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出版者:北大

作者:卢刚，冯翠莲，孙惠玲 编著

出品人:

页数:168

译者:

出版时间:2006-10

价格:18.00元

装帧:

isbn号码:9787301105788

丛书系列:

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• 线性代数
• 解题技巧
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几何构筑：解析与应用 本书并非一本探讨传统代数运算或矩阵解法的教材。它深入探索的是“结构”本身——几何空间的构筑、变换的本质，以及如何利用这些抽象概念来解决现实世界中的复杂问题。 第一部分：拓扑的边界与连续性的艺术 本书开篇即抛弃了欧几里得坐标系的束缚，转而关注拓扑学的基础。我们将深入探讨开集、闭集、紧致性（Compactness）的深层含义，以及它们如何在不依赖度量的情况下定义空间的“邻近性”。 1. 拓扑空间的构造与同胚： 我们将详细解析构造一个全新的拓扑空间的流程，从点集出发，如何定义一组满意的开集族，使其满足拓扑学的基本公理。重点分析了“黎曼球面”与“复射影线”的拓扑等价性（同胚），讨论了哪些几何性质在连续映射下得以保持，哪些则会发生本质的改变。这不是关于如何计算行列式的书籍，而是关于为什么某些图形可以被拉伸而不被撕裂。 2. 连通性与路径积分的几何基础： 讨论了路径连通与点集连通的区别。在分析流形（Manifolds）的局部结构时，我们将聚焦于如何利用微分结构和嵌入定理（Embedding Theorems）来理解高维空间的局部可微性。这部分内容将大量运用“邻域”和“基底”的概念，而非具体的向量运算。例如，我们会讨论布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）的拓扑证明，其核心在于对空间的边界和内部关系的深刻理解。 3. 紧致性和测度理论的初探： 紧致性在泛函分析中的重要性远超线性代数。我们将分析海涅-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem）在更一般的度量空间中的推广，并探讨其在证明连续函数存在最大值或最小值时的不可替代性。此外，还将引入基础的测度概念，探讨集合的“大小”如何超越简单的体积或面积，尤其关注那些无法用传统方式度量的奇异集。 第二部分：微分几何：曲率与测地线 本书的第二部分完全聚焦于如何描述空间的变化和弯曲。我们不讨论向量空间的基底变换，而是研究曲面上点的切线空间及其法向量的演化。 1. 流形上的张量分析（非坐标系依赖）： 这一章节摒弃了繁琐的指标记号，转而强调张量的内在定义——它在坐标系变换下保持不变的性质。我们将详细阐述协变导数（Covariant Derivative）的引入是为了解决什么问题：即在弯曲空间中，我们如何定义一个“没有弯曲”的方向上的变化率。重点分析李导数（Lie Derivative）在描述向量场如何“拖动”整个流形结构上的作用。 2. 曲率的几何解释：黎曼张量与外部微分： 黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的计算过程被搁置一旁，取而代之的是对其几何意义的深刻洞察：它量化了平行移动（Parallel Transport）的“失败程度”。我们将使用外部微分（Exterior Calculus）的语言来重新诠释曲率，展示为什么曲率与闭合 2-形式的微分恰好是零（即德拉姆定理的几何直观）。 3. 测地线方程的变分原理： 测地线（Geodesics）被定义为两点间“最短”或“最直”的路径。本书将从欧拉-拉格朗日方程出发，推导出测地线方程，强调其变分本质——它本质上是极小化一段路径长度泛函的结果。这部分内容将详细讨论霍金辐射的背景理论中，时空弯曲如何通过改变测地线来影响粒子的运动轨迹。 第三部分：同调论与代数拓扑的构造 最后的篇幅致力于使用代数工具来区分和分类不同的拓扑空间，这与线性代数中对向量空间的分类截然不同。 1. 链复形与边界算子： 我们将介绍单纯复形（Simplicial Complexes）的构造，并定义链群（Chain Groups）$C_n$。核心在于边界算子 $partial_n$ 的定义及其核心性质 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$。这个零是代数拓扑的基石，它保证了“边界的边界是空的”这一几何直觉。 2. 同调群的计算与意义： 重点解释同调群 $H_n = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$ 的结构。这不涉及求解线性方程组，而是关于“洞”的代数表征。例如，我们将详细计算二维圆环（Torus）和三维实心球（Solid Ball）的各个阶次的同调群，展示它们在拓扑上是如何被清晰地区分开来的。 3. 欧拉示性数与霍普夫定理： 最后，本书将探讨拓扑不变量——欧拉示性数（Euler Characteristic） $chi$ 的计算及其在所有多面体上的不变性。我们将探讨霍普夫定理（Hopf Theorem），该定理将向量场的零点个数（拓扑性质）与其在流形上的曲率积分（几何性质）联系起来，提供了一个强大的工具来理解全局结构与局部性质的和谐统一。 总结： 本书旨在为读者提供一个纯粹的、基于结构的、几何化的视角来理解空间、变换与不变量。它假设读者已经掌握了基础的微积分和集合论，但完全不依赖于求解矩阵特征值、特征向量或正交对角化等线性代数核心技能。其核心在于空间的拓扑属性、弯曲空间的度量以及代数方法在描述拓扑洞方面的应用。

