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出版者:Jones & Bartlett Publishers

作者:Dennis G. Zill

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:2006-10-31

价格:USD 96.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780763737795

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

深入探索高等数学的基石：一本革新性的代数与函数学习指南 书名：《代数之径：从基础到高等数学的无缝衔接》 目标读者： 准备进入微积分学习的高中生、希望巩固代数基础的大学新生、以及需要系统性复习高阶代数概念的自学者。 本书核心理念： 本书旨在构建一座坚实的桥梁，连接基础代数和高等数学（如微积分、线性代数、离散数学）之间的知识鸿沟。我们相信，对函数、方程和图形的深刻理解，是掌握任何高级数学分支的先决条件。因此，本书的重点不在于介绍微积分中的极限或导数概念，而是要确保读者对微积分所依赖的工具集拥有绝对的熟练度和直觉性的理解。 --- 第一部分：基础的重塑与深化——代数语言的精炼 本部分着重于对传统代数概念进行更深入、更具洞察力的考察，为后续的复杂函数分析打下无可动摇的基础。 第一章：复习与超越——实数系统与表达式的艺术 我们不会简单地重复有理数和无理数的定义。本章将深入探讨数系的完备性，以及无理数（如 $pi$ 和 $e$ 的精确性）在实际计算中的意义。重点关注表达式的简化不仅仅是技巧，而是逻辑推理的过程。我们将探索代数表达式在多项式除法中的几何意义，引入更高级的因式分解技巧，例如使用特定恒等式（如和差立方、高次幂的分解）来处理复杂的有理表达式。我们还会探讨涉及根式的运算，特别是如何“有理化”分母和分子，以及在求解涉及根号的方程时，识别和验证增根的必要性。 第二章：函数的核心概念——关系、映射与性质的严谨定义 函数是连接代数和分析学的核心纽带。本章将严格定义函数、定义域和值域，并引入关系（Relation）与函数（Function）之间的本质区别。我们不仅会绘制简单的线性图，还会深入分析函数的关键性质：单射性（一对一）、满射性（映上）和可逆性（反函数存在的条件）。这部分内容将大量使用集合论的语言来精确描述函数的行为。我们将详细解析复合函数的概念，不仅是通过代数代入，更要理解其作为一种“过程的组合”的意义，并探讨其在优化问题中的应用前景。 第三章：线性世界的几何解读——直线、不等式与矩阵的初探 虽然本书不深入矩阵代数，但本章将用几何直觉来强化对线性和不等式的理解。我们将讨论斜率在不同上下文中的物理意义（速率、坡度）。对于线性方程组，我们将引入高斯消元法（Gauss-Jordan Elimination）的逻辑步骤，但更侧重于从几何角度理解其解集的可能性：唯一解（相交）、无穷多解（重合）或无解（平行）。此外，二维线性不等式的解集（半平面）的绘制，将为后续学习约束优化打下视觉基础。 --- 第二部分：函数的分类与行为分析——精细刻画数学模型 本部分是本书的重头戏，旨在让读者不仅能计算，更能“看见”函数在不同尺度下的表现。 第四章：多项式函数——从根的性质到图形的塑形 多项式不再仅仅是 $ax^n + dots$ 的和。本章聚焦于多项式的根（零点）的性质，包括实根和复根的共轭关系。我们将详细考察代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）的意义，以及如何利用有理根定理（Rational Root Theorem）高效地寻找潜在根。图形分析方面，我们将深入探讨奇偶性、端点行为（End Behavior），以及如何通过一阶导数的初步概念（无需正式引入极限）来判断函数在局部区域的上升和下降趋势，从而精确地描绘出图形的“山峰”和“谷底”。 第五章：有理函数与渐近线——无限的边界探究 有理函数是代数中最具挑战性的一类，因为它们涉及到除以零的潜在风险。本章将系统性地分类和分析垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线（Oblique Asymptotes）。理解渐近线的关键在于分析分子和分母的次数关系，并解释为什么图形会“趋近”于这些线，但永远不会真正“接触”它们。此外，我们还会研究有理函数中“洞”（Removable Discontinuities）的形成原因及其代数判定方法。 第六章：指数与对数——增长与衰减的普遍规律 指数函数和对数函数是描述自然界中变化率的核心工具。本章将从复利计算和人口增长模型等实际应用出发，引入自然底数 $e$ 的定义，强调其作为“连续增长率”的独特地位。对数函数将作为指数函数的逆运算，详细讲解对数定律（Product, Quotient, Power Rules）的推导过程，并展示它们在尺度转换（如地震级数、声音分贝）中的应用。我们将确保读者能够熟练地在指数形式和对数形式之间进行转换。 --- 第三部分：进阶工具箱——三角函数与序列的准备工作 这部分内容为进入更复杂的分析领域做好知识储备。 第七章：三角函数——周期性现象的代数表达 本书将三角函数（正弦、余弦、正切等）作为描述周期性现象的特定函数家族来研究，而不是仅仅作为直角三角形的边长比。我们将严格定义单位圆上的三角函数，并推导出它们的基本恒等式（如毕达哥拉斯恒等式）。重点在于理解三角函数的周期性、振幅和相位平移如何通过改变函数的参数来精确地“调谐”一个模型（如波浪、交流电）。反三角函数的引入将是理解周期函数的逆操作的关键。 第八章：序列与级数的初步接触——离散的无限求和 在正式学习极限之前，本章将引入有限和无限序列的概念。我们将详细区分算术序列和几何序列的求和公式，并展示如何通过“裂项法”等技巧来简化复杂的有限和。对于几何级数，我们将探讨其收敛的严格代数条件（公比的绝对值小于1），并计算其无限和。这部分内容为读者未来理解级数展开和泰勒多项式（如果后续书籍涉及）建立了必要的离散求和直觉。 总结： 《代数之径》是一本关于“为什么”和“如何应用”的书，而非仅仅是“是什么”。它通过对函数性质的精细剖析、对代数操作背后的几何或逻辑意义的强调，旨在培养读者对数学模型的高度敏感性，确保他们带着清晰、牢固的代数基础，自信地迈入更高级别的分析领域。本书的每一个例题和练习都经过精心设计，以挑战读者的思维深度，而非仅仅测试其机械运算能力。

