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isbn号码:9785746210104

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严谨求真，洞悉精微：高等数学（微积分部分）核心概念与应用精粹 本书旨在为高等教育自学考试的莘莘学子提供一套全面、深入、且高度聚焦的微积分学习资源。我们深知，微积分作为现代科学、工程、经济学等领域不可或缺的数学基石，其理解的深度与广度直接决定了后续学习的成效。因此，本书的编写严格遵循自学考试的知识大纲要求，力求在确保知识体系完整性的同时，突出重点、难点，并辅以大量精心挑选的例题与习题，助力考生高效掌握这一核心学科。 第一部分：极限与连续性——分析的基石 微积分的起点在于“极限”这一概念，它是连接代数与分析学的桥梁。本书从直观的几何意义入手，严谨阐述了数列极限与函数极限的 $epsilon-delta$ 定义，这是理解后续所有微积分定理的理论基础。我们详细剖析了极限的四则运算法则、复合函数极限的性质，并重点讲解了无穷小量与无穷大量的比较，特别关注了 $frac{sin x}{x}$、$e^x$ 和 $ln(1+x)$ 等重要极限的推导与应用。 紧随极限之后，本书系统地阐述了函数连续性的概念。我们区分了函数在点上连续、区间上连续的严格定义，深入探讨了闭区间上连续函数的两大核心性质——有界性与最值定理以及介值定理。这些定理不仅在理论推导中至关重要，也是解决许多实际应用问题的理论依据。本部分强调理论的严谨性，要求读者不仅会“算”，更要能“证”，为后续的微分学打下坚实的理论基础。 第二部分：导数与微分——瞬时变化率的度量 导数是微积分的核心工具，它描述了函数变化的速率。本书从平均变化率过渡到瞬时变化率，引入了导数的几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速度）。我们系统地推导了基本初等函数的导数公式，并详细讲解了导数的四则运算法则、复合函数求导法则（链式法则）以及反函数、隐函数和参数方程的求导方法。 在微分部分，本书强调了微分的概念及其在误差估计中的应用。更重要的是，本章引入了中值定理——罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。这些定理是微分学理论体系的骨架，我们在讲解中穿插了丰富的几何解释，帮助理解其内在逻辑。 导数在函数性态分析中的应用是本章的重中之重。我们利用一阶导数判断函数的单调性、极值点和极值，利用二阶导数判断函数的凹凸性、拐点以及函数的图像形状。通过这些工具的综合运用，考生能够精确地描绘出任意给定函数的完整图像，并能解决如最大值、最小值等优化问题。 第三部分：不定积分——微分的逆运算 不定积分被定义为求导的逆运算，是求解微分方程的基础。本书首先明确了原函数和不定积分的概念，并详细列举了基本积分公式。 积分方法的掌握是本部分的难点与重点。我们系统地讲解了五种主要的积分技巧： 1. 换元积分法（变量代换）：包括第一类和第二类换元法，强调如何根据被积函数的特征选择合适的代换变量。 2. 分部积分法：公式的熟练运用以及何时需要多次使用分部积分法。 3. 有理函数积分法：重点在于部分分式分解的技巧，这是求解复杂有理函数积分的关键步骤。 4. 三角函数有理式积分法：针对不同形式的三角函数积分，如万能代换法等。 5. 对数函数、反三角函数等特殊形式的积分。 每一种方法都配有详尽的步骤解析和大量的例题支撑，确保考生能够熟练应对考试中出现的各种不定积分问题。 第四部分：定积分及其应用——从求和到测度 定积分的引入，源于解决曲线下面积的几何问题，最终发展为黎曼积分的概念。本书严格阐述了定积分的定义、基本性质以及微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），这是连接微分学和积分学的核心桥梁。 定积分的应用是考察的重点领域，本书覆盖了以下几个关键方面： 1. 几何应用：求解平面图形的面积、旋转体的体积（圆盘法、圆环法、薄壳法），以及曲线的弧长和曲面面积。 2. 物理应用：如计算变力做功、质心和转动惯量等。 3. 经济学应用：如总成本、总收益的计算。 此外，本书还简要介绍了广义积分（反常积分）的概念及其敛散性的判断方法，以满足自考对知识广度的要求。 第五部分：多元函数微分学基础——向高维空间拓展 本部分将微积分的思想推广到多变量函数。我们定义了偏导数、全微分，并详细讨论了链式法则在多元函数中的应用，这是解决复杂函数求导问题的核心。 我们深入讲解了梯度、方向导数和多重函数的极值问题。重点区分了多元函数在给定约束条件下的极值（拉格朗日乘数法）与无约束极值。对于二元函数的极值，本书详细阐述了利用二阶偏导数判别极值类型（海森矩阵的二次型分析）的方法。 第六部分：无穷级数——无限项之和的探究 级数是分析学中处理无限序列求和的重要工具。本书从常数项级数入手，详细讨论了级数的收敛性判定的各种方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法以及积分判别法。 函数项级数是本章的难点： 1. 幂级数：重点在于确定其收敛半径和收敛区间。 2. 泰勒级数与麦克劳林级数：理解如何利用这些级数展开常见函数，并用于近似计算和求解微分方程。 全书结构严谨，逻辑清晰，旨在帮助考生构建起从极限到级数、从一维到多维的完整微积分知识体系。每章末尾均配有本章知识点梳理和模拟测试题，确保学习的针对性和实战性。学习本书，即是迈向严谨、精确的数学思维的坚实一步。

