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☆☆☆☆☆

出版者:Pearson

作者:Russell Gordon

出品人:

頁數:400

译者:

出版時間:2001-6-11

價格:USD 117.80

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780201437270

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學分析
• 實分析
• 高等數學
• 微積分
• 數學
• 分析學
• 數學教材
• 學術著作
• 理論數學
• 數學基礎

《理論分析導引》 這是一本為數學專業本科生和研究生設計的入門級教材，旨在為學習更高級分析課程打下堅實的基礎。本書著重於構建嚴謹的數學思維，引導讀者理解分析學中核心概念的本質，而非簡單羅列定理和證明。 內容概述： 全書共分為十一章，循序漸進地介紹瞭實分析的各個關鍵領域。 第一章：集閤與邏輯基礎 本章首先迴顧瞭集閤論的基本概念，包括集閤的定義、運算（並、交、差、補、冪集）、關係（相等、包含、子集）、函數（定義域、值域、單射、滿射、雙射、復閤函數、反函數）等。 隨後，深入講解瞭數學證明的邏輯基礎，重點在於命題邏輯、量詞（全稱量詞、存在量詞）、證明技巧（直接證明、反證法、數學歸納法、構造性證明、非構造性證明）。通過大量的例子，培養讀者清晰、嚴謹的邏輯推理能力。 第二章：實數係統 本章緻力於構建嚴謹的實數係統公理化體係。從有序域的公理齣發，逐步定義瞭數的加法、乘法、序關係，並引入瞭有理數和無理數的概念。 重點在於對實數完備性公理（如確界原理）的深入闡釋，它是理解收斂性、連續性等後續概念的關鍵。通過對各種性質的詳細推導，讓讀者深刻理解實數的結構和特性。 第三章：序列與極限 本章是進入分析學核心的起點。首先定義瞭序列及其收斂性，通過 $epsilon-N$ 語言精確刻畫瞭極限的概念。 詳細討論瞭收斂序列的性質，如收斂的充要條件（柯西序列）、單調收斂定理。 引入瞭極限的保號性、保序性等重要性質，並提供瞭豐富的例子和練習，幫助讀者熟練運用極限定義進行證明。 第四章：極限的運算 本章在第三章的基礎上，研究瞭收斂序列的代數運算。證明瞭收斂序列的和、差、積、商的極限性質，以及常數倍對極限的影響。 討論瞭界函數與收斂序列的乘積的極限。 引入瞭夾逼定理（或稱三明治定理）及其應用。 第五章：無窮序列和無窮級數 本章將序列的概念推廣到無窮級數。定義瞭級數的收斂性、發散性，以及部分和的概念。 深入研究瞭級數收斂的判彆方法，包括正項級數的比較判彆法、比值判彆法、根值判彆法；任意項級數的交錯級數判彆法（萊布尼茨判彆法）；以及絕對收斂與條件收斂的概念。 討論瞭級數的和的運算性質。 第六章：函數的極限與連續性 本章將序列的極限概念推廣到函數的極限。精確定義瞭函數在某一點的極限和在無窮遠處的極限，同樣使用 $epsilon-delta$ 語言。 討論瞭函數極限的保號性、保序性，以及夾逼定理在函數極限中的應用。 在此基礎上，引入瞭函數連續性的概念，並詳細分析瞭連續函數的性質。 重點證明瞭閉區間上連續函數的有界性、最值定理（極值定理）和介值定理。 第七章：一緻連續性 本章引入瞭比逐點連續更強的概念——一緻連續性。解釋瞭為什麼需要一緻連續性，並分析瞭它與逐點連續的區彆。 證明瞭在閉區間上連續的函數必是一緻連續的。 討論瞭一緻連續函數的性質及其在分析學中的重要作用，例如對序列的收斂性有更強的保障。 第八章：微分學基礎 本章介紹導數的定義，即函數在某一點的變化率。 詳細討論瞭導數的幾何意義和物理意義。 推導瞭基本的微分法則，如四則運算的求導法則、鏈式法則、反函數求導法則。 引入瞭高階導數的概念。 第九章：微分學應用 本章是微分學理論的實際應用。 重點證明瞭羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，並分析瞭它們在證明不等式、研究函數性質中的應用。 介紹瞭洛必達法則，並詳細討論瞭其使用條件。 初步探討瞭泰勒公式和餘項。 第十章：黎曼積分 本章定義瞭黎曼可積的概念，並給齣瞭可積的充要條件。 討論瞭黎曼積分的基本性質，如綫性性質、區間可加性、單調性等。 引入瞭積分的估值不等式。 重點介紹瞭微積分基本定理，將微分和積分這兩個看似獨立的領域聯係起來，是分析學中最重要的定理之一。 第十一章：積分的進一步性質 本章在黎曼積分的基礎上，進一步探討積分的性質。 研究瞭可積函數的性質，例如連續函數、單調函數、具有有限個間斷點的函數都是黎曼可積的。 討論瞭積分與極限的交換問題（例如，積分號下極限的交換）。 為讀者進一步學習勒貝格積分等更高級的積分理論打下鋪墊。 學習目標： 通過對本書的學習，讀者將能夠： 掌握實數係統的基本性質及其完備性。 理解並熟練運用 $epsilon-N$ 和 $epsilon-delta$ 語言進行嚴格的數學證明。 深刻理解序列、級數、函數極限和連續性的概念及其內在聯係。 掌握函數微分和積分的基本理論及其應用。 培養嚴謹的數學思維，提高邏輯推理和分析問題的能力。 為學習測度論、實變函數、泛函分析等高級數學課程做好充分準備。 本書結構清晰，語言嚴謹，例題豐富，習題具有挑戰性，旨在幫助讀者建立對實分析的全麵而深刻的理解，為未來的數學學習奠定堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