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老实说，我之前对线性代数的理解可以用“雾里看花”来形容，直到我翻开了这本《线性代数解题方法与技巧》。这本书的结构设计非常巧妙，它不像很多教材那样按部就班地介绍概念，而是直接切入实际的解题场景。它会列出一些典型的线性代数问题，然后深入浅出地讲解解决这些问题的关键思路和常用方法。我印象最深刻的是关于“特征值与特征向量”那一章，之前我总觉得这个概念很抽象，但书中的讲解让我豁然开朗。它不仅解释了特征值和特征向量的几何意义，还提供了多种计算它们的方法，并且针对不同类型的矩阵，给出了不同的策略。最重要的是，它强调了“为什么”要这样做，而不是简单地罗列公式。这种“知其然，更知其所以然”的学习方式，让我能够真正理解线性代数的内在逻辑，而不是死记硬背。书中还穿插了很多“小贴士”和“注意事项”，这些细节往往能帮助我避免一些常见的错误，节省大量宝贵的解题时间。这本书的排版也非常清晰，图文并茂，使得阅读过程十分愉悦。对于我这种需要通过实践来加深理解的学习者来说，这本书无疑是雪中送炭。

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作为一名正在攻读数学专业的学生，线性代数无疑是我学习道路上的一个重要关卡。《线性代数解题方法与技巧》这本书的出现，可以说是为我拨开了眼前的迷雾。它并非简单地罗列定理和证明，而是将解题的实际需求置于首位。书中的每一章节都紧密围绕着一类具体的解题任务展开，从基础的向量运算到复杂的矩阵分解，它都提供了一套清晰、系统化的解题框架。我尤其欣赏它在处理“线性方程组的求解”这一经典问题时，所采用的多种视角和方法。它不仅详细讲解了高斯消元法和初等行变换的步骤，还深入分析了矩阵的秩与解的存在性、唯一性之间的关系，并通过大量实例展示了如何根据具体情况选择最有效率的求解策略。书中还提供了许多“速算”技巧和“巧解”方法，这些在考试中能极大地提升我的解题速度和准确率。另外，作者在讲解过程中，常常会穿插一些历史故事或者与其他数学分支的联系，这不仅增加了阅读的趣味性，也让我对线性代数有了更宏观的认识。这本书的理论深度和实践指导性并存，对于想要在数学领域有所建树的同学来说，绝对是一本不可或缺的参考书。

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作为一名在业余时间钻研机器学习算法的爱好者，我时常感到自己在数学基础上的不足，尤其是线性代数，常常成为我理解算法的关键瓶颈。《线性代数解题方法与技巧》这本书，对于我来说，无疑是一场及时雨。它并没有停留在理论层面，而是将重心放在了“如何应用”和“如何解决问题”上。书中的每一章都围绕着一个或几个核心的解题主题展开，例如“向量的内积与正交”、“矩阵的分解”等。我尤其欣赏书中对于“矩阵的SVD分解”的讲解，它不仅仅是给出了公式，更深入地解释了SVD在降维、推荐系统等实际应用中的原理和效果，这让我恍然大悟，原来那些复杂的算法背后，有着如此强大的数学支撑。书中还穿插了不少“小技巧”，比如如何快速判断一个矩阵是否可逆，或者如何通过观察矩阵的性质来简化计算，这些都极大地提升了我的解题效率。而且，这本书的语言风格非常流畅，阅读起来毫不费力，即使是相对复杂的概念，在作者的阐述下也变得清晰明了。我真的强烈推荐这本书给所有对线性代数感兴趣，并且希望将其应用于实际问题的朋友。

