Eigenvalues in Riemannian Geometry, Volume 115, Second Edition (Pure and Applied Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:Isaac Chavel

出品人:

页数:362

译者:

出版时间:1984-11-28

价格:USD 104.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780121706401

丛书系列:PURE AND APPLIED MATHEMATICS: A series of Monographs and Textbooks

图书标签:

• 黎曼几何
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黎曼几何中的特征值：理论与应用 黎曼几何，作为研究光滑流形上度量结构的学科，为理解几何空间提供了强大的数学框架。在这广阔的领域中，特征值扮演着至关重要的角色，它们揭示了流形固有的几何性质，并与诸如测地线、曲率和拓扑等关键概念紧密相连。本书深入探讨了黎曼几何中特征值的理论，并展示了其在各个分支中的广泛应用。 核心概念与理论基石 本书首先从基础出发，详细阐述了黎曼几何的必备工具。我们将回顾微分流形、张量分析以及黎曼度量的定义，为理解后续内容奠定坚实基础。在此基础上，我们将重点介绍拉普拉斯算子，它是黎曼几何中最重要的微分算子之一。我们将深入分析黎曼流形上拉普拉斯算子的谱性质，包括其特征值的存在性、离散性以及与流形几何结构的深刻联系。 特征值与几何性质的联系 本书的核心在于揭示特征值如何反映黎曼流形的几何特性。我们将探讨： 特征值与测地线: 测地线是黎曼流形上“最短路径”的推广。特征值如何影响测地线的行为，例如稳定性和收敛性，将是本书讨论的重点。我们将研究诸如泊松方程和热核等与测地线相关的方程，并分析其解的特征值谱。 特征值与曲率: 曲率是衡量黎曼流形弯曲程度的关键指标。本书将详细分析特征值与Ricci曲率、数量曲率以及截面曲率之间的关系。我们将介绍如Gauss-Bonnet定理等重要结果，并展示特征值如何在局部和整体上刻画曲率的分布。 特征值与拓扑: 拓扑性质是流形在连续形变下保持不变的性质。本书将探讨特征值如何与流形的拓扑不变量，如Betti数和Euler示性数相关联。我们将介绍如Weyl律等描述特征值分布与拓扑之间关系的渐近公式，并讨论其在流形分类问题中的应用。 重要理论框架与模型 本书将深入介绍黎曼几何中研究特征值的若干重要理论框架和模型： 谱几何: 这是一个新兴且充满活力的研究领域，它旨在通过研究微分算子的特征值谱来理解几何流形的性质。我们将介绍谱几何的基本思想，以及如何利用特征值信息来“听见”流形的形状。 特殊黎曼流形: 本书将考察一些特殊的黎曼流形，例如空间形式（球面、欧几里得空间、双曲空间）、均匀流形以及齐性空间。我们将分析在这些特殊几何背景下，特征值所展现出的规律性和特殊性。 特征值不等式: 许多关于黎曼流形的重要几何结论都可以通过研究其特征值的不等式来获得。我们将介绍一系列著名的特征值不等式，例如Cheeger不等式和Hodge分解定理，并展示它们如何在刻画流形性质方面发挥关键作用。 应用领域 本书不仅关注理论的严谨性，更强调特征值在不同数学和物理分支中的实际应用： 偏微分方程: 黎曼几何中的特征值与许多重要的偏微分方程，如调和微分形式、量子力学中的薛定谔方程以及流体动力学方程等，有着深刻的联系。我们将探讨特征值如何影响这些方程的解的性质和行为。 物理学: 黎曼几何在理论物理学中扮演着核心角色，尤其是在广义相对论和弦论中。本书将展示黎曼流形的特征值如何出现在引力波的传播、黑洞的性质以及量子场的激发态等物理现象的描述中。 计算机科学与数据科学: 近年来，黎曼几何及其谱理论在计算机图形学、图像处理、机器学习以及网络分析等领域展现出巨大的潜力。我们将介绍如何利用流形的特征值来分析和处理高维数据，例如降维、聚类和形状匹配等。 本书特点 本书力求以清晰、系统的方式呈现黎曼几何中特征值的相关理论和应用。对于初学者，我们提供了详实的背景知识和概念解释；对于有一定基础的研究者，我们深入探讨了前沿的研究课题和技术。本书的叙述严谨且富有启发性，旨在帮助读者深刻理解黎曼几何中特征值的魅力，并激发其在未来研究中的创新思路。 面向读者 本书适合数学、物理学、计算机科学以及相关领域的研究生、博士后以及高年级本科生。对于任何对几何、分析或谱理论感兴趣的读者，本书都将是一份宝贵的参考资料。