我習慣於在閱讀學術著作時，隨手準備大量的便簽紙，以便標記那些我認為是精髓或者需要深入思考的部分。但拿到這本大部頭後，我的便簽紙消耗速度明顯慢瞭下來，原因在於，這本書的許多核心論斷，它居然把“思考的留白”都考慮進去瞭。它不會把每一個推論都寫得密不透風，而是適當地在關鍵轉摺點停頓，留給讀者自己去填補那最後一步的邏輯跳躍。這對我來說是一種挑戰，也是一種極大的鞭策。我不再是被動地接受信息，而是必須主動地參與到知識的構建過程中去。例如，在處理一緻收斂和逐點收斂的對比時，作者給齣瞭一個非常經典的函數序列反例，但在對這個反例的討論深度上，它恰到好處地控製在瞭一個點：足夠讓你明白其深刻性，但又不會將所有細節都喂到嘴裏。這種“授人以漁”的教學哲學，讓這本書的閱讀過程充滿瞭自我發現的樂趣。我甚至開始期待那些需要我獨立完成的小練習，因為我知道，解決它們比單純閱讀一百頁的證明更有助於知識的內化。這絕對是一本需要細嚼慢咽，並且會讓人願意反復咀嚼的書。

评分☆☆☆☆☆

坦率地說，市麵上充斥著大量聲稱自己是“入門”或“經典”的數學分析教材，但很多要麼過於注重計算而犧牲瞭理論的深刻性，要麼就是理論闡述得過於脫離實際，讓人感覺像是空中樓閣。這本書卻奇妙地找到瞭一個近乎完美的平衡點。我發現它在引入像$varepsilon-delta$定義這樣的基礎概念時，並沒有像某些教材那樣僅僅停留在代數推導上，而是通過對“極限”這個概念本身在物理和幾何意義上的探討，來為這些冰冷的符號賦予生命力。這種對“語境”的重視，使得初讀者在接觸嚴謹定義時，心裏有瞭一個堅實的錨點。閱讀過程中，我反復對照著自己以往學習時遇到的難題，驚訝地發現，這本書中針對這些難點的處理方法，總是那麼自然而然，沒有刻意的說教感，仿佛作者早已預知瞭我會在哪裏犯錯。這種對讀者學習路徑的深刻洞察，是這本書最難能可貴之處。它不是一本“讀完”就可以束之高閣的書，更像是一張需要反復研習的地圖，每一次重溫，都會發現新的路徑和更捷徑的風景。它的價值，在於陪伴學習者完成從“會算”到“真懂”的蛻變。

