Iterative Solution of Large Linear Systems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Young, David M.

出品人:

页数:570

译者:

出版时间:2003-7

价格:$ 33.84

装帧:

isbn号码:9780486425481

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Iterative Methods
• Linear Algebra
• Large Scale Systems
• Numerical Analysis
• Scientific Computing
• Matrix Computations
• Preconditioning
• Krylov Subspace Methods
• Convergence Analysis
• Computational Mathematics

《迭代求解大规模线性方程组》 本书深入探讨了大规模线性方程组的迭代求解方法，旨在为读者提供一套系统而全面的理论框架与实践指导。我们聚焦于那些维度巨大、病态显著，以至于直接应用经典直接求解方法（如高斯消元法）变得不切实际或计算成本过高的方程组。这类方程组广泛存在于科学计算、工程模拟、数据分析等诸多领域。 本书的撰写，旨在填补当前文献中关于迭代方法系统性论述的空白，并以一种既强调理论深度又注重实际应用的方式呈现。我们避免了对已有方法的简单罗列，而是着力于揭示不同迭代方法的内在联系、理论基础以及它们在具体问题中的适用性与局限性。 核心内容概述： 迭代求解的基本原理与理论基础： 我们将从最基本的迭代思想出发，阐述如何将原方程组转化为一系列具有良好收敛性的等价迭代形式。在此基础上，我们将详细介绍收敛性分析的关键概念，如谱半径、条件数等，并讨论不同迭代方法的收敛阶和收敛速度。本书将重点关注数学理论的严谨性，但会辅以直观的解释和图示，帮助读者理解抽象概念。 经典的迭代方法： 雅可比（Jacobi）方法： 作为最早的迭代方法之一，本书将对其进行详细推导和分析，探讨其在何种情况下表现良好，以及其优缺点。 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法： 在雅可比方法的基础上，我们将介绍高斯-赛德尔方法，分析其通过利用新迭代值来加速收敛的原理，并对比其与雅可比方法的收敛性能。 逐次超松弛（SOR）方法： 在高斯-赛德尔方法的基础上，本书将深入探讨逐次超松弛方法，阐明松弛因子在加速收敛中的关键作用，并提供确定最优松弛因子的理论指导和实践建议。 预条件技术： 许多实际问题中的线性系统具有很差的条件数，导致经典迭代方法收敛缓慢甚至不收敛。本书将专门辟章节介绍预条件技术，这是提升迭代方法性能的关键。我们将涵盖： 左预条件与右预条件： 详细解释预条件的两种基本形式，以及它们如何改变原线性系统的性质。 常见的预条件子： 介绍诸如对角线预条件（D）、不完全乔里斯基（IC）分解、不完全LU（ILU）分解、多项式预条件等一系列有效的预条件子构建方法。对于每种预条件子，我们将分析其理论依据、计算复杂度以及在不同类型方程组上的适用性。 预条件子的选择与设计： 提供一套系统性的方法论，指导读者如何根据待求解方程组的特点，选择或设计最适合的预条件子，以达到最佳的计算效率。 Krylov子空间方法： 这是一类功能强大且广泛应用的迭代方法，特别适用于对称正定或对称不定线性系统。本书将重点介绍： 共轭梯度（CG）方法： 详细推导CG方法的算法，并深入分析其理论基础，包括其在寻找能量函数的最小值方面的联系。我们将探讨其在对称正定系统求解中的卓越性能。 广义最小残差（GMRES）方法： 介绍GMRES方法，特别关注其如何处理非对称线性系统。我们将解释其如何通过最小化残差向量的范数来逐步逼近真实解，并讨论其对子空间维度的选择以及截断策略。 双共轭梯度（BiCG）及其变体（如BiCGSTAB）： 介绍BiCG方法及其改进版本，分析它们如何克服BiCG方法在收敛性方面的一些问题，并探讨其在非对称系统求解中的应用。 Chebyshev迭代与Lanczos迭代： 简要介绍这些方法，并将其与Krylov子空间方法联系起来，展示它们在特定场景下的优势。 求解非线性方程组的迭代方法： 虽然本书主要聚焦于线性系统，但我们将简要探讨如何将线性迭代方法应用于非线性方程组的求解。例如，牛顿法（Newton's method）在每一步迭代中都需要求解一个线性系统，本书将简要阐述其与线性迭代方法的关联。 数值稳定性与实现细节： 在理论讨论之外，本书还将关注迭代方法的数值稳定性问题。我们将分析可能导致误差累积的因素，并提供一些工程上保证稳定性的技巧。此外，我们将讨论在实际编程实现中需要注意的细节，包括算法的优化、数据结构的选用等。 案例研究与应用： 为了巩固读者对理论知识的理解，本书将包含一系列精心挑选的案例研究。这些案例将覆盖不同的应用领域，例如： 有限元分析（FEA）中的离散化方程组。 计算流体动力学（CFD）中的网格求解。 图像处理与机器学习中的大规模稀疏系统。 科学模拟中的偏微分方程求解。 通过这些案例，读者将能够直观地看到不同迭代方法在实际问题中的表现，并学会如何根据具体问题选择最合适的求解策略。 本书的特色： 理论严谨与实践结合： 我们致力于在数学理论的严谨性与实际工程应用之间找到最佳平衡点，既能深入理解方法的内在机理，又能指导实际问题的解决。 系统性与连贯性： 各章节内容环环相扣，从基础概念到高级方法，形成一个有机整体，避免了碎片化。 强调预条件技术的重要性： 充分认识到预条件技术在现代迭代求解中的核心地位，并对其进行深入阐述。 Krylov子空间方法的深度剖析： 详细解读CG、GMRES等主流Krylov方法，揭示其强大的性能根源。 案例驱动的学习体验： 通过丰富的案例分析，帮助读者将理论知识转化为解决实际问题的能力。 本书适合于具有一定线性代数和数值分析基础的本科生、研究生、研究人员以及从事科学计算和工程模拟的工程师。通过阅读本书，读者将能够掌握求解大规模线性方程组的各种高效迭代方法，并能独立分析和解决实际计算中遇到的相关问题，从而极大地提升计算效率和解决问题的能力。

