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出版者:长春出版社

作者:才裕平

出品人:

页数:303

译者:

出版时间:2006-7

价格:12.00元

装帧:

isbn号码:9787544501200

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深入理解微积分：从基础概念到高级应用 图书名称： 深入理解微积分：从基础概念到高级应用 作者： 李明 教授，王芳 副教授 出版社： 科技文库出版社 定价： 98.00 元 --- 内容简介 本书旨在为高等院校理工科、经济管理类专业的学生以及对微积分有深入学习需求的自学者，提供一套全面、系统且富于启发性的学习资源。我们深知微积分是现代科学、工程技术和经济学分析的基石，其抽象性常常成为初学者的主要障碍。因此，本书的编写核心理念是“概念清晰化、推导严谨化、应用可视化”，力求将复杂的数学概念转化为直观的理解，并将抽象的理论与实际问题紧密结合。 全书共分十五章，内容覆盖了单变量微积分、多元微积分、微分方程的基础理论与应用。我们避免了仅仅罗列公式和定理的传统叙事方式，而是着重于构建知识体系的内在逻辑，引导读者进行主动思考和探索。 第一部分：极限与连续——奠定分析的基石（第1章至第3章） 第1章：数学分析的预备与逻辑基础 本章首先回顾了必要的集合论、函数、数列和不等式等预备知识，并强调了数学证明的基本方法（如直接证明、反证法、数学归纳法）。重点引入了“$epsilon-delta$ 语言”的精确性，通过大量直观的几何解释，帮助读者掌握极限定义的本质，而非仅仅停留在符号操作层面。 第2章：极限的精确定义与性质 详细阐述了数列极限和函数极限的严格定义，包括单侧极限和无穷极限。本章引入了Heine定义作为辅助理解工具，并深入讨论了极限的四则运算法则、保序性、以及夹逼定理（Squeeze Theorem）在求解复杂极限中的应用。我们特别设计了一系列具有迷惑性的练习题，以检验读者对极限概念的掌握深度。 第3章：连续性与介值定理 本章从直观的“不中断绘图”过渡到严格的连续性定义。深入探讨了闭区间上连续函数的性质，如最大值最小值定理和介值定理。这些定理不仅是后续微积分理论的基石，也是理解连续系统行为的关键工具。我们通过物理学中的温差变化和经济学中的需求弹性等案例，展示了连续性在实际中的体现。 第二部分：导数——瞬时变化的量度（第4章至第7章） 第4章：导数的概念与几何意义 本章的核心是导数作为“瞬时变化率”的解释。从平均变化率过渡到切线斜率，导数的几何意义被清晰阐述。引入了导数的四则运算法则和链式法则（Chain Rule）。链式法则是本章的难点，我们使用“多层嵌套函数”的模型进行类比教学，确保读者能够熟练应用这一核心工具。 第5章：基本初等函数的求导 系统地推导了多项式、有理函数、三角函数、指数函数和对数函数的导数公式。本章特别强调了隐函数求导法和参数方程求导法，这在物理学和工程制图中至关重要。 第6章：导数的应用——分析函数性态 本章是导数理论的集中应用。详细讨论了罗尔定理、拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）及其推论。通过函数的单调性和极值分析，读者将学会利用一阶导数确定函数的增减区间和局部极值点。 第7章：高阶导数与函数图像的描绘 引入二阶导数的概念，探讨凹凸性和拐点。结合一阶导数信息，构建了完整的函数图像描绘流程，包括渐近线的判断。