实际应用的能力。通过学习本书，读者将能够更加自信地应对现代科学技术发展中遇到的复杂数学挑战。
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