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作为一个在数值分析领域浸淫多年的研究者，我习惯于阅读那些充满深奥公式和复杂证明的学术著作。然而，这本书带给我一种截然不同的阅读体验。它的叙述风格非常“内敛而有力”，既没有过于口语化的俚俗，也没有故作高深的学院派腔调。作者仿佛是一位经验丰富的老匠人，他知道哪些地方可以略作简化以突出重点，哪些关键步骤必须详尽论述以保证理解的准确性。我特别欣赏它在结构上的层次感，章节之间的衔接如同精密的齿轮咬合，逻辑链条清晰且紧密。举例来说，在介绍多重网格方法（Multigrid）时，作者先用一个二维简单的泊松方程作为引子，逐步引入网格平滑、残差计算和多尺度修正的完整循环，每一步的引入都非常自然，让人感觉每一步都是理所当然的进展，而不是硬生生地插入一个新概念。这种循序渐进的引导方式，使得原本被认为是数值方法“皇冠上宝石”的多重网格法，其核心思想变得触手可及。对于希望深入理解现代求解器内部机制的读者来说，这种“抽丝剥茧”的讲解方式无疑是最有效的。

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我是在一个高强度的项目压力下接触到这本书的，坦白说，最初我抱着“死马当活马医”的心态打开它。我主要关注的痛点是如何高效处理那些维度达到数万甚至数十万的稀疏矩阵问题，现有的标准教科书往往将重点放在理论的严谨性上，却鲜少提及实战中的“陷阱”和“调优技巧”。这本书在这方面做得尤为出色。它没有止步于介绍经典的雅可比或高斯-赛德尔方法，而是花了大篇幅深入剖析了预处理器的构建艺术，特别是针对特定物理问题的定制化预处理策略。作者在讨论每种算法时，总会附带一系列实际案例中可能遇到的数值不稳定性问题，并提供了行之有效的规避方案。我印象最深的是关于Krylov子空间方法的章节，作者不仅详细推导了GMRES和CG算法，还用近乎“黑箱”揭秘的方式，解释了重启策略和残差监控在实际求解器中的作用。阅读过程中，我时不时地停下来，对照我正在处理的数据集进行模拟思考，发现许多此前困扰我的性能瓶颈，在这本书的指导下似乎找到了新的优化方向。这本书的价值，在于它成功地架起了纯数学理论与工程实践之间的桥梁，是工程计算领域不可多得的宝典。