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我一直认为，数学学习的最终目的是为了解决实际问题，而《线性代数解题方法与技巧》这本书，恰恰完美地体现了这一点。它没有过多地纠缠于繁琐的理论证明，而是将重点放在了如何将线性代数知识应用于解决各种实际问题。书中的每一章节都围绕着一个具体的解题任务展开，例如，如何利用矩阵来模拟现实世界的各种变化，或者如何通过向量的线性组合来描述复杂系统。我尤其欣赏书中对于“行列式的应用”的讲解，它不仅列举了计算行列式的各种方法，更重要的是，它详细阐述了行列式在判断方程组解的个数、计算几何体的体积等方面的作用。书中的例题也非常丰富，而且涵盖了各种不同领域，从经济学到计算机科学，再到物理学，都能够找到线性代数的应用。而且，作者在讲解过程中，常常会穿插一些“小窍门”和“捷径”，这些都能够帮助我们更快速、更准确地解决问题。这本书的语言风格非常通俗易懂，即使是对于初学者来说，也能够轻松理解。总之，这是一本非常实用的线性代数参考书，它能够帮助我们真正地掌握这门学科，并将其应用于解决各种实际问题。

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这本《线性代数解题方法与技巧》绝对是我近年来购买过的最让我满意的一本书籍。我是一个对数学本身充满好奇，但又常常被其抽象性所困扰的学习者。这本书以其独特的视角，将线性代数这门看似高冷的学科，变得生动有趣且易于掌握。它不是那种让人望而生畏的理论大部头，而是真正从读者的角度出发，将各种解题方法和技巧娓娓道来。我特别喜欢书中对“向量空间”的讲解，它通过类比生活中的各种场景，比如房间里的坐标系，以及不同物品的组合方式，来解释向量空间的概念，让我一下子就理解了抽象的定义。而且，书中对于“线性变换”的讲解，也通过大量的几何图形和变换示例，让我对抽象的函数有了直观的认识。最让我印象深刻的是，它在讲解“特征值与特征向量”时，不仅提供了计算方法，还深入探讨了它们在现实世界中的应用，例如在物理学中的振动分析，以及在工程学中的稳定性分析。这本书的结构非常合理，每一章都循序渐进，并且提供了大量的例题和练习题，让我能够及时检验自己的学习成果。总之，这是一本能够真正帮助读者理解并掌握线性代数精髓的优秀读物。

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这本《线性代数解题方法与技巧》简直是我近期最惊喜的图书发现！一开始我只是抱着试试看的心态，毕竟线性代数这门课对我来说一直是个巨大的挑战，各种抽象的概念和繁琐的计算常常让我望而却步，考试的时候更是头痛欲裂。但这本书真的给我打开了一个新世界。它不是那种枯燥乏味的理论堆砌，而是真正地从“如何解决问题”的角度出发，把那些看似高深莫测的定理和公式，一层层地剥开，直到露出它们最核心、最易懂的本质。我尤其喜欢它对每一种题型的分析，它会先指出这类题目的常见难点和陷阱，然后一步步地演示如何运用书中学到的技巧来规避这些难点，并给出最优的解题思路。很多时候，我只需要按照书中的步骤来思考，就能轻松找到答案，这让我对线性代数产生了前所未有的自信。而且，书中提供的例题非常丰富，涵盖了从基础到进阶的各种题型，并且每道例题的讲解都详尽入微，仿佛老师就在我身边手把手地指导。我甚至能感受到作者在编写这本书时，倾注了多少心血，试图让每一个读者都能真正地理解并掌握线性代数。它不仅仅是一本书，更像是一位循循善诱的良师益友，指引我走出线性代数的迷宫。