此外，本章还详细介绍了洛必达法则（L'Hôpital's Rule）在处理 $0/0$ 和 $infty/infty$ 型未定式极限时的严格应用条件和局限性。 第三部分：积分——累积与总量（第8章至第11章） 第8章：定积分的严格定义与计算 本章从面积问题出发，引入黎曼和的概念，并给出定积分的严格定义。重点讲解了定积分的基本性质（如可加性、估算性质）。我们强调了定积分是对有限个微小量的累加过程，这与导数代表的瞬时分割过程形成鲜明对比。 第9章：微积分基本定理——联系的桥梁 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）是全书的理论核心。本章分两部分，首先证明了牛顿-莱布尼茨公式，展示了微分与积分之间的互逆关系；随后，详细讨论了微积分基本定理的第二形式（变上限积分函数的求导）。 第10章：不定积分的求解方法 系统介绍了求解不定积分的各种技巧，包括：第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积分法（Integration by Parts）以及有理函数积分法（通过部分分式分解）。每种方法都配有详尽的步骤分析和典型例题。 第11章：定积分的应用 将定积分的概念扩展到实际应用领域，包括：面积计算（直线、曲线围成的面积）、体积计算（旋转体与截面法）、弧长计算以及物理学应用（如功、质心和转矩的计算）。这些应用例题具有很强的工程背景，帮助读者理解“积分即累加”的本质。 第四部分：超越单变量——多元微积分基础（第12章至第15章） 第12章：空间几何与偏导数 将分析工具推广到 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$。回顾了空间向量、曲面方程等知识。重点引入偏导数的概念，解释其物理意义（沿着坐标轴方向的变化率）。详细讨论了全微分的概念，并阐述了它与偏导数的关系。 第13章：多元函数的链式法则与梯度 多元函数的链式法则是理解复杂系统变化的关键。本章对不同路径下的链式法则进行了详尽的分类和推导。引入方向导数和梯度向量，解释梯度指示函数增长最快的方向，这是机器学习和优化理论的基础。 第14章：多元函数的极值问题 讨论在多变量函数中寻找极值的方法。关键内容包括二阶偏导数和Hessian矩阵的构造，以及利用二阶偏导数判别法（Hessian行列式）来区分极小值、极大值和鞍点。本章还介绍了拉格朗日乘数法，用于解决带约束条件的优化问题。 第15章：微分方程导论 作为微积分理论的自然延伸，本章简要介绍了微分方程的基本概念（阶、线性、齐次性）。重点讲解了一阶可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。通过简单的物理模型（如人口增长、衰变过程），展示微分方程在描述动态系统中的强大能力。 --- 本书特色 1. 概念驱动，而非公式驱动： 每引入一个新概念，我们都首先从几何或物理直观出发，再过渡到严格的数学表述，确保读者真正“明白”公式背后的意义。 2. 严谨性与可读性的平衡： 严格遵循数学分析的逻辑链条，但语言力求清晰流畅，避免过度堆砌晦涩的术语。 3. 丰富的例题与应用实例： 精选了来自物理学、工程学、经济学和生物学等领域的典型应用案例，并提供详尽的解题步骤，帮助读者建立数学建模思维。 4. 思维导图与知识网络： 书末附有全书关键概念的结构化思维导图，帮助读者系统梳理和回顾知识点之间的内在联系。 本书适合作为高等数学、微积分或数学分析课程的教材或参考书，是任何希望扎实掌握现代科学分析工具的读者不可或缺的工具书。

