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出版者:Pearson

作者:Russell Gordon

出品人:

页数:400

译者:

出版时间:2001-6-11

价格:USD 117.80

装帧:Paperback

isbn号码:9780201437270

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 实分析
• 高等数学
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• 数学基础

《理论分析导引》 这是一本为数学专业本科生和研究生设计的入门级教材，旨在为学习更高级分析课程打下坚实的基础。本书着重于构建严谨的数学思维，引导读者理解分析学中核心概念的本质，而非简单罗列定理和证明。 内容概述： 全书共分为十一章，循序渐进地介绍了实分析的各个关键领域。 第一章：集合与逻辑基础 本章首先回顾了集合论的基本概念，包括集合的定义、运算（并、交、差、补、幂集）、关系（相等、包含、子集）、函数（定义域、值域、单射、满射、双射、复合函数、反函数）等。 随后，深入讲解了数学证明的逻辑基础，重点在于命题逻辑、量词（全称量词、存在量词）、证明技巧（直接证明、反证法、数学归纳法、构造性证明、非构造性证明）。通过大量的例子，培养读者清晰、严谨的逻辑推理能力。 第二章：实数系统 本章致力于构建严谨的实数系统公理化体系。从有序域的公理出发，逐步定义了数的加法、乘法、序关系，并引入了有理数和无理数的概念。 重点在于对实数完备性公理（如确界原理）的深入阐释，它是理解收敛性、连续性等后续概念的关键。通过对各种性质的详细推导，让读者深刻理解实数的结构和特性。 第三章：序列与极限 本章是进入分析学核心的起点。首先定义了序列及其收敛性，通过 $epsilon-N$ 语言精确刻画了极限的概念。 详细讨论了收敛序列的性质，如收敛的充要条件（柯西序列）、单调收敛定理。 引入了极限的保号性、保序性等重要性质，并提供了丰富的例子和练习，帮助读者熟练运用极限定义进行证明。 第四章：极限的运算 本章在第三章的基础上，研究了收敛序列的代数运算。证明了收敛序列的和、差、积、商的极限性质，以及常数倍对极限的影响。 讨论了界函数与收敛序列的乘积的极限。 引入了夹逼定理（或称三明治定理）及其应用。 第五章：无穷序列和无穷级数 本章将序列的概念推广到无穷级数。定义了级数的收敛性、发散性，以及部分和的概念。 深入研究了级数收敛的判别方法，包括正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法；任意项级数的交错级数判别法（莱布尼茨判别法）；以及绝对收敛与条件收敛的概念。 讨论了级数的和的运算性质。 第六章：函数的极限与连续性 本章将序列的极限概念推广到函数的极限。精确定义了函数在某一点的极限和在无穷远处的极限，同样使用 $epsilon-delta$ 语言。 讨论了函数极限的保号性、保序性，以及夹逼定理在函数极限中的应用。 在此基础上，引入了函数连续性的概念，并详细分析了连续函数的性质。 重点证明了闭区间上连续函数的有界性、最值定理（极值定理）和介值定理。 第七章：一致连续性 本章引入了比逐点连续更强的概念——一致连续性。解释了为什么需要一致连续性，并分析了它与逐点连续的区别。 证明了在闭区间上连续的函数必是一致连续的。 讨论了一致连续函数的性质及其在分析学中的重要作用，例如对序列的收敛性有更强的保障。 第八章：微分学基础 本章介绍导数的定义，即函数在某一点的变化率。 详细讨论了导数的几何意义和物理意义。 推导了基本的微分法则，如四则运算的求导法则、链式法则、反函数求导法则。 引入了高阶导数的概念。 第九章：微分学应用 本章是微分学理论的实际应用。 重点证明了罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，并分析了它们在证明不等式、研究函数性质中的应用。 介绍了洛必达法则，并详细讨论了其使用条件。 初步探讨了泰勒公式和余项。 第十章：黎曼积分 本章定义了黎曼可积的概念，并给出了可积的充要条件。 讨论了黎曼积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、单调性等。 引入了积分的估值不等式。 重点介绍了微积分基本定理，将微分和积分这两个看似独立的领域联系起来，是分析学中最重要的定理之一。 第十一章：积分的进一步性质 本章在黎曼积分的基础上，进一步探讨积分的性质。 研究了可积函数的性质，例如连续函数、单调函数、具有有限个间断点的函数都是黎曼可积的。 讨论了积分与极限的交换问题（例如，积分号下极限的交换）。 为读者进一步学习勒贝格积分等更高级的积分理论打下铺垫。 学习目标： 通过对本书的学习，读者将能够： 掌握实数系统的基本性质及其完备性。 理解并熟练运用 $epsilon-N$ 和 $epsilon-delta$ 语言进行严格的数学证明。 深刻理解序列、级数、函数极限和连续性的概念及其内在联系。 掌握函数微分和积分的基本理论及其应用。 培养严谨的数学思维，提高逻辑推理和分析问题的能力。 为学习测度论、实变函数、泛函分析等高级数学课程做好充分准备。 本书结构清晰，语言严谨，例题丰富，习题具有挑战性，旨在帮助读者建立对实分析的全面而深刻的理解，为未来的数学学习奠定坚实的基础。

