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isbn号码:9785746210098

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线性代数：理论基石与应用前沿 图书名称： 线性代数：理论基石与应用前沿 作者： 张伟, 李明 出版社： 科学技术文献出版社 ISBN： 978-7-5045-9876-5 --- 内容概述 《线性代数：理论基石与应用前沿》是一部全面、深入且注重实践应用的线性代数教材。本书旨在为理工科、经济学、计算机科学以及应用数学等领域的学生和研究人员提供一个坚实的数学基础。全书结构严谨，内容覆盖了线性代数的经典理论体系，并融入了现代学科发展的前沿应用，力求在理论深度和工程实用性之间取得完美的平衡。 本书共分为十章，从最基础的向量空间概念出发，逐步过渡到矩阵运算、线性方程组的求解，随后深入探讨特征值与特征向量、对角化理论，并详细阐述了内积空间、正交性以及二次型等核心内容。特别地，本书在后续章节中，着重介绍了线性代数在现代科学技术中的实际应用，如奇异值分解（SVD）在线性回归、图像处理中的应用，以及矩阵函数在微分方程求解中的作用。 目标读者 电子信息工程、计算机科学与技术、机械工程、土木工程等理工科专业本科生和研究生。 应用数学及相关交叉学科的研究人员。 需要利用线性代数知识解决实际工程或金融问题的工程师和数据科学家。 --- 详细章节结构与内容要点 第一章 向量与线性空间基础 本章是全书的基石，为后续所有高级概念的建立奠定基础。 向量的几何与代数表示： 重点讨论$mathbb{R}^n$空间中的向量的加法、数乘、内积及其几何意义（如长度、夹角）。 线性组合、线性相关与线性无关： 严格定义线性组合的概念，并引入判定线性相关的充要条件，这是理解子空间的基础。 线性空间的定义与性质： 抽象地定义向量空间（域为实数或复数），讨论子空间、生成集以及向量组的秩。 基与维度： 明确向量空间的基是线性无关的生成集，深入探讨不同基之间的转换矩阵，理解维度这一核心度量。 第二章 矩阵及其运算 本章系统介绍矩阵的代数结构和计算方法。 矩阵的定义、分类与基本运算： 覆盖矩阵的加法、数乘、矩阵乘法，强调矩阵乘法的非交换性及其结构性特点。 转置矩阵与矩阵的特殊类型： 讨论对称矩阵、反对称矩阵、初等矩阵等。 矩阵的秩与行列式： 详细讲解行列式的定义（莱布尼茨公式）、代数余子式展开，以及行列式的重要性质（如乘法法则）。重点阐述矩阵的行秩与列秩相等定理。 第三章 线性方程组的求解 本章聚焦于如何利用代数方法高效、精确地求解线性系统。 高斯消元法与行阶梯形： 详细介绍初等行变换，利用行简化阶梯形矩阵（RREF）来确定解的存在性和唯一性。 矩阵的逆与可逆性判定： 讨论利用伴随矩阵和初等矩阵求逆，并深入探讨可逆矩阵的充要条件（如秩、行列式非零）。 克拉默法则与秩判别法： 在特定条件下（如系数矩阵为方阵）应用克拉默法则，并利用增广矩阵的秩来分析线性方程组的解的结构（唯一解、无穷多解或无解）。 第四章 线性变换与矩阵表示 本章将代数运算提升到函数映射的层面，是抽象化思维的关键一步。 线性变换的定义与性质： 阐述线性映射（变换）如何保持向量空间的结构（加法和数乘）。 从向量空间到矩阵表示： 讨论任意线性变换在给定基下的矩阵表示，并研究基变换对矩阵表示的影响。 核空间（Kernel）与像空间（Image）： 详细分析线性变换的零空间（核）和值域（像），以及秩-零化度定理。 第五章 特征值与特征向量 特征值与特征向量是分析动态系统和矩阵结构的核心工具。 