具体描述
《广义最小二乘问题的理论和计算》总结了各种广义的最小二乘问题的理论与计算的最新成果。主要包括最小二乘问题、总体最小二乘问题、等式约束最小二乘问题以及刚性加权最小二乘问题等的理论与科学计算问题。
由于各种广义奇异值分解在解决矩阵论和数值代数问题中有着重要的作用，书中也较详细地介绍了广义的奇异值分解，并应用于解决若干矩阵论和数值代数问题。《广义最小二乘问题的理论和计算》需要的预备知识为数值代数和矩阵论。
《广义最小二乘问题的理论和计算》可作为研究生和高年级本科生的教材，也可作为计算数学及应用学科中需要科学计算的科技工作者的参考书。
作者简介
目录信息
§1.1 引言
§1.2 特征值和特征向量
§1.3 矩阵分解
1.3.1 若干基本分解
1.3.2 SVD 的推广
§1.4 Hermite矩阵的特征值和矩阵的奇异值
1.4.1 Hermite矩阵特征值的极小极大定理
1.4.2 矩阵奇异值的极小极大定理
§1.5 广义逆
1.5.1 Moore-Penrose逆
1.5.2 其他广义逆
§1.6 投影
1.6.1 幂等矩阵和投影
1.6.2 正交投影
1.6.3 投影AA†和A†A的几何意义
§1.7 范数
1.7.1 向量范数
1.7.2 矩阵范数
§1.8 行列式，Hadamard不等式和Kronecker乘积
1.8.1 Binet-Cauchy公式
1.8.2 Hadamard不等式
1.8.3 Kronecker乘积
§1.9 矩阵广义逆的进一步讨论
1.9.1 矩阵乘积广义逆的反序律
1.9.2 加边矩阵的广义逆
1.9.3 矩阵加权广义逆的结构
习题一
第二章 奇异值，奇异子空间和MP逆的扰动
§2.1 酉不变范数的性质
2.1.1 von Neumann定理
2.1.2 SG 函数
2.1.3 酉不变范数的性质
§2.2 奇异值的扰动和降秩最佳逼近
2.2.1 奇异值的扰动
2.2.2 降秩最佳逼近
§2.3 正交投影和奇异子空间的扰动
§2.4 MP逆的扰动
习题二
第三章 线性最小二乘问题
§3.1 线性最小二乘问题
3.1.1 线性最小二乘及其等价性问题
3.1.2 LS问题的正则化
§3.2 LS问题的扰动
§3.3 若干矩阵方程的LS解
§3.4 加权最小二乘问题
§3.5 WLS问题的误差估计
3.5.1 第一种类型的误差界
3.5.2 第二种类型的误差界
习题三
第四章 总体最小二乘问题
§4.1 总体最小二乘问题及其解集
4.1.1 总体最小二乘问题的定义
4.1.2 TLS问题的解集
§4.2 TLS和截断的LS问题的扰动
4.2.1 TLS问题的扰动
4.2.2 截断的LS问题的扰动
§4.3 TLS和截断的LS问题的比较
4.3.1 TLS和截断的LS问题的解的比较
4.3.2 TLS和截断的LS问题残量的比较
4.3.3 TLS和截断的LS问题极小F范数修正矩阵的比较
4.3.4 一个实例
§4.4 推广的降秩最佳逼近定理
§4.5 LS-TLS问题
§4.6 约束总体最小二乘问题
习题四
第五章 等式约束最小二乘问题
§5.1 等式约束最小二乘问题
5.1.1 等式约束最小二乘问题的定义与解集
5.1.2 等式约束最小二乘问题的等价性问题
§5.2 关于KKT方程
5.2.1 WLS问题的KKT方程
5.2.2 LSE和 WLS问题的KKT方程解的比较
5.2.3 对应于B和B(τ)零特征值的特征子空间
§5.3 LSE问题的误差估计
§5.4 等式约束加权最小二乘问题
5.4.1 等式约束加权最小二乘问题的定义与解集
5.4.2 加权最小二乘问题的等价性问题
§5.5 WLSE问题的扰动
§5.6 多重约束MP逆和多重约束最小二乘问题
§5.7 嵌入总体最小二乘问题
习题五
第六章 加权MP逆和约束加权MP逆的上确界
§6.1 基本问题
§6.2 加权MP逆的上确界
§6.3 约束加权MP逆的上确界
§6.4 双侧加权MP逆的上确界
习题六
第七章 WLS问题和WLSE问题的稳定性扰动
§7.1 加权MP逆和约束加权MP逆的稳定性
7.1.1 加权MP逆的稳定性
7.1.2 约束加权MP逆的稳定性
7.1.3 双侧加权MP逆的稳定性
§7.2 加权投影矩阵的扰动上界
§7.3 加权最小二乘问题的稳定性扰动
§7.4 约束加权最小二乘问题的稳定性扰动
习题七
第八章 刚性加权最小二乘问题
§8.1 预备知识
§8.2 刚性加权最小二乘和多重约束最小二乘问题
§8.3 刚性加权投影矩阵和刚性加权MP逆的扰动
§8.4 刚性加权最小二乘问题的扰动
习题八
第九章 广义最小二乘问题的直接解法
§9.1 基本知识
9.1.1 算法和浮点运算
9.1.2 正定矩阵线性方程组的数值计算
9.1.3 矩阵的预条件处理
§9.2 正交分解的数值计算
9.2.1 QR分解
9.2.2 完全正交分解
9.2.3 奇异值分解