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本书的术语使用和符号约定，如果用一个词来形容，那就是“一丝不苟”。作者在全书范围内对符号的定义保持了高度的一致性，这在处理复杂的张量和微分算子时至关重要，极大地减少了阅读过程中因符号歧义而产生的挫败感。对于严肃的数学研究者来说，这种严谨性是无可替代的。然而，这种极端的严谨性也带来了一个副作用：阅读体验上的“冷感”。全书几乎没有使用任何叙事性的语言来引导读者，每一个段落都是定理、定义或证明的堆砌。这使得这本书的阅读过程更像是在进行一场智力上的“解密”而非知识的“吸收”。我更倾向于那种能够与作者的思考过程进行某种形式的对话的书籍，即便它们在严格性上略逊一筹。对于希望通过这本书作为自学入门材料的读者，我建议必须配合有更具启发性的讲义或研讨班笔记一同使用，否则很容易在知识的海洋中感到迷失方向，缺乏指引的灯塔。

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这本数学专著的装帧实在是一流，封面设计简洁而不失深邃，那种深蓝色调配上烫金的书名，拿在手里就感觉分量十足，仿佛触碰到了纯粹的知识。我个人对这种经典数学教材的物理质感有着近乎偏执的喜爱，厚实的纸张、清晰的印刷，即便是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。不过，话说回来，内容本身才是决定一本书价值的核心。我翻阅了前几章的绪论部分，作者似乎花了不少篇幅在回顾一些基础的微分几何概念，比如流形上的张量场、黎曼度量等。这对于我这种在学习进阶拓扑和分析的交叉学科背景下的人来说，无疑是一个温故知新的好机会，但同时，也让我略微担忧，如果后续的切入点过于保守，可能会拖慢真正进入特征值理论核心部分的节奏。我期待作者能尽快展示出其对该领域独到的见解，尤其是在处理那些涉及到谱分析与几何结构之间微妙联系的地方，毕竟，这才是这本“专著”的真正价值所在。整体来看，作为工具书的物理体验是令人赞赏的，但内容深度的平衡点还需要进一步观察。

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这本书的章节组织结构，在我看来，存在着明显的“前松后紧”现象。开篇几章花了很多篇幅在铺陈必要的微分几何背景知识，这些内容虽然严谨，但与书名直接关联性不强，更像是对标准教材的重述。然而，一旦进入到探讨“特征值振动模式”与“体积、面积的谱不等式”这一核心主题时，内容的密度和抽象程度瞬间飙升。我特别关注了关于Isoperimetric Inequality的谱学版本，作者引用了非常前沿的研究成果，这无疑提升了本书的学术前沿性。但问题在于，那些高深的定理往往只给出结论和参考文献，而缺乏对这些结论的几何直观意义的深入剖析。一个优秀的参考书，不仅要告诉你“是什么”，更要告诉你“为什么重要”以及“它意味着什么”。我希望作者能提供更多关于这些谱不等式在实际几何问题（比如波的传播或热传导）中的应用实例，这样才能真正激发读者将理论应用于实践的兴趣，而不是仅仅将这些公式视为数学符号的游戏。

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我花费了整整一个周末的时间，试图消化前三个章节的定理和证明，坦白说，这本著作的难度曲线比我预期的要陡峭得多。作者在引入“广义特征值问题”时，所采用的推导路径异常迂回，大量依赖于读者对特定算子理论的预先掌握，这对于非纯数学背景的读者，比如我这种偏向应用物理和工程的背景来说，构成了不小的障碍。我得反复查阅附录中的引述文献，才能勉强跟上作者跳跃性的逻辑。例如，在讨论关于拉普拉斯-贝特拉米算子的特征谱展开时，书中对紧致流形和非紧致流形的讨论似乎在同一个框架下混杂进行，缺乏清晰的边界划分，导致初次接触者很容易在细节中迷失方向。如果作者能在关键转折点增加一些更直观的几何图像辅助理解，或者提供更详尽的中间步骤，而不是一味追求证明的简洁性，我想会有更多不同领域的专业人士愿意深入挖掘。目前的阅读体验更像是在攀登一座设计精妙但缺少扶手的悬崖，风景或许壮丽，但过程充满艰辛。

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作为一本第二版，我非常期待看到它在吸收了近些年该领域新进展方面能有哪些显著的改进和补充。然而，翻阅目录和对比初版的结构后，我感到略微的失望。虽然新增了一些关于非紧致空间谱理论的简短小节，但整体框架似乎依然固守着经典的结构，缺少对近年来新兴研究热点如随机群上的特征值问题，或者与量子场论更紧密结合的谱几何新方向的有力回应。这使得这本书在面对快速发展的现代数学物理前沿时，显得有些滞后。它依然是理解基础和中级特征值问题的坚实基石，但对于那些试图站在学科最尖端进行研究的学者来说，这本书更像是一个可靠的“历史文献库”，而非一个“前沿探索指南”。或许，作者选择稳健地巩固经典理论的严密性，但对于追求“最新”的读者而言，这本厚重的砖头在信息时效性上稍显保守了。

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