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说实话，如果我只是想在下个月的考试中蒙混过关，拿到一个“及格”的分数，我可能不会选择这么一本“慢热”的书。它的阅读速度相较于那些强调“速成”的精炼资料要慢得多，因为你不得不花时间去琢磨那些“为什么”，而不是满足于“是什么”。然而，正是这种沉浸式的学习体验，让我开始真正欣赏微积分这门学科的美。这本书的语言风格非常严谨，没有过多的口语化表达，仿佛每一次落笔都经过了深思熟虑，力求精确无误。它不讨好读者，甚至有些“傲慢”地坚持着数学的纯粹性。但正是这种坚持，让我这个原本对数学心存敬畏（甚至恐惧）的人，逐渐建立起一种“我能驾驭它”的自信。它像是一位沉默但极其可靠的导师，在你迷茫时，它不会直接给你答案，而是递给你一盏足够清晰的灯笼，让你看清前方的路，然后让你自己走过去。这种由内而外建立起来的学力，远比临时抱佛脚的技巧要宝贵得多。

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这本书的章节结构，简直像是一位经验老到的大学教授在精心安排他的课堂节奏。它不是那种追求“信息密度最大化”的资料集，更像是一部慢工出细活的学术著作。比如，在完成一个大的理论板块后，它不会立即跳到下一个看似更难的主题，而是会穿插一小段“数学史话”或者“应用前景展望”。虽然这些内容在考试大纲里属于“非核心知识点”，但它们极大地缓解了长时间高强度学习带来的认知疲劳。我记得有一次在啃向量场和线积分时，思路一度非常混乱，感觉各种微分形式纠缠不清。就在我准备放弃时，翻到了一个介绍“格林公式的几何意义”的小插曲，里面提到十七世纪数学家们是如何通过计算不规则图形的面积来发展这些概念的。这个小小的调剂，让我瞬间放松下来，重新审视那些复杂的数学符号，它们似乎又变回了描述物理世界的工具，而不是纯粹的抽象概念。这种平衡感，是很多只为应试而生的辅导书所欠缺的，它在培养解题能力的同时，也在悄悄滋养着学习者的数学素养和好奇心。

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这本薄薄的教材，拿到手里首先感受到的是那种略带年代感的纸张触感，封面设计朴素得近乎有些“严肃”，完全没有当下流行教辅书那种五花八门的色彩和花哨的排版。我本来是抱着非常功利的心态来寻找那些考试的“必考点”和“高频题型”，然而翻开第一章，我的期望值就开始悄悄发生变化。它不像某些新出版的资料那样，上来就堆砌大量的例题和各种“捷径”公式。相反，作者似乎非常执着于基础的逻辑构建。每一个定理的引入，都像是精心铺设的台阶，每一步都走得扎实、清晰。初看之下，可能觉得推导过程略显冗长，但当你试着合上书本，自己动手去重新演绎一遍时，才会惊觉这种“啰嗦”的背后，是对概念理解深度的极致追求。特别是关于极限与连续性的论述，它没有简单地给出 $epsilon-delta$ 语言的定义，而是用一种非常“具象化”的方式去描绘了函数在某一点“粘合”的状态，这种描述方式对于我这种靠“死记硬背”起家的理工科学生来说，简直是醍醐灌顶。它强迫你慢下来，去品味每一个数学符号背后的物理或几何意义，而不是急着套用公式。这种教学态度，让我对“自学”二字有了全新的认识——它需要的不是速度，而是深度和耐心。

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这本书的习题设置，是一个非常值得称道的地方，体现了极高的教学智慧。它很少出现那种一眼就能看出套路、通过简单代入就能得出答案的“水题”。绝大多数题目都设计得非常“精巧”，它们往往不是在考验你对某一个单一公式的记忆，而是要求你将前三章学到的概念进行一次“综合会诊”。例如，一道关于反常积分收敛性的题目，它巧妙地将极限的定义、函数的有界性以及积分的中值定理融合在一起，迫使你必须从多个维度去构建解题思路。最让我佩服的是，即便是那些看似难度颇高的综合题，其隐藏的突破口也总能追溯到第一章讲授的某个最基础的定义之上。这就像是一套精妙的迷宫设计，无论你走得多远，最终都能发现所有路径都指向了同一个中心。这种“回归本源”的习题设计理念，有效地防止了学习者陷入“只见树木不见森林”的困境，确保了对微积分核心思想的牢固掌握，而非仅仅是技巧的堆砌。

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翻阅到后面，那些复杂的定积分和级数收敛性的探讨部分，我本以为会是又一轮枯燥的公式轰炸，但事实证明，我的先入为主完全错了。这本书在处理那些抽象概念时，采用了非常巧妙的“场景嵌入”手法。比如在讲解变上限积分时，作者竟然引入了一个非常古典的，关于“水箱注水速度与总量变化”的例子，虽然例子本身并不新颖，但它和后续的微积分基本定理的推导结合得天衣无缝。最让我印象深刻的是对泰勒公式的介绍。通常的教材会直接给出那个长长的展开式然后让你去背诵误差项，而这本书却花了足足十页的篇幅，一步步从局部线性近似出发，通过“牛顿法”的迭代思想，逐步逼近更高阶的近似，最后才水到渠成地引出泰勒多项式。这种“由浅入深，层层递进”的叙事方式，使得原本感觉像是凭空出现的公式，突然间拥有了强大的生命力和逻辑必然性。读完这部分，我不是“学会了”泰勒公式，而是“理解了”泰勒公式存在的理由。这对于我后续处理偏微分方程中的级数展开部分，打下了极其坚实的基础，完全不是那种只应付考试的快餐式学习材料能比拟的。

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