§9.3 最小二乘问题的直接解法
9.3.1 QR分解方法
9.3.2 法方程法
9.3.3 完全正交分解方法
9.3.4 SVD方法
§9.4 总体最小二乘问题的直接解法
9.4.1 基本SVD方法
9.4.2 完全正交方法
9.4.3 Cholesky分解法
§9.5 约束最小二乘问题的数值解法
9.5.1 零空间法
9.5.2 加权LS法
9.5.3 直接消去法
9.5.4 QR分解和Q-SVD方法
§9.6 刚性WLS问题和刚性WLSL问题的直接解法
9.6.1 行稳定的QR分解
9.6.2 刚性WLS问题的稳定解法
9.6.3 刚性WLSE问题的稳定解法
习题九
第十章 广义最小二乘问题的迭代解法
§10.1 基本知识
10.1.1 Chebyshev多项式
10.1.2 分裂迭代法的基本理论
10.1.3 实对称三对角矩阵的特征值的范围
§10.2 最小二乘解的迭代算法
10.2.1 分裂迭代法
10.2.2 Krylov子空间法
10.2.3 预条件对称-反对称分裂迭代法
§10.3 总体最小二乘问题的迭代解法
10.3.1 部分SVD方法
10.3.2 双对角化方法
§10.4 刚性加权最小二乘问题的迭代解法
习题十
第十一章 非线性最小二乘问题的迭代解法
§11.1 基本知识
11.1.1 Gateaux导数和 Frechet导数
11.1.2 基本算法
§11.2 Gauss-Newton型方法
11.2.1 Gauss-Newton方法
11.2.2 阻尼Gauss-Newton方法
11.2.3 信赖域方法
§11.3 Newton型方法
11.3.1 Newton迭代法
11.3.2 混合Newton迭代法
11.3.3 拟Newton迭代法
§11.4 可分离问题和约束问题
11.4.1 可分离问题
11.4.2 约束非线性最小二乘问题
习题十一
参考文献
· · · · · · (收起)
读后感
用户评价
这本书的语言风格是极其学术化且精炼的，每一个句子似乎都经过了反复的推敲，力求信息密度最大化。对于已经具备一定数学基础的读者来说，这无疑是一种高效的阅读体验，它节省了大量时间，直接切入问题的核心。作者在定义定理和引理时，措辞极其精准，几乎没有模棱两可的表达。我特别注意到，书中对一些关键概念的定义，比如“解的唯一性”或“最优性判据”的表述，与其他主流教材略有不同，但深入研读后发现，作者的定义更具普适性和内在逻辑的一致性。这种在细节上追求极致准确性的态度，体现了作者深厚的学术功底。此外，全书的引用和参考文献部分也做得非常扎实，标注清晰，指引读者可以追溯到更前沿或更基础的文献源头，为深入研究提供了可靠的地图。虽然初读时可能会感到略微晦涩，但只要耐下心来，结合书中的例题进行推演，很快就能体会到这种严谨性带来的深刻洞察力。
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这本书在图表的使用和可视化方面，虽然看起来是朴实无华的数学著作，但其图表的使用却是恰到好处，起到了画龙点睛的作用。图表的设计目标似乎不是为了华丽，而是纯粹为了清晰地辅助理解复杂的数学关系。例如，在描述高维空间中的优化路径时，作者选择的剖面图或截面图，总能非常精妙地揭示出目标函数曲面的鞍点、局部最小值或平坦区域的特征。这些图示往往只用最基础的线条和坐标轴构成，但其信息传达效率极高，能瞬间将文字描述中难以把握的直观感受具象化。相比于那些过度依赖复杂三维渲染或动画效果的现代教材，这种“返璞归真”的图表风格，反而更能让关注数学本质的读者心神宁静地沉浸其中。此外，书中对于一些证明过程的关键步骤，常常会配有简短的文字注释或标注，用以解释选择特定证明工具的原因，这种细致入微的讲解，极大地提升了阅读的流畅度和对证明逻辑的信任感。
从结构布局上看，这本书的章节安排体现了高度的逻辑性和递进性。它并非简单地堆砌知识点，而是构建了一个清晰的学习路径。开篇可能是对基本框架的建立，随后逐渐深入到不同复杂情境下的理论构建，最后往往以高级主题或前沿研究方向作为收尾。我个人特别欣赏它在每一章末尾设置的“思考题与扩展”部分。这些问题往往不是简单的课后习题，而是要求读者综合运用本章乃至前几章的知识，进行分析和论证，甚至是开放性的讨论。这有效地避免了读者只是被动接收信息，而是被动地参与到知识的构建过程中。例如，有些题目可能引导读者去探索不同正则化项对模型稳定性的影响，这需要读者跳出书本本身的叙述，进行批判性思考。这种设置极大地锻炼了读者的独立研究能力，让人感觉这本书不仅仅是一本教科书，更像一位耐心的、要求严格的导师在指导学习。
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当时就为了弄懂什么叫 Marquadt
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