特征值与特征向量的定义： 通过特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 求解特征值，并找出对应的特征向量。 相似变换与对角化： 深入讨论矩阵相似的意义，判定一个矩阵是否可对角化，并给出对角化的具体步骤。 实对称矩阵的谱分解： 专门论述实对称矩阵的特殊性质，如其特征值必为实数，且存在正交对角化。 第六章 内积空间与正交性 本章将线性代数从纯粹的线性结构推广到包含“长度”和“角度”的度量空间。 内积的定义与性质： 引入内积的概念，推广到复数域上的厄米特内积。 范数与正交性： 定义向量的长度（范数），并阐述向量正交的条件（内积为零）。 正交基与施密特（Gram-Schmidt）正交化过程： 详细演示如何将任意一组基转化为标准正交基，这是傅里叶分析、最小二乘法的基础。 第七章 二次型与矩阵的二次优化 二次型是研究多变量二次函数极值问题的关键。 二次型的定义与矩阵表示： 将二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 与对称矩阵联系起来。 合同变换与主轴变换： 利用正交变换将二次型化为最简形式（主轴形式）。 正定性、半正定性的判定： 引入主子式判别法和特征值法，这些在优化问题中至关重要。 第八章 广义特征值问题与矩阵函数 本章将线性代数理论扩展到更复杂的数学和工程问题。 矩阵的指数（Matrix Exponential）： 讨论 $e^A$ 的定义（泰勒级数展开）及其在求解常微分方程组 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 中的应用。 矩阵的函数计算： 利用若尔当标准型或谱分解来计算依赖于矩阵的函数，如 $ln(A)$。 第九章 奇异值分解（SVD）与伪逆 SVD是现代数据科学中最核心的工具之一，本章进行详尽介绍。 奇异值的定义与计算： 从 $A^T A$ 和 $A A^T$ 的特征值出发定义奇异值。 奇异值分解（SVD）的构造： 详细给出矩阵 $A=U Sigma V^T$ 的分解过程，其中 $U$ 和 $V$ 均为正交矩阵。 矩阵的摩尔-彭若斯（Moore-Penrose）伪逆： 讨论伪逆在求解超定或欠定线性方程组的最小二乘解中的关键作用。 第十章 线性代数在现代科学中的应用实例 本章侧重于展示理论的实用价值，选取了三个典型应用方向。 数据降维与主成分分析（PCA）： 利用特征值分解和SVD解释如何从数据协方差矩阵中提取主成分，实现数据压缩和特征提取。 图论与网络分析： 介绍邻接矩阵、拉普拉斯矩阵及其在PageRank算法中的应用，阐述特征值与图的连通性关系。 迭代求解方法基础： 简要介绍雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代，说明在处理大规模稀疏线性系统时的优势。 --- 本书特色 1. 理论的严谨性与直观性的结合： 每一重要定理都提供严格的证明，同时辅以大量的几何解释和算例，帮助读者建立直观理解。 2. 计算方法的详述： 不仅停留在理论层面，对高斯消元、特征值计算等核心算法的每一步都进行了详尽的步骤说明。 3. 现代应用导向： 引入了SVD、PCA等现代数据分析和工程领域急需的概念，使读者能够迅速将所学知识应用于实际问题。 4. 丰富的习题体系： 每章末尾均配备了基础概念题、计算题和理论探究题，难度梯度合理，有助于巩固学习效果。 本书旨在培养读者清晰的数学思维和利用抽象工具解决具体问题的能力，是掌握现代科学与工程数学的必备参考书。