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这本书的装帧设计非常吸引人，封面采用了沉稳的深蓝色调，配合着简洁有力的白色字体，给人一种专业且耐人寻味的感觉。初次翻阅时，我立刻被其清晰的逻辑结构所折服。作者似乎对如何引导读者进入复杂的数学世界有着独到的理解。从基础概念的铺陈到高级算法的深入探讨，每一步都走得非常稳健。我特别欣赏作者在讲解理论时所使用的图示和类比，它们极大地降低了抽象概念的理解门槛。例如，在介绍某种迭代方法的收敛性时，书中通过一个生动的物理模型进行了类比，让我瞬间领悟了原本需要花费大量时间去消化的数学证明的精髓。这种注重直观理解的教学方式，对于像我这样需要将理论快速应用于实际工程问题的读者来说，无疑是一大福音。书中的排版也值得称赞，足够的行间距和清晰的代码块展示，使得长时间阅读也不会感到视觉疲劳。可以说，这本书在物理呈现和内容组织上，都体现了出版方和作者对读者的尊重。它不仅仅是一本参考书，更像是一位耐心细致的导师，引导你一步步攀登知识的高峰。即使是初学者，只要具备扎实的线性代数基础，也能从中获得极大的启发和帮助。

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这本书的学术深度毋庸置疑，但真正让我拍案叫绝的是其中蕴含的对“不确定性”和“鲁棒性”的深刻思考。在处理真实世界的物理模型时，输入数据往往带有噪声，或者模型本身就是近似的，这使得线性系统的系数矩阵很难是完美的。这本书并没有回避这些“脏数据”带来的挑战。它专门辟出章节讨论了病态系统（ill-conditioned systems）的处理，特别是如何利用各种正则化技术来稳定迭代过程。我尤其欣赏作者对残差与误差之间关系的审慎态度——残差小并不一定意味着解的精确度高，这种微妙的区分在许多工程应用中至关重要。书中对这方面的讨论非常审慎和负责任，它告诫读者不要盲目追求极小的残差。此外，书中对迭代过程中的“停止准则”的探讨也极其细致，提出了多重准则的组合使用方法，这对于编写一个真正可靠的求解库是必不可少的知识。这本书的整体基调是严谨而又充满人文关怀的，它教会我的不仅仅是如何求解一个方程组，更是如何以一种成熟的、对数值误差保持警惕的态度去面对复杂的科学计算问题。

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说实话，市面上关于大型线性系统求解的书籍汗牛充栋，但很多都给人一种“拼盘”的印象，将各种算法零散地罗列在一起，缺乏内在的联系。这本书最让我感到惊喜的是它所体现出的“系统观”。作者似乎有意将不同的求解技术置于一个统一的框架下进行比较和分析。比如，当讨论到迭代方法的收敛速度时，书中没有孤立地比较某两种算法，而是将其与直接求解方法的计算复杂度和内存占用特性进行对比，从而帮助读者建立起一个全面的性能评估体系。此外，书中对“软件实现”层面的讨论也颇具洞察力。它不仅仅告诉你“怎么算”，更隐晦地提示了“怎么写出高效且健壮的代码”。例如，在向量化操作和并行计算的讨论部分，虽然没有直接给出OpenMP或MPI的具体代码，但通过对数据局部性和通信开销的分析，读者可以清晰地感受到如何将算法思想转化为高性能的计算指令。这种超越纯数学推演的视野，让这本书的实用价值倍增，它更像是一份集成了解析、评估和实现方法的综合指导手册。

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