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说实话，我之前尝试过很多数学教材和辅导书，但总感觉缺少那么一点“火候”。直到我看到了这本书，我才明白，原来数学的学习可以如此生动有趣。它不是简单地罗列公式和定理，而是将数学的概念与实际生活巧妙地结合起来，让我看到了数学的实用价值和趣味所在。我尤其喜欢它在讲解一些经典数学问题时，会追溯其历史渊源，介绍解决这些问题的数学家们的思考过程，这让我感觉自己仿佛置身于那个伟大的时代，与他们一同探索数学的奥秘。它不仅仅是知识的传授，更是一种文化的熏陶。书中大量的案例分析，让我明白了数学是如何在科学、工程、经济等各个领域发挥重要作用的，也让我对未来的职业发展有了更清晰的认识。而且，这本书的语言风格非常接地气，没有那种高高在上的说教感，更像是一位经验丰富的朋友，耐心地解答我心中的疑惑。读这本书，我不仅学到了数学知识，更重要的是培养了我对数学的兴趣和探索精神。

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这本书实在是太神奇了，它就像一位无所不知的导师，总能在最关键的时候点醒我。我一直对数学的某些概念感到困惑，比如微积分里的无穷小量，还有线性代数里的向量空间，总觉得书本上的讲解过于抽象，难以把握。但这本书用了一种非常生动形象的方式，通过大量精选的例题，把那些看似遥不可及的概念，一步步拆解，让我豁然开朗。尤其是它对那些“为什么会是这样”的底层逻辑的深入剖析，让我不再满足于死记硬背公式，而是真正理解了数学的内在美。它不仅仅是告诉你怎么做题，更重要的是告诉你为什么这么做，背后的数学思想是什么。我印象最深刻的是关于概率论的那一部分，它用生活中的例子，比如掷硬币、抽奖等等，解释了条件概率和贝叶斯定理，让我第一次真正体会到概率的强大和实用性。读完这部分，我感觉自己看世界的眼光都不同了，能够用更理性的角度去分析很多随机事件。而且，书中的排版和插图也非常用心，图文并茂，让学习过程不再枯燥，反而充满了探索的乐趣。我还会经常翻阅，每读一遍都会有新的体会，感觉自己对数学的理解又加深了一层。

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我必须承认，在遇到这本书之前，数学对我来说就像是一道难以逾越的高墙，每一次考试都是一次煎熬。我总是努力地去做题，但很多时候，即使答案对了，我也说不清楚为什么。特别是那些常常在考试中出现的、看似千篇一律却又暗藏玄机的压轴题，更是让我头疼不已。这本书的出现，彻底改变了我的这种状况。它并没有给我提供大量的解题技巧，而是另辟蹊径，从更本质的角度去审视问题。它会引导你思考，在解决一个具体问题时，背后隐藏着哪些普遍性的数学原理，这些原理又是如何相互关联、层层递进的。读这本书的过程，就像是在进行一场思维的探险，每一次的突破都伴随着巨大的喜悦。它教会了我如何分解复杂的问题，如何抓住问题的核心，以及如何运用不同的数学工具来解决它。我特别喜欢它在讲解一道难题时，会先提出几个思考方向，然后一步步排除错误选项，最终引导读者找到最优解。这种循序渐进的引导方式，让我真正学会了独立思考，而不是被动接受。现在，我面对数学题时，不再感到恐惧，反而多了一份自信和从容。

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我一直对数学抱有一种又爱又怕的态度。爱它的逻辑严谨和简洁之美，又怕它抽象难懂，总是在某些关键点上卡住，无法前进。这本书的出现，就像是一盏明灯，照亮了我前行的道路。它非常精准地抓住了数学学习中最容易让人产生误解和困惑的地方，然后用一种非常清晰、有条理的方式进行剖析。它不是简单地给出答案，而是引导我去思考问题的本质，去理解为什么会是这样的结论。我非常欣赏它在处理一些“疑难杂症”时，会从多个角度进行论证，让不同的理解方式都能得到有效的梳理。它不会回避那些“为什么”的问题，而是鼓励读者主动去探究，去发现。我记得有一部分讲解了函数的可导性与连续性的关系，书中的图示和解释简直是神来之笔，让我之前一直模糊不清的概念瞬间清晰起来。这本书不仅仅是为我解答了困惑，更是为我建立了一个更加扎实的数学知识体系。它让我明白，数学的学习是一个循序渐进、不断深入的过程，而这本书，无疑是我在这个过程中不可或缺的伴侣。

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这本数学读物真的给我带来了前所未有的学习体验。我一直觉得，很多数学书虽然内容翔实，但往往缺乏一种“灵魂”，读起来像是在啃一本枯燥的字典。然而，这本书完全不同，它充满了智慧的火花，仿佛作者是一位充满激情的数学家，正在与我进行一场心灵的对话。它不仅仅是讲解知识点，更是在传递一种对数学的敬畏和热爱。它用非常人性化的语言，将那些晦涩难懂的概念变得亲切易懂，甚至带有一些哲学的思辨。我记得有一章讲解了数学中的“对称性”，作者并没有停留在表面的图形识别，而是深入探讨了对称性在自然界、艺术以及科学中的广泛应用，让我第一次意识到数学原来可以如此美丽和深刻。它鼓励我主动去发现数学的美，去感受数学的力量。更重要的是，它教会我如何去“思考”数学，而不是仅仅“记住”数学。我现在做题时，不再是机械地套用公式，而是会去理解公式的由来，理解它适用的条件，以及它能够解决的问题范畴。这种学习方式，让我对数学的掌握更加牢固，也让我对未来的学习充满了期待。

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