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从整体的阅读体验上讲，这本书的行文风格就像是历史文献的翻译本，它忠实地记录了线性代数这门学科发展的脉络和规范的表述方式，极少有现代教材那种为了吸引眼球而做的“创新性”表达。我发现，当遇到一些晦涩难懂的概念时，翻阅这本书提供的官方定义和严格证明，往往比阅读那些试图用日常语言解释的辅导书要来得更可靠。它没有提供大量的“小贴士”或“快速记忆法”，而是将所有的知识点都置于一个宏大、统一的数学结构之下。例如，在处理向量空间间的线性映射时，书中对核空间和像空间的讨论，完全是基于集合论和映射的严格定义展开的，这对于那些希望未来继续深造或从事相关理论研究的人来说，这种严谨性是无价之宝，它为你打下了一个几乎无法动摇的理论基础。

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老实说，初次拿到这本《线性代数》时，我的第一反应是，这玩意儿看上去就不是为“快速上手”设计的。它的配图非常少，几乎可以说是“纯文本”的理论呈现，这对于视觉学习者可能不太友好。比如，在讲解矩阵的相似对角化时，如果能配上几个动态的或者直观的几何变换图示，理解起来会快上不少，但这本书完全依赖于符号运算和文字逻辑来构建知识体系。不过，换个角度看，这种极简的排版反而凸显了其核心——数学的本质就在于其严密的逻辑推导，任何花哨的图示都可能成为分散注意力的因素。我花了相当大的精力去啃那些证明题后面的“补充说明”，发现很多关于矩阵分块、合同变换的讨论，都体现了出题者对知识体系的整体把握，这些内容在一般的参考资料中往往是一笔带过，但在这里却被详细地剖析了，这对于构建“大局观”非常有益，尽管过程确实是枯燥且耗时的。

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这本书的内容编排，给我的感觉是，它更像是一位经验丰富的老教授，站在讲台上，用一种不容置疑的权威语气在为你讲解。它的语言风格非常书面化，学术气息极其浓厚，几乎找不到任何试图拉近与读者距离的“口语化”表达。我翻到关于特征值和特征向量那部分时，感觉自己仿佛在啃一块硬骨头，每一个定理的证明都极其详尽，步步为营，每一个逻辑跳转都标注得清清楚楚，生怕读者漏掉哪怕一个微小的推导细节。这种精细到极致的打磨，虽然让阅读过程显得有些缓慢和沉重，但其带来的理论上的厚实感是无可替代的。对于那种追求完美掌握每一个数学证明的钻研型读者来说，这本书无疑是提供了最坚实的“脚手架”。我特别注意到，书中对一些抽象概念的解释，例如内积空间和正交化过程，是采用了非常传统的欧氏几何视角去切入，这对于习惯了纯代数抽象思维的现代学习者来说，可能需要一个适应过程，但一旦理解，其几何直观性会大大增强对抽象概念的把握。

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这本书的习题设置，可以说是“高压”模式的典型代表。我试着做了几章后面的练习题，发现难度梯度设置得非常陡峭。前面的基础题还算友好，能让你熟悉基本运算，但一旦进入到综合应用和证明题部分，那难度系数瞬间飙升。很多题目不仅仅是考察你会不会套用公式，而是要求你对线性代数的各种基本性质——比如秩、行列式性质、特征向量的性质——有非常深刻的融会贯通。例如，有一道关于判断矩阵是否可逆的题目，没有直接给出矩阵的具体数值，而是以参数形式给出，要求在某个参数范围内讨论，这要求读者必须对可逆性的本质（非零特征值、满秩等）有透彻的理解，而不是仅仅依赖于计算一个行列式的值。这种强调“理解深度”而非“计算熟练度”的习题风格，无疑是为那些目标是精通这门学科的学习者量身定做的“磨刀石”。

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这本书的封面设计，说实话，第一眼看过去，那股子严肃劲儿就扑面而来，那种经典的教科书配色，黑白灰为主，让人立刻意识到这不是一本“轻松阅读”的书籍。我特意翻阅了目录，对于一个初次接触线性代数的学习者来说，它的结构安排相当扎实，从最基础的向量空间、线性变换讲起，层层递进，逻辑链条非常清晰。比如，在讲解行列式的计算时，作者似乎非常注重概念的严谨性，每一个定义和定理的阐述都力求滴水不漏，引用了很多经典的数学符号和推导过程，看得出来，这套教材是面向正规考试体系的，对基础知识点的挖掘深度足够，绝不是那种走马观花的入门读物。我尤其欣赏它在例题选择上的独到之处，那些例题往往不是简单的数值代入，而是设计得很有技巧性，能一下子抓住某个核心概念的难点，迫使读者必须深入理解背后的原理，而不是死记硬背公式。对于那些准备参加国家级考试的学生而言，这种深度是刚需，能有效地构建起坚实的理论框架。

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