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这本《线性代数解题方法与技巧》无疑是我近年来读过的最有价值的数学类书籍之一。它最大的优点在于其极强的“实战性”。不同于许多理论性过强的教材，这本书直击线性代数学习中最令人头疼的部分——如何有效地解决问题。书中对于每一个重要的概念，都紧密联系着实际的解题方法。例如，在讲解“向量组的秩”时，它并没有仅仅给出定义，而是详细阐述了如何通过行阶梯形矩阵来求解秩，以及秩的几何意义。更令我印象深刻的是，它在分析“矩阵的特征值与特征向量”时，不仅给出了求解的步骤，还深入剖析了不同情况下（如对称矩阵、非对称矩阵）的求解策略，并且提供了不少“捷径”，这对于提升解题效率至关重要。书中还包含了很多“误区警示”和“易错点提醒”，这对于初学者来说，简直是宝贵的财富，能够帮助我们少走弯路。排版上，书籍的结构清晰，重点突出，大量的图示和表格也使得理解更加直观。总而言之，这是一本能够真正帮助读者“学以致用”的线性代数参考书，无论你是学生还是需要运用线性代数解决实际问题的从业者，都能从中获益匪浅。

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这本《线性代数解题方法与技巧》对于我这个已经离开校园多年，但在工作中又需要重新接触线性代数的人来说，简直是救星！我曾经对矩阵运算、向量空间这些概念头疼不已，总是记不住公式，更别说灵活运用了。但这本书的出现，彻底改变了我的看法。它不是那种需要你从头开始啃理论的书，而是直接告诉你，遇到某个问题，该怎么做。比如，当需要判断一个向量组是否线性无关时，书中立刻给出了几种判断方法，并且详细解释了每种方法的原理和适用条件，还举了大量例子，让我能够举一反三。我特别喜欢它对“矩阵求逆”部分的讲解，提供了好几种不同的求逆方法，并分析了各自的优缺点，这让我能够根据具体矩阵的特点，选择最合适的方法，而不是盲目地套用一种公式。书中还有很多关于“向量空间”和“线性变换”的应用实例，这些都让我看到了线性代数在实际问题中的巨大价值，也让我重新燃起了学习的兴趣。总而言之，这本书非常实用，而且易于理解，我强烈推荐给所有需要掌握线性代数的朋友。

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我最近在准备考研，数学是我的弱项，尤其是线性代数，简直是个噩梦。听朋友推荐了这本《线性代数解题方法与技巧》，我抱着试试看的心态买了下来。没想到，这本书真的给了我太大的惊喜！它不像我以前看过的教材那样，上来就讲一大堆抽象的概念，而是直接从我们最关心的“怎么解题”入手。书里把各种题型都分类得很清楚，比如关于“行列式的计算”，它就列举了好多不同的题型，从最基础的二阶、三阶行列式，到更复杂的带参数的行列式，每一种都有详细的解题步骤和技巧。最重要的是，书中讲解的技巧非常实用，能够大大简化计算过程，减少出错率。我以前做行列式题，总是算半天还算错，看了这本书之后，感觉简直是如虎添翼。另外，对于“线性空间”这个比较抽象的概念，书里也用了很多直观的比喻和实例来解释，让我一下子就理解了它的本质。这本书的语言风格也很亲切，就像一位经验丰富的老师在旁边指导你一样，不会让你感到枯燥乏味。我真的觉得，这本书是准备考研数学线性代数部分的同学的必备神器。

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我之前对线性代数的印象就是各种公式和符号的堆砌，感觉离我所学专业的实际应用很遥远。直到我偶然发现了这本《线性代数解题方法与技巧》，我才意识到，原来线性代数可以如此生动和实用。这本书的编写风格非常独特，它不是按照传统的教材模式，而是以问题为导向，将抽象的数学概念转化为具体的解题策略。比如，在讲解“矩阵的乘法”时，它不仅给出了计算规则，更重要的是分析了矩阵乘法在解决实际问题中的应用，例如在计算机图形学中的变换，以及在经济学中的投入产出模型。这本书的讲解方式非常系统，对于每一个类型的题目，它都会从基本概念入手，然后逐步深入到各种解题技巧和优化方法。我尤其喜欢书中关于“线性空间”的讲解，它用非常形象的比喻，比如“房间”和“房间里的物体”，来解释向量空间的概念，让我一下子就理解了抽象的定义。而且，书中提供了大量的练习题，并且每道题都有详细的解答过程，这让我能够边学边练，巩固所学知识。这本书真的是一本难得的宝藏，它不仅让我掌握了线性代数的解题技巧，更让我对这门学科产生了浓厚的兴趣。

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