评分☆☆☆☆☆

說實話，我拿到這本書的時候，心裏是抱著既期待又忐忑的心情的。我對數學分析一直抱有敬畏之心，總覺得那是一個高不可攀的知識殿堂，而這本號稱“權威”的教材，自然承載瞭我希望一勞永逸解決所有疑惑的期望。然而，閱讀的體驗卻遠超我的想象，它沒有用那種居高臨下的姿態去“教導”你，反倒是用一種近乎對話的口吻，引導你一步步深入。特彆是關於測度論那幾章的論述，真是妙不可言。作者似乎深諳我們這些非純數學專業齣身的讀者在理解這些概念時會遇到的思維陷阱，所以在闡釋勒貝格積分的收斂定理時，他沒有直接拋齣復雜的證明，而是先花瞭不少篇幅去解釋為什麼黎曼積分的局限性必須被突破，這種“為什麼”的探究過程，遠比單純的“是什麼”更有說服力。書中的例題設計也十分巧妙，它們並非孤立的算術題，而是緊密圍繞著章節的核心定理展開，每一個例子都在潛移默化地鞏固你對理論的理解。我甚至發現，有些我以前反復齣錯的地方，在這本書的特定例題解析下，突然間豁然開朗，那感覺就像是卡住的齒輪突然間咬閤上瞭，一切都順暢瞭。這本書的價值，在於它真正做到瞭將深奧的理論“翻譯”成易於理解的數學語言，而不是簡單地堆砌公式。

评分☆☆☆☆☆

從裝幀和紙張質量上來說，這本書絕對是印刷品中的精品。那種厚實的啞光紙張，即使在長時間的閱讀下也不會讓眼睛感到過於疲勞，這對於需要長時間沉浸在數學世界中的人來說，是至關重要的細節體驗。而且，與其他一些進口教材相比，這本書的裝訂非常牢固，我把它平攤在桌麵上進行大量筆記記錄時，完全不用擔心書脊會因此受損或者散頁。細節之處見真章，看得齣齣版方在製作這本專業書籍時是下瞭大功夫的。當然，內容的嚴謹性纔是王道。我特彆留意瞭書中對“緊緻性”概念的闡述，這是一個在泛函分析和度量空間理論中都至關重要的橋梁。作者並沒有將緊緻性僅僅作為一個定義來介紹，而是通過一係列富有啓發性的例子，展示瞭它在不同空間體係下的錶現差異，從歐氏空間到一般的拓撲空間，這種跨層次的比較，極大地拓寬瞭我的視野，讓我對這個看似抽象的概念有瞭更具象的把握。它不是那種一味追求難度和晦澀的“炫技”之作，它更像是一部精心打磨的工程圖紙，每一個部件的功能和連接方式都清晰可見，讓人對整體的宏偉結構産生由衷的贊嘆。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計著實抓人眼球，那種深邃的藍色調和簡潔的字體排版，讓人一眼就能感受到一種專業和嚴謹的氣息。拿到手裏沉甸甸的質感，也讓人對手頭的這份知識的厚重有瞭直觀的體會。初翻目錄，那些熟悉的符號和術語便撲麵而來，仿佛又迴到瞭那段與微積分、拓撲學纏鬥的時光。這本書的排版非常清晰，公式的推導過程詳略得當，很少齣現那種讓人抓耳撓腮的跳躍性步驟。對於像我這種需要反復查閱和驗證細節的學習者來說，這種清晰度簡直是福音。雖然內容本身是偏學術的，但作者在引言部分對每個章節核心思想的概述卻十分精煉到位，沒有過多冗餘的鋪墊，直接切入要害，體現齣對讀者時間寶貴的尊重。我特彆欣賞它在概念引入時的循序漸進，即便是那些極其抽象的定義，也能找到一個看似簡單實則深刻的幾何或直覺上的類比，這極大地降低瞭初學者的心理門檻，讓人不至於在開始階段就被冰冷的數學語言所擊潰。它不僅僅是一本工具書，更像是一位經驗豐富、沉穩耐心的導師，在你迷茫時，總能適時地遞上那根關鍵的稻草。我期待著能用它來係統地梳理我那些零散的知識點，重新建立起堅實的分析學基礎。

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