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这是一本让人感到无比“充实”的教科书，这里的“充实”指的是页码和公式的密集程度。我喜欢厚重的书籍带来的那种“专业感”，但这本书似乎把“面面俱到”推向了一个极致，以至于内容变得过于庞杂和臃肿。它似乎试图囊括所有可能出现的知识点，却牺牲了对核心概念的精雕细琢。举个例子，当我们还在努力消化线性方程组的几何意义时，这本书已经迅速跳跃到了矩阵运算的繁琐细节，中间的衔接处理得非常仓促。阅读体验就像是坐上了一辆不知疲倦的火车，它不停地加速，不停地更换主题，让你根本没有时间好好欣赏沿途的风景——那些本该是精妙的数学美感。我不得不承认，书中的图示制作得还算精良，色彩搭配也赏心悦目，但仅仅靠视觉上的愉悦，是无法弥补内容组织上的混乱的。对于那些追求广度而非深度的学习者或许有用，但我个人更偏爱那种结构清晰、逻辑严密的教材。

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我必须承认，这本书在某些章节的处理上展现出了一种令人耳目一新的视角，尤其是在对函数性质的探讨上，那种将抽象概念与实际应用场景巧妙结合的方式，确实让人眼前一亮。我特别欣赏作者在引入某些代数技巧时，并非直接给出公式，而是通过一个富有启发性的故事或物理模型来引导我们自己推导出结论。这种“苏格拉底式”的教学方法，虽然在初期会稍微拉慢进度，但一旦你理解了背后的逻辑，你会发现对知识的掌握牢固了许多。然而，这种优点也带来了明显的副作用：阅读的节奏极不稳定。前一章可能需要花上两三天去细嚼慢咽，而紧随其后的下一章可能只需要一小时就能囫囵吞枣地读完，因为它突然变得过于直白和简单。这对于习惯了匀速学习的读者来说，是一个不小的挑战，需要极强的自控力去平衡不同章节的学习强度。总的来说，它更像是一本充满智慧火花的笔记集合，而不是一本系统化的教科书。

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这本书真的让我头痛欲裂，内容深度简直是灾难性的。我本来是抱着对高等数学的憧憬来的，希望能打下坚实的基础，结果呢？翻开第一章就感觉像是被扔进了迷雾之中，作者的叙述方式极其晦涩难懂，仿佛他根本不关心读者是否能理解。每一个概念的引入都像是凭空出现的，缺乏必要的铺垫和直观的例子。我反复阅读了好几遍，试图理解那些函数变换和三角恒等式的推导过程，但收效甚微。更别提那些习题了，它们往往要求你跳跃式的思考，完全没有循序渐进的引导。对我来说，这本书更像是某个资深教授留下的私人笔记，充满了只有他自己才懂的“捷径”，完全不适合初学者入门。如果有人问我推荐不推荐这本书，我会毫不犹豫地告诉他们，除非你想亲身体验什么是数学上的挫败感，否则请远离它。它成功地让我对预备微积分产生了深深的恐惧，而不是兴趣。

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从排版的角度来看，这本书的阅读体验简直是场灾难性的折磨。我不知道是谁做的决策，把如此复杂的数学符号和公式塞进了如此拥挤的版面之中。大量的公式没有得到足够的留白，导致视觉疲劳迅速累积，我感觉我的眼睛每时每刻都在与密密麻麻的文字和符号进行殊死搏斗。更令人发指的是，许多关键的定义和定理竟然没有被加粗或以任何形式突出显示，它们完全淹没在段落的海洋里，让人很容易错过重点。我花了不少时间在回顾之前读过的内容，只是为了确认我没有遗漏某个至关重要的前提条件，因为它被藏在了一堆不那么重要的解释性文字中间。如果说内容是灵魂，那么排版就是皮囊，而这本书的皮囊无疑是粗糙且令人不适的。我强烈建议出版商进行一次彻底的重新设计，增加字号，拉开行距，给那些复杂的数学表达足够的呼吸空间。阅读体验的下降，极大地影响了对知识本身的吸收效率。

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这本书的价值，我认为体现在了它对“证明”的重视程度上，这在许多流行的预备教材中是极其罕见的。作者似乎坚定地认为，一个数学概念的真正理解必须建立在其严谨的逻辑基础之上，所以书中包含了大量的、看似“不必要”的证明过程。对于那些渴望深入探究数学“为什么”的读者来说，这简直是如获至宝，它揭示了那些我们通常视为理所当然的数学真理背后的逻辑链条。然而，这种对严格性的偏执也带来了明显的弊端：它极大地提高了学习的门槛。许多同学可能只是想学会运用这些工具去解决实际问题，但这本书却强迫你先成为一个合格的逻辑学家。对于那些时间紧张或者学习目标仅仅停留在应用层面的群体而言，这些详细的推导过程反而成了沉重的负担，显得冗余且拖沓。因此，这本书更像是为未来数学专业的学生准备的“软着陆”材料，而不是为大众读者设计的通用工具书。

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