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这本书的封面设计着实抓人眼球，那种深邃的蓝色调和简洁的字体排版，让人一眼就能感受到一种专业和严谨的气息。拿到手里沉甸甸的质感，也让人对手头的这份知识的厚重有了直观的体会。初翻目录，那些熟悉的符号和术语便扑面而来，仿佛又回到了那段与微积分、拓扑学缠斗的时光。这本书的排版非常清晰，公式的推导过程详略得当，很少出现那种让人抓耳挠腮的跳跃性步骤。对于像我这种需要反复查阅和验证细节的学习者来说，这种清晰度简直是福音。虽然内容本身是偏学术的，但作者在引言部分对每个章节核心思想的概述却十分精炼到位，没有过多冗余的铺垫，直接切入要害，体现出对读者时间宝贵的尊重。我特别欣赏它在概念引入时的循序渐进，即便是那些极其抽象的定义，也能找到一个看似简单实则深刻的几何或直觉上的类比，这极大地降低了初学者的心理门槛，让人不至于在开始阶段就被冰冷的数学语言所击溃。它不仅仅是一本工具书，更像是一位经验丰富、沉稳耐心的导师，在你迷茫时，总能适时地递上那根关键的稻草。我期待着能用它来系统地梳理我那些零散的知识点，重新建立起坚实的分析学基础。

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坦率地说，市面上充斥着大量声称自己是“入门”或“经典”的数学分析教材，但很多要么过于注重计算而牺牲了理论的深刻性，要么就是理论阐述得过于脱离实际，让人感觉像是空中楼阁。这本书却奇妙地找到了一个近乎完美的平衡点。我发现它在引入像$varepsilon-delta$定义这样的基础概念时，并没有像某些教材那样仅仅停留在代数推导上，而是通过对“极限”这个概念本身在物理和几何意义上的探讨，来为这些冰冷的符号赋予生命力。这种对“语境”的重视，使得初读者在接触严谨定义时，心里有了一个坚实的锚点。阅读过程中，我反复对照着自己以往学习时遇到的难题，惊讶地发现，这本书中针对这些难点的处理方法，总是那么自然而然，没有刻意的说教感，仿佛作者早已预知了我会在哪里犯错。这种对读者学习路径的深刻洞察，是这本书最难能可贵之处。它不是一本“读完”就可以束之高阁的书，更像是一张需要反复研习的地图，每一次重温，都会发现新的路径和更捷径的风景。它的价值，在于陪伴学习者完成从“会算”到“真懂”的蜕变。

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说实话，我拿到这本书的时候，心里是抱着既期待又忐忑的心情的。我对数学分析一直抱有敬畏之心，总觉得那是一个高不可攀的知识殿堂，而这本号称“权威”的教材，自然承载了我希望一劳永逸解决所有疑惑的期望。然而，阅读的体验却远超我的想象，它没有用那种居高临下的姿态去“教导”你，反倒是用一种近乎对话的口吻，引导你一步步深入。特别是关于测度论那几章的论述，真是妙不可言。作者似乎深谙我们这些非纯数学专业出身的读者在理解这些概念时会遇到的思维陷阱，所以在阐释勒贝格积分的收敛定理时，他没有直接抛出复杂的证明，而是先花了不少篇幅去解释为什么黎曼积分的局限性必须被突破，这种“为什么”的探究过程，远比单纯的“是什么”更有说服力。书中的例题设计也十分巧妙，它们并非孤立的算术题，而是紧密围绕着章节的核心定理展开，每一个例子都在潜移默化地巩固你对理论的理解。我甚至发现，有些我以前反复出错的地方，在这本书的特定例题解析下，突然间豁然开朗，那感觉就像是卡住的齿轮突然间咬合上了，一切都顺畅了。这本书的价值，在于它真正做到了将深奥的理论“翻译”成易于理解的数学语言，而不是简单地堆砌公式。

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我习惯于在阅读学术著作时，随手准备大量的便签纸，以便标记那些我认为是精髓或者需要深入思考的部分。但拿到这本大部头后，我的便签纸消耗速度明显慢了下来，原因在于，这本书的许多核心论断，它居然把“思考的留白”都考虑进去了。它不会把每一个推论都写得密不透风，而是适当地在关键转折点停顿，留给读者自己去填补那最后一步的逻辑跳跃。这对我来说是一种挑战，也是一种极大的鞭策。我不再是被动地接受信息，而是必须主动地参与到知识的构建过程中去。例如，在处理一致收敛和逐点收敛的对比时，作者给出了一个非常经典的函数序列反例，但在对这个反例的讨论深度上，它恰到好处地控制在了一个点：足够让你明白其深刻性，但又不会将所有细节都喂到嘴里。这种“授人以渔”的教学哲学，让这本书的阅读过程充满了自我发现的乐趣。我甚至开始期待那些需要我独立完成的小练习，因为我知道，解决它们比单纯阅读一百页的证明更有助于知识的内化。这绝对是一本需要细嚼慢咽，并且会让人愿意反复咀嚼的书。

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从装帧和纸张质量上来说，这本书绝对是印刷品中的精品。那种厚实的哑光纸张，即使在长时间的阅读下也不会让眼睛感到过于疲劳，这对于需要长时间沉浸在数学世界中的人来说，是至关重要的细节体验。而且，与其他一些进口教材相比，这本书的装订非常牢固，我把它平摊在桌面上进行大量笔记记录时，完全不用担心书脊会因此受损或者散页。细节之处见真章，看得出出版方在制作这本专业书籍时是下了大功夫的。当然，内容的严谨性才是王道。我特别留意了书中对“紧致性”概念的阐述，这是一个在泛函分析和度量空间理论中都至关重要的桥梁。作者并没有将紧致性仅仅作为一个定义来介绍，而是通过一系列富有启发性的例子，展示了它在不同空间体系下的表现差异，从欧氏空间到一般的拓扑空间，这种跨层次的比较，极大地拓宽了我的视野，让我对这个看似抽象的概念有了更具象的把握。它不是那种一味追求难度和晦涩的“炫技”之作，它更像是一部精心打磨的工程图纸，每一个部件的功能和连接方式都清晰可见，让人对整体的宏伟结构产生由